最短路徑問題上課用強烈推薦課件

八年級上冊13.4

課題學習最短路徑問題因材教育八年級上冊13.4課題學習最短路徑問題因材教育

如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選走哪條路最近？你的理由是什么？

兩點之間,線段最短①②③溫故知新如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選走哪條路最

要在河邊修建一個泵站向張村引水，在何處修建才能使所用引水管道最短？為什么？垂線段最短張村河流泵站要在河邊修建一個泵站向張村引水，在何處修建才能使所用引水

前面我們研究過一些關于“兩點的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}．現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將利用數(shù)學知識探究數(shù)學史中著名的“將軍飲馬問題”．前面我們研究過一些關于“兩點的所有連線中，線已知：如圖，A，B在直線L的兩側，在L上求一點P，使得PA+PB最小。

連接AB,線段AB與直線L的交點P

，就是所求ABlP為什么？已知：如圖，A，B在直線L的兩側，在L上求一點P，使得PA+問題1

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？探索新知BAl問題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久探索新知BA精通數(shù)學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題．這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”．你能將這個問題抽象為數(shù)學問題嗎？BAl精通數(shù)學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的BAl

這是一個實際問題，你打算首先做什么？將A，B兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線．B··Al這是一個實際問題，你打算首先做什么？將A，B兩地（1）從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；

（2）在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A，

B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A地到飲馬地點，再回到B地的路程之和；

追問2

你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學問題嗎？B··Al（1）從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；追問追問2

你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學問題嗎？（3）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點．設C為直線上的一個動點，上面的問題就轉化為：當點C在l的什么位置時，

AC與CB的和最?。ㄈ鐖D）．

BAlC追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思，（3）現(xiàn)在的

如何將B“移”到l的另一側B′處，滿足直線l上的任意一點C，都保持CB與CB′的長度相等？

如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最小？B·lA·如何將B“移”到l的另一側B′處，滿足直線l上的任意

你能利用軸對稱的有關知識，找到上問中符合條件的點B′嗎？

如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最??？B·lA·你能利用軸對稱的有關知識，找到上問中符合條件的點B′嗎作法：（1）作點B關于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點C．則點C即為所求．

如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最小？B·lA·B′C作法：如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線問題3

你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′C問題3你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？B·l證明：如圖，在直線l上任取一點C′（與點C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質知，

BC=B′C，BC′=B′C′．

∴

AC+BC

=AC+B′C=AB′，

AC′+BC′

=AC′+B′C′．在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，

∴

AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．

你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′證明：如圖，在直線l上任取一點C′（與點C不你能用若直線l上任意一點（與點C不重合）與A，B兩點的距離和都大于AC+BC，就說明AC+BC最小．B·lA·B′CC′

證明AC+BC最短時，為什么要在直線l上任取一點C′（與點C不重合），證明AC+BC＜AC′+BC′？這里的“C′”的作用是什么？若直線l上任意一點（與點B·lA·B′CC′證明

回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？B·lA·B′CC′軸對稱回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問

（造橋選址問題）如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

AMNB

（造橋選址問題）如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上我們可以把河的兩岸看成兩條平行線a和b,N為直線b上的一個動點，MN垂直于直線b,交直線a于點M，這樣，上面的問題可以轉化為下面的問題：當點N在直線b的什么位置時，AM+MN+NB最小？abAMNB我們可以把河的兩岸看成兩條平行線a和b,N為直線b上的一個動abAMNB由于河岸寬度是固定的，因此當AM+NB最小時，AM+MN+NB最小。這樣問題可轉化為：當點N在直線b的什么位置時，AM+NB最小。怎樣通過圖形的變化，把這個問題轉化為前面求距離和最短的情況？abAMNB由于河岸寬度是固定的，因此當AM+NB最小時，A作法：1.將點A沿垂直與河岸的方向平移一個河寬到E，

2.連接AB交河對岸于點N,

則點N為建橋的位置，MN為所建的橋。證明：由平移的性質，得AM∥A'N且AM=A'N,MN=M'N',所以A.B兩地的距離:AM+MN+BN=A'N+MN+NB=A'B+MN,若橋的位置建在N'處，過N'作N'M'⊥a,垂足為M',連接AM'.A'N'.BN',則AB兩地的距離為：AM'+M'N'+N'B=A'N'+M'N'+N'B,在△A'N'B中，∵A'N'+N'B＞A'B,∴A'N'+N'B+MN＞A'B+MN,即AM'+M'N'+N'B＞AM+MN+BN所以在點N的位置建橋MN，AB兩地的路徑AMNB最短。abAMNBA'M'N'作法：1.將點A沿垂直與河岸的方向平移一個河寬到E，abAM將AM沿與河岸方向垂直的方向平移，點M移動到點N，點A移動到點A'，則AA'=MN,AM+NB=A'N+NB,這樣問題就轉化為：當點N在直線b的什么位置時，A'N+NB最??？abAMNBA'∟將AM沿與河岸方向垂直的方向平移，點M移動到點N，點A移動到

回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？平移回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問勇攀高峰練習如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請畫出旅游船的最短路徑．ABCPQ山河岸大橋勇攀高峰練習如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山基本思路：

由于兩點之間線段最短，所以首先可連接PQ，線段PQ為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路．將河岸抽象為一條直線BC，這樣問題就轉化為“點P，Q在直線BC的同側，如何在BC上找到一點R，使PR與QR的和最小”．ABCPQ山河岸大橋基本思路：ABCPQ山河岸大橋

