保險精算模型壽險精算 熊福生課件

第一章壽命與生存分布生命表死亡力非整數(shù)年齡的生存分布假設(shè)生存分布理論基礎(chǔ)第一章壽命與生存分布生命表死亡力非整數(shù)年齡的生存分布假設(shè)生存1定義意義：新生兒在

歲之前死亡的概率。與密度函數(shù)的關(guān)系：新生兒將在x歲至z歲之間死亡的概率：壽命與生存分布定義壽命與生存分布2定義意義：新生兒能活到

歲的概率。與分布函數(shù)的關(guān)系：與密度函數(shù)的關(guān)系：新生兒將在x歲至z歲之間死亡的概率：壽命與生存分布定義壽命與生存分布3定義：已經(jīng)活到x歲的人（簡記(x)），還能繼續(xù)存活的時間，稱為剩余壽命，記作T(x)，T(x)=X-x，如新生兒的剩余壽命T(0)=X。T的分布函數(shù)

：壽命與生存分布定義：已經(jīng)活到x歲的人（簡記(x)），還能繼續(xù)存活的時間，稱4壽命與生存分布壽命與生存分布5壽命與生存分布剩余壽命的生存函數(shù)：特別：壽命與生存分布剩余壽命的生存函數(shù)：6壽命與生存分布：x歲的人至少能活到x+1歲的概率：x歲的人將在1年內(nèi)去世的概率：X歲的人將在x+t歲至x+t+u歲之間去世的概率壽命與生存分布：x歲的人至少能活到x+1歲的概率7壽命與生存分布定義：未來存活的完整年數(shù)，簡記整數(shù)余命K的概率函數(shù)壽命與生存分布定義：未來存活的完整年數(shù)，簡記8壽命與生存分布平均余命：剩余壽命的期望值(均值),簡記剩余壽命的方差壽命與生存分布平均余命：剩余壽命的期望值(均值),簡9壽命與生存分布期望整值剩余壽命：整值剩余壽命的期望值(均值),簡記整值剩余壽命的方差壽命與生存分布期望整值剩余壽命：整值剩余壽命的期望值10第一章壽命與生存分布生命表死亡力非整數(shù)年齡的生存分布假設(shè)生存分布理論基礎(chǔ)第一章壽命與生存分布生命表死亡力非整數(shù)年齡的生存分布假設(shè)生存11生命表至今為止找不到非常合適的壽命分布擬合模型。使用參數(shù)模型推測未來的壽命狀況會產(chǎn)生很大的誤差壽險中通常不使用參數(shù)模型擬合壽命分布，而是使用非參數(shù)方法確定的生命表擬合人類壽命的分布。生命表至今為止找不到非常合適的壽命分布擬合模型。12生命表生命表的定義根據(jù)已往一定時期內(nèi)各種年齡的死亡統(tǒng)計資料編制成的由每個年齡死亡率所組成的匯總表.生命表的發(fā)展歷史1662年,JoneGraunt,根據(jù)倫敦瘟疫時期的洗禮和死亡名單,寫過《生命表的自然和政治觀察》。這是生命表的最早起源。1693年，EdmundHalley,《根據(jù)Breslau城出生與下葬統(tǒng)計表對人類死亡程度的估計》，在文中第一次使用了生命表的形式給出了人類死亡年齡的分布。人們因而把Halley稱為生命表的創(chuàng)始人。生命表的特點構(gòu)造原理簡單、數(shù)據(jù)準(zhǔn)確（大樣本場合）、不依賴總體分布假定（非參數(shù)方法）生命表生命表的定義13生命表原理在大數(shù)定理的基礎(chǔ)上，用觀察數(shù)據(jù)計算各年齡人群的生存概率。（用頻數(shù)估計頻率）常用符號新生生命組個體數(shù)：年齡：極限年齡：生命表原理14生命表個新生生命能生存到年齡X的期望個數(shù)：

個新生生命中在年齡x與x+n之間死亡的期望個數(shù)：特別：n=1時，記作生命表個新生生命能生存到年齡X的期望個數(shù)：15生命表個新生生命在年齡x至x+t區(qū)間共存活年數(shù)：特別：n=1時，記作個新生生命中能活到年齡x的個體的剩余壽命總數(shù)：生命表個新生生命在年齡x至x+t區(qū)間共存活年數(shù)：16

：在死亡的人數(shù)。：x歲的人在死亡的概率。

：是一個

的存活函數(shù)生命表：在17生命表:x歲人群的未來累積生存年數(shù)分別表示未來壽命和未來整值壽命的平均值,是未來存活年齡的平均值,表示未來平均存活時間.生命表:x歲人群的未來累積生存年數(shù)18生命表運用生命表基本函數(shù),可以定義和表述壽險精算中常用的死亡概率.以

