湖北省襄陽市普通高中2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

襄陽市普通高中2021—2022學(xué)年度下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)統(tǒng)一測(cè)試高二數(shù)學(xué)本試卷共4頁，22題．全卷滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．★?？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡的非答題區(qū)域均無效．4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，則（）A.2 B.3 C.－2 D.－3【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義即可得出．【詳解】解：若函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，．則．故選：B．2.已知，則m等于（）A.1 B.3 C.1或3 D.1或4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由可知:或者,解得:或故選：C3.已知一個(gè)盒子里裝有大小相同的個(gè)紅球和個(gè)白球，從中依次不放回地取出個(gè)球，則取出的這個(gè)球中所包含白球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)取出的個(gè)球中白球個(gè)數(shù)為，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，即可計(jì)算得出的值.【詳解】設(shè)取出的個(gè)球中白球個(gè)數(shù)為，則的可能取值有、、、，則，，，，因此，.故選：D.4.若函數(shù)有極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍為（）A. B.（，＋∞）C. D.【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)有極值點(diǎn)知方程有兩個(gè)不同的根，從而求出實(shí)數(shù)的范圍．【詳解】函數(shù)有極大值點(diǎn)，有兩個(gè)不同的根，，解得，或，即實(shí)數(shù)的范圍故選：D5.第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在北京舉辦，據(jù)此，北京成為世界上第一座雙奧之城，該奧運(yùn)會(huì)激發(fā)了大家對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情．現(xiàn)將5名志愿者分到3個(gè)不同的場(chǎng)所進(jìn)行志愿服務(wù)，要求每個(gè)場(chǎng)所至少1人，則不同的分配方案有（）A.150種 B.90種 C.300種 D.360種【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，5名志愿者去3個(gè)地方，有兩種可能，根據(jù)部分分組的原理求解.【詳解】依題意，5名志愿者去3個(gè)場(chǎng)所，每個(gè)場(chǎng)所至少1人，有以下兩種可能，3個(gè)場(chǎng)所可能分別有或名志愿者，根據(jù)部分均分的分組公式，分組的可能有：種，在把這些分組分到三個(gè)不同的場(chǎng)所，有種.故選：A.6.的展開式中，的系數(shù)為（）A.51 B.50 C.－51 D.－50【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三項(xiàng)的二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)，令，即可求出的值，進(jìn)而可求解.【詳解】的展開式通項(xiàng)為：，且，令，則，或者，或者；故的系數(shù)為：，故選：C7.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，得到，即可判斷出.記，推理判斷出.【詳解】.記，則，所以在上單調(diào)遞減.所以，所以..記，則.所以在上，，則單調(diào)遞減；在上，，則單調(diào)遞增；所以，所以，即.所以.綜上所述：.故選：C8.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分和兩種情況，分別求導(dǎo)分析的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理求解范圍即可【詳解】①當(dāng)時(shí)，，，令，則，故為增函數(shù)，故，故，即當(dāng)時(shí)，為增函數(shù).②當(dāng)時(shí)，，，令，則為減函數(shù)，故，即，為減函數(shù).綜上有在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.且當(dāng)趨近于和正無窮大時(shí)，趨近于正無窮大.故要函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則只需滿足，解得.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，B.若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)的值越接近于1C.在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明模型的擬合精度越高D.由一組樣本數(shù)據(jù)（，），（，），…，（，）得到的關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸直線至少經(jīng)過點(diǎn)（，），（，），…，（，）中的一個(gè)【答案】AC【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)二項(xiàng)分布的方差求得，再根據(jù)方差的性質(zhì)求解即可；對(duì)B，根據(jù)線性相關(guān)關(guān)系的性質(zhì)判斷即可；對(duì)C，根據(jù)殘差的性質(zhì)判斷即可；對(duì)D，根據(jù)線性回歸方程的性質(zhì)判斷即可；【詳解】對(duì)A，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則，故，故A正確；對(duì)B，若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)性越強(qiáng)，則線性相關(guān)系數(shù)的值越接近于1，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明模型的擬合精度越高，故C正確；對(duì)D，回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，不一定經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；故選：AC10.已知隨機(jī)事件A，B發(fā)生的概率分別為，，下列說法正確的有（）A.若，則B.若，則A，B相互獨(dú)立C.若A，B不相互獨(dú)立，則D.若，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意，利用相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式以及條件概率公式，依次判斷所給的4個(gè)結(jié)論即可．【詳解】對(duì)于A，若，則，故A錯(cuò)誤;對(duì)于B，，,由于，則，相互獨(dú)立，故B正確；若，不相互獨(dú)立，則,故，故C錯(cuò)誤；對(duì)于，，則，，則，故D正確.故選:BD11.已知，則下列說法正確的有（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】由賦值法以及求導(dǎo)運(yùn)算依次判斷即可.【詳解】對(duì)于A，令可得，A正確；對(duì)于B，對(duì)兩邊求導(dǎo)得，令可得，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令得，令得，兩式相加得，則，C正確；對(duì)于D，令可得，D正確.故選：ACD.12.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.有兩個(gè)不同零點(diǎn)B.在上單調(diào)遞增C.若函數(shù)在處取得最小值，則D.，【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意得出，令，進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)性，則推出函數(shù)在上單調(diào)遞增，進(jìn)而判斷選項(xiàng)A和B，再令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷選項(xiàng)C和D.