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§7.4常系數(shù)線性微分方程（二）三、歐拉（Euler）方程1可編輯ppt二階常系數(shù)非齊次線性方程:(1)的通解常見類型難點：如何求特解？方法：待定系數(shù)法.一、型(1)非齊次(2)齊次2可編輯ppt設(shè)非齊方程（1）的特解為：3可編輯ppt綜上討論注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（k是重根次數(shù)）.4可編輯ppt特別地5可編輯ppt解對應齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為例16可編輯ppt解特征方程例2代入方程,得特征根7可編輯ppt利用歐拉公式8可編輯ppt注意上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程.9可編輯ppt解例3原方程的特解原方程通解為10可編輯ppt解例4通解11可編輯ppt解例5原方程通解:12可編輯ppt解對應齊方通解用常數(shù)變易法求非齊方程通解原方程通解為例613可編輯ppt小結(jié):(待定系數(shù)法)14可編輯ppt解例10則由牛頓第二定律得15可編輯ppt解此方程得代入上式得16可編輯ppt思考題1寫出微分方程的待定特解的形式.17可編輯ppt思考題1解答設(shè)的特解為設(shè)的特解為則所求特解為特征根（重根）18可編輯ppt練習題119可編輯ppt20可編輯ppt練習題1答案21可編輯ppt22可編輯ppt解法：歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過變量代換可化為常系數(shù)微分方程.三、歐拉方程的方程(其中形如叫歐拉方程.為常數(shù))特點：各項未知函數(shù)導數(shù)的階數(shù)與乘積因子自變量的方次數(shù)相同．23可編輯ppt作變量變換將自變量換為24可編輯ppt上述結(jié)果可以寫為用表示對自變量求導的運算25可編輯ppt將上式代入歐拉方程，則化為以為自變量的常系數(shù)線性微分方程.求出這個方程的解，把換為，即得到原方程的解.一般地，例求歐拉方程的通解．解作變量變換26可編輯ppt原方程化為即或(1)方程(1)所對應的齊次方程為其特征方程27可編輯ppt特征方程的根為所以齊次方程的通解為設(shè)特解為代入原方程，得所給歐拉方程的通解為28可編輯ppt例2（04年研究生入學考試題）的通解為

歐拉方程【解】令則代入原方程，整理得通解為29可編輯ppt小結(jié)歐拉方程解法思路變系數(shù)的線性微分方程常系數(shù)的線性微分方程變量

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