導數(shù)及其應用

北京大學附中2013高考數(shù)學二輪復習考前搶分必備專題訓練：導數(shù)及其應用本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．函數(shù)在處的導數(shù)值為()A．0B．100!C．3·99！D．3·100！【答案】C2．曲線A．在點處的切線方程是()B．C．D．【答案】D3．過曲線，點P的坐標為()A．B．C．D．【答案】A4．函數(shù)A．的導數(shù)為()B．C．D．【答案】A5．函數(shù)的大致圖象如圖所示，則等于()A．B．C．D．【答案】C6．若曲線處的切線分別為的值為()A．—2B．2C．【答案】AD．—7．已知函數(shù),當自變量由變化到時函數(shù)值的增量與相應的自變量的增量比是函數(shù)()A．在處的變化率B．在區(qū)間上的平均變化率D．以上結(jié)論都不對C．在處的變化率【答案】B8．設曲線在點(3,2)處的切線與直線垂直,則()A．2B．【答案】BC．D．9．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)取得極大值，在區(qū)間內(nèi)取得極小值，則的取值范圍為()A．B．C．（1，2）D．（1，4）【答案】A10．已知函數(shù)在上滿足，則曲線在點處的切線方程是()A．B．C．D．【答案】C11．在函數(shù)的圖象上，其切線的傾斜角小于的點中，坐標為整數(shù)的點的個數(shù)是()A．3B．2C．1D．0【答案】D12．()A．B．C．D．【答案】D第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)13．若直線是曲線的切線，則實數(shù)的值為.【答案】14．已知函數(shù)，則在點處的切線的斜率最大時的切線方程是____________【答案】15．曲線在處的切線方程為．【答案】16．曲線過點（2，1）的切線斜率為【答案】。三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y（單位：千克）與銷售價格x（單位：元/千克）滿足關系式，其中3<x<6，a為常數(shù)，已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克。(I）求a的值(II）若該商品的成品為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大?！敬鸢浮浚↖）因為x=5時，y=11，所以(II）由（I）可知，該商品每日的銷售量所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤從而，于是，當x變化時，的變化情況如下表：由上表可得，x=4是函數(shù)所以，當x=4時，函數(shù)在區(qū)間（3，6）內(nèi)的極大值點，也是最大值點；取得最大值，且最大值等于42。答：當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大18．已知函數(shù)(Ⅰ）若在區(qū)間［-1，1］上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；的導數(shù)為實數(shù)，.(Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求經(jīng)過點(Ⅲ）設函數(shù)且與曲線相切的直線的方程；的極值點個數(shù)。，試判斷函數(shù)【答案】（Ⅰ）由已知得，，由得.，當時，遞增；當時，，遞減.在區(qū)間［-1，1］上的最大值為.又.由題意得，即，得為所求。(Ⅱ）由（1）得，點P（2，1）在曲線上。(1）當切點為P（2，1）時，切線的斜率，的方程為.(2）當切點P不是切點時，設切點為切線的余率，的方程為。又點P（2，1）在上，，，.切線的方程為.故所求切線的方程為或.(Ⅲ）...二次函數(shù)的判別式為得：.令，得，或。，時，，函數(shù)為單調(diào)遞增，極值點個數(shù)0；當時，此時方程有兩個不相等的實數(shù)根，根據(jù)極值點的定義，可知函數(shù)有兩個極值點.19．已知函數(shù)(1）求函數(shù)．的圖像在點處的切線方程；(2）若，且對任意恒成立，求的最大值；【答案】（1）因為，所以，；函數(shù)的圖像在點處的切線方程，所以(2）由（1）知，對任意恒成立，即對任意恒成立．令令，則，，則，所以函數(shù)因為在上單調(diào)遞增．，所以方程在上存在唯一實根，且滿足．當，即，當，即，…13分所以函數(shù)所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．．所以．故整數(shù)的最大值是3．20．已知為實數(shù)，函數(shù)．(1)若，求函數(shù)在[-1，1]上的最大值和最小值；(2)若函數(shù)的圖象上有與軸平行的切線，求的取值范圍．【答案】（1），通過列表討論得(2）21．已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的極小值；(2)試討論函數(shù)零點的個數(shù).【答案】,(1)當時，∴(2)當a=0時，顯然f(x)只有一個零點；當a<0時，f(x)在則f(x)有三個零點，遞減；在遞增，遞減，當0<a<2時，f(x)在則f(x)只有一個零點.，遞增；在當a=2時，f(x)在R上是增函數(shù)，，∴f(x)只有一個零點當a>2時，f(x)在，遞減；在遞增，則f(x)只有一個零點綜上所述：當22．已知函數(shù)(1）求函數(shù)時，只有一個零點；當時，有三個零點．的最大值；(2）若對任意x>0，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；．(3）若，求證：【答案】(1)先求出(2)本小題轉(zhuǎn)化為,然后求導確定單調(diào)區(qū)間，極值，最值即可.在上恒成立，進一步轉(zhuǎn)化為,然后構(gòu)造函數(shù),從而可知a的取值范圍.，利用導數(shù)研究出h(x)的最大值，再利用基礎不等式可知(1）當，則．上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減，時，時，在，則在當，則在所以，處取