小結（1）本節(jié)課研究問題的基本過程是什么？（2）軸對稱和平移在所研究問題中起什么作用？能利用軸對稱和平移解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉化思想．利用軸對稱和平移將最短路徑問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題．小結（1）本節(jié)課研究問題的基本過程是什么？能利用軸對稱已知：如圖A是銳角∠MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小.AMONBC當AB、BC和AC三條邊的長度恰好能夠體現(xiàn)在一條直線上時，三角形的周長最小已知：如圖A是銳角∠MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM教科書復習題13第15題．布置作業(yè)教科書復習題13第15題．布置作業(yè)八年級上冊13.4

課題學習最短路徑問題因材教育八年級上冊13.4課題學習最短路徑問題因材教育

如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選走哪條路最近？你的理由是什么？

兩點之間,線段最短①②③溫故知新如圖所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選走哪條路最

要在河邊修建一個泵站向張村引水，在何處修建才能使所用引水管道最短？為什么？垂線段最短張村河流泵站要在河邊修建一個泵站向張村引水，在何處修建才能使所用引水

前面我們研究過一些關于“兩點的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}．現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將利用數(shù)學知識探究數(shù)學史中著名的“將軍飲馬問題”．前面我們研究過一些關于“兩點的所有連線中，線已知：如圖，A，B在直線L的兩側，在L上求一點P，使得PA+PB最小。

連接AB,線段AB與直線L的交點P

，就是所求ABlP為什么？已知：如圖，A，B在直線L的兩側，在L上求一點P，使得PA+問題1

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？探索新知BAl問題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久探索新知BA精通數(shù)學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題．這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”．你能將這個問題抽象為數(shù)學問題嗎？BAl精通數(shù)學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的BAl

這是一個實際問題，你打算首先做什么？將A，B兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線．B··Al這是一個實際問題，你打算首先做什么？將A，B兩地（1）從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；

（2）在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A，

B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A地到飲馬地點，再回到B地的路程之和；

追問2

你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學問題嗎？B··Al（1）從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；追問追問2

你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學問題嗎？（3）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點．設C為直線上的一個動點，上面的問題就轉化為：當點C在l的什么位置時，

AC與CB的和最?。ㄈ鐖D）．

BAlC追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思，（3）現(xiàn)在的

如何將B“移”到l的另一側B′處，滿足直線l上的任意一點C，都保持CB與CB′的長度相等？

如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最小？B·lA·如何將B“移”到l的另一側B′處，滿足直線l上的任意

你能利用軸對稱的有關知識，找到上問中符合條件的點B′嗎？

如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最小？B·lA·你能利用軸對稱的有關知識，找到上問中符合條件的點B′嗎作法：（1）作點B關于直線l的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點C．則點C即為所求．

如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最?。緽·lA·B′C作法：如圖，點A，B在直線l的同側，點C是直線問題3

你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′C問題3你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？B·l證明：如圖，在直線l上任取一點C′（與點C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質知，

BC=B′C，BC′=B′C′．

∴

AC+BC

=AC+B′C=AB′，

AC′+BC′

=AC′+B′C′．在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，

∴

AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．

你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′證明：如圖，在直線l上任取一點C′（與點C不你能用若直線l上任意一點（與點C不重合）與A，B兩點的距離和都大于AC+BC，就說明AC+BC最?。瓸·lA·B′CC′

證明AC+BC最短時，為什么要在直線l上任取一點C′（與點C不重合），證明AC+BC＜AC′+BC′？這里的“C′”的作用是什么？若直線l上任意一點（與點B·lA·B′CC′證明

回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？B·lA·B′CC′軸對稱回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問

（造橋選址問題）如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）

AMNB

（造橋選址問題）如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上我們可以把河的兩岸看成兩條平行線a和b,N為直線b上的一個動點，MN垂直于直線b,交直線a于點M，這樣，上面的問題可以轉化為下面的問題：當點N在直線b的什么位置時，AM+MN+NB最小？abAMNB我們可以把河的兩岸看成兩條平行線a和b,N為直線b上的一個動abAMNB由于河岸寬度是固定的，因此當AM+NB最小時，AM+MN+NB最小。這樣問題可轉化為：當點N在直線b的什么位置時，AM+NB最小。怎樣通過圖形的變化，把這個問題轉化為前面求距離和最短的情況？abAMNB由于河岸寬度是固定的，因此當AM+NB最小時，A作法：1.將點A沿垂直與河岸的方向平移一個河寬到E，

2.連接AB交河對岸于點N,

則點N為建橋的位置，MN為所建的橋。證明：由平移的性質，得AM∥A'N且AM=A'N,MN=M'N',所以A.B兩地的距離:AM+MN+BN=A'N+MN+NB=A'B+MN,若橋的位置建在N'處，過N'作N'M'⊥a,垂足為M',連接AM'.A'N'.BN',則AB兩地的距離為：AM'+M'N'+N'B=A'N'+M'N'+N'B,在△A'N'B中，∵A'N'+N'B＞A'B,∴A'N'+N'B+MN＞A'B+MN,即AM'+M'N'+N'B＞AM+MN+BN所以在點N的位置建橋MN，AB兩地的路徑AMNB最短。abAMNBA'M'N'作法：1.將點A沿垂直與河岸的方向平移一個河寬到E，abAM