表示x歲的人在之間死亡的概率生命表運用生命表基本函數(shù),可以定義和表述壽險精算中常用的死亡19生命表已知計算下面各值：（1）（2）20歲的人在50~55歲死亡的概率。（3）該人群平均壽命。生命表已知20生命表生命表21生命表選擇-終極生命表構(gòu)造的原因需要構(gòu)造選擇生命表的原因：剛剛接受體檢的新成員的健康狀況會優(yōu)于很早以前接受體檢的老成員。需要構(gòu)造終極生命表的原因：選擇效力會隨時間而逐漸消失選擇-終極生命表的使用生命表選擇-終極生命表構(gòu)造的原因22生命表生命表23生命表生命表24第一章壽命與生存分布生命表死亡力非整數(shù)年齡的生存分布假設(shè)生存分布理論基礎(chǔ)第一章壽命與生存分布生命表死亡力非整數(shù)年齡的生存分布假設(shè)生存25死亡力定義：在

時刻一瞬間的死亡率，簡記死亡效力與生存函數(shù)的關(guān)系死亡力定義：在時刻一瞬間的死亡率，簡記26死亡力死亡效力與密度函數(shù)的關(guān)系死亡效力表示剩余壽命的密度函數(shù)死亡力死亡效力與密度函數(shù)的關(guān)系27死亡力顯然由死亡力定義公式,有:死亡力顯然28死亡力DeMoivre模型(1729)Gompertze模型(1825)死亡力DeMoivre模型(1729)29死亡力Makeham模型(1860)Weibull模型(1939)死亡力30死亡力至今為止找不到非常合適的壽命分布擬合模型。這幾個常用模型的擬合效果不令人滿意。使用這些參數(shù)模型推測未來的壽命狀況會產(chǎn)生很大的誤差在非壽險領(lǐng)域，常用參數(shù)模型擬合物體壽命的分布。死亡力至今為止找不到非常合適的壽命分布擬合模型。這幾個常用模31第一章壽命與生存分布生命表死亡力非整數(shù)年齡的生存分布假設(shè)生存分布理論基礎(chǔ)第一章壽命與生存分布生命表死亡力非整數(shù)年齡的生存分布假設(shè)生存32有關(guān)分?jǐn)?shù)年齡的假設(shè)

使用背景:生命表提供了整數(shù)年齡上的壽命分布,但有時我們需要分?jǐn)?shù)年齡上的生存狀況,于是我們通常依靠相鄰兩個整數(shù)生存數(shù)據(jù),選擇某種分?jǐn)?shù)年齡的生存分布假定，估計分?jǐn)?shù)年齡的生存狀況基本原理:插值法常用方法均勻分布假定(線性插值)常數(shù)死亡力假定(幾何插值)Balolucci假定(調(diào)和插值)有關(guān)分?jǐn)?shù)年齡的假設(shè)使用背景:33三種假定均勻分布假定(線性插值)常數(shù)死亡力假定(幾何插值)Balducci假定(調(diào)和插值)三種假定均勻分布假定(線性插值)34三種假定下的生命表函數(shù)三種假定下的生命表函數(shù)35例2.2：已知

分別在三種分?jǐn)?shù)年齡假定下，計算下面各值：例2.2：已知36例2.2答案例2.2答案37例2.2答案例2.2答案38例2.2答案例2.2答案39第一章壽命與生存分布生命表死亡力非整數(shù)年齡的生存分布假設(shè)生存分布理論基礎(chǔ)第一章壽命與生存分布生命表死亡力非整數(shù)年齡的生存分布假設(shè)生存40定義意義：新生兒在

歲之前死亡的概率。與密度函數(shù)的關(guān)系：新生兒將在x歲至z歲之間死亡的概率：壽命與生存分布定義壽命與生存分布41定義意義：新生兒能活到

歲的概率。與分布函數(shù)的關(guān)系：與密度函數(shù)的關(guān)系：新生兒將在x歲至z歲之間死亡的概率：壽命與生存分布定義壽命與生存分布42定義：已經(jīng)活到x歲的人（簡記(x)），還能繼續(xù)存活的時間，稱為剩余壽命，記作T(x)，T(x)=X-x，如新生兒的剩余壽命T(0)=X。T的分布函數(shù)

：壽命與生存分布定義：已經(jīng)活到x歲的人（簡記(x)），還能繼續(xù)存活的時間，稱43壽命與生存分布壽命與生存分布44壽命與生存分布剩余壽命的生存函數(shù)：特別：壽命與生存分布剩余壽命的生存函數(shù)：45壽命與生存分布：x歲的人至少能活到x+1歲的概率：x歲的人將在1年內(nèi)去世的概率：X歲的人將在x+t歲至x+t+u歲之間去世的概率壽命與生存分布：x歲的人至少能活到x+1歲的概率46壽命與生存分布定義：未來存活的完整年數(shù)，簡記整數(shù)余命K的概率函數(shù)壽命與生存分布定義：未來存活的完整年數(shù)，簡記47壽命與生存分布平均余命：剩余壽命的期望值(均值),簡記剩余壽命的方差壽命與生存分布平均余命：剩余壽命的期望值(均值),簡48壽命與生存分布期望整值剩余壽命：整值剩余壽命的期望值(均值),簡記整值剩余壽命的方差壽命與生存分布期望整值剩余壽命：整值剩余壽命的期望值49第一章壽命與生存分布生命表死亡力非整數(shù)年齡的生存分布假設(shè)生存分布理論基礎(chǔ)第一章壽命與生存分布生命表死亡力非整數(shù)年齡的生存分布假設(shè)生存50生命表至今為止找不到非常合適的壽命分布擬合模型。使用參數(shù)模型推測未來的壽命狀況會產(chǎn)生很大的誤差壽險中通常不使用參數(shù)模型擬合壽命分布，而是使用非參數(shù)方法確定的生命表擬合人類壽命的分布。生命表至今為止找不到非常合適的壽命分布擬合模型。51生命表生命表的定義根據(jù)已往一定時期內(nèi)各種年齡的死亡統(tǒng)計資料編制成的由每個年齡死亡率所組成的匯總表.生命表的發(fā)展歷史1662年,JoneGraunt,根據(jù)倫敦瘟疫時期的洗禮和死亡名單,寫過《生命表的自然和政治觀察》。這是生命表的最早起源。1693年，EdmundHalley,《根據(jù)Breslau城出生與下葬統(tǒng)計表對人類死亡程度的估計》，在文中第一次使用了生命表的形式給出了人類死亡年齡的分布。人們因而把Halley稱為生命表的創(chuàng)始人。生命表的特點構(gòu)造原理簡單、數(shù)據(jù)準(zhǔn)確（大樣本場合）、不依賴總體分布假定（非參數(shù)方法）生命表生命表的定義52生命表原理在大數(shù)定理的基礎(chǔ)上，用觀察數(shù)據(jù)計算各年齡人群的生存概率。（用頻數(shù)估計頻率）常用符號新生生命組個體數(shù)：年齡：極限年齡：生命表原理53生命表個新生生命能生存到年齡X的期望個數(shù)：

個新生生命中在年齡x與x+n之間死亡的期望個數(shù)：特別：n=1時，記作生命表個新生生命能生存到年齡X的期望個數(shù)：54生命表個新生生命在年齡x至x+t區(qū)間共存活年數(shù)：特別：n=1時，記作個新生生命中能活到年齡x的個體的剩余壽命總數(shù)：生命表個新生生命在年齡x至x+t區(qū)間共存活年數(shù)：55

：在死亡的人數(shù)。：x歲的人在死亡的概率。

：是一個

的存活函數(shù)生命表：在56生命表:x歲人群的未來累積生存年數(shù)分別表示未來壽命和未來整值壽命的平均值,是未來存活年齡的平均值,表示未來平均存活時間.生命表:x歲人群的未來累積生存年數(shù)57生命表運用生命表基本函數(shù),可以定義和表述壽險精算中常用的死亡概率.以

表示x歲的人在之間死亡的概率生命表運用生命表基本函數(shù),可以定義和表述壽險精算中常用的死亡58生命表已知計算下面各值：（1）（2）20歲的人在50~55歲死亡的概率。（3）該人群平均壽命。生命表已知59生命表生命表60生命表選擇-終極生命表構(gòu)造的原因需要構(gòu)造選擇生命表的原因：剛剛接受體檢的新成員的健康狀況會優(yōu)于很早以前接受體檢的老成員。需要構(gòu)造終極生命表的原因：選擇效力會隨時間而逐漸消失選擇-終極生命表的使用生命表選擇-終極生命表構(gòu)造的原因61生命表生命表62生命表生命表63第一章壽命與生存分布生命表死亡力非整數(shù)年齡的生存分布假設(shè)生存分布理論基礎(chǔ)第一章壽命與生存分布生命表死亡力非整數(shù)年齡的生存分布假設(shè)生存64死亡力定義：在

時刻一瞬間的死亡率，簡記死亡效力與生存函數(shù)的關(guān)系死亡力定義：在時刻一瞬間的死亡率，簡記65死亡力死亡效力與密度函數(shù)的關(guān)系死亡效力表示剩余壽命的密度函數(shù)死亡力死亡效力與密度函數(shù)的關(guān)系66死亡力顯然由死亡力定義公式,有:死亡力顯然67死亡力DeMoivre模型(1729)Gompertze模型(1825)死亡力DeMoivre模型(1729)68死亡力Makeham模型(1860)Weibu