【詳解】解：由函數(shù)可知，，令，則.令，解得.所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，故B選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，使得，則在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，即，故C選項(xiàng)正確；因?yàn)?，使得，即，，，所以，即，，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.___．（用數(shù)字作答）【答案】－1050【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)的運(yùn)算公式即可求得答案.【詳解】由題意，原式=.故答案為：-1050.14.設(shè)，且，若能被13整除，則a＝___．【答案】12【解析】【分析】將化為，求出被13整除的余數(shù)，再結(jié)合已知條件即可求解．【詳解】因?yàn)?，即?3整除的余數(shù)為1，而，且，若能被13整除，則，故，故答案為：1215.某學(xué)校有A、B兩家書店，小明同學(xué)第一天休息時(shí)隨機(jī)地選擇一家書店閱讀．如果第一天去A書店，那么第2天去A書店的概率為0.5；如果第一天去B書店，那么第二天去A書店的概率為0.7，則小明同學(xué)第二天去A書店閱讀的概率為___．【答案】0.6##【解析】【分析】分第一天去A書店和B書店兩種情況，然后結(jié)合獨(dú)立事件的概率公式和概率的加法公式求得答案.【詳解】前兩天都去A書店的概率為，第一天去B書店，第二天去A書店的概率為，于是第二天去A書店的概率.故答案為：0.6.16.過平面內(nèi)一點(diǎn)P作曲線y=|lnx|兩條互相垂直的切線,l2，切點(diǎn)為P1，P2（P1，P2不重合），設(shè)直線l2分別與y軸交于點(diǎn)A，B，則|AB|=_________.【答案】2【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)，寫出直線l2的方程，分別求出點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)，然后計(jì)算.【詳解】由題意，不妨設(shè)切點(diǎn)P1，P2的橫坐標(biāo)分別為，，其中，當(dāng)時(shí)，，，直線ll的方程為，令，得；當(dāng)時(shí)，，，直線l2的方程為，令，得；因?yàn)橹本€ll，l2互相垂直，所以，即.所以故答案為：2.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．17.已知二項(xiàng)式的展開式中各二項(xiàng)式系數(shù)之和比各項(xiàng)系數(shù)之和小240.（1）求n的值及展開式中所有含x的有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)；（2）求展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)．【答案】（1），有理項(xiàng)有3項(xiàng)；（2）.【解析】【分析】（1）先求出系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和，進(jìn)而建立等式求出n，然后寫出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式并化簡(jiǎn)，最后根據(jù)x的指數(shù)為整數(shù)求得答案；（2）結(jié)合（1），判斷出最小項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù)，進(jìn)而列舉出系數(shù)為負(fù)數(shù)的情況，最后求得答案..【小問1詳解】令，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，各二項(xiàng)式系數(shù)和為，則，解得.二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為，令，且，1，2，3，4，解得，2，4，則展開式中含的有理項(xiàng)有3項(xiàng).【小問2詳解】由（，1，2，3，4）可知，只需比較，3時(shí)系數(shù)最小即可，當(dāng)r=3時(shí)，，當(dāng)時(shí)，故展開式中系數(shù)的最小的項(xiàng)為．18.某相關(guān)部門為凈化網(wǎng)絡(luò)直播環(huán)境，保證消費(fèi)者的合法權(quán)益，進(jìn)行了調(diào)查問卷，并隨機(jī)抽取了110人的樣本進(jìn)行分析，得到如下列聯(lián)表：參加過直播帶貨未參加過直播帶貨總計(jì)女性501060男性302050總計(jì)8030110（1）依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷是否有99%的把握認(rèn)為參加直播帶貨與性別有關(guān)？（2）現(xiàn)從80名參加過直播帶貨的人中，采用按性別分層抽樣的方法，選取8人的直播間進(jìn)行抽查．若從這8人中隨機(jī)選取3人的直播間重點(diǎn)關(guān)注，求在選取的3人中有男性的前提下，3人中至少有一名女性的概率．附：，其中．0.0050.010053.8416.6357.879【答案】（1）有99%的把握認(rèn)為參加直播帶貨與性別有關(guān)聯(lián)；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)公式算出，然后根據(jù)參考數(shù)據(jù)得到答案；（2）先求出選取的8人中男女各有多少人，然后根據(jù)條件概率的運(yùn)算公式即可求得答案.【小問1詳解】根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，有99%的把握認(rèn)為參加直播帶貨與性別有關(guān)聯(lián)，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01.【小問2詳解】根據(jù)分層抽樣方法得，選取的8人中，女性有5人，男性有3人．設(shè)事件A為3人中有男性，3人至少有一名女性為事件B，設(shè)選取3人中有男性為事件A，3人至少有一名女性為事件B，則，，∴，∴選取的3人中有男性的前提下，3人中至少有一名女性的概率為．19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；（2）求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）極大值為，極小值為（2）答案見解析【解析】【分析】（1）對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求得函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的極值；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，對(duì)參數(shù)分情況討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求得函數(shù)的單調(diào)性.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，令，解得或2，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．所以的極大值為，極小值為．【小問2詳解】∵，∴，當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，；即增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)，時(shí)，；時(shí)，；即增區(qū)間為和，減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，即增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，；即增區(qū)間為和，減區(qū)間為；綜上所述：當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為和，減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為和，減區(qū)間為．20.某工廠購進(jìn)一批加工設(shè)備，由于該設(shè)備自動(dòng)模式運(yùn)行不穩(wěn)定，因此一個(gè)工作時(shí)段內(nèi)會(huì)有的概率出現(xiàn)自動(dòng)運(yùn)行故障，此時(shí)需要1名維護(hù)人員立刻將設(shè)備切換至手動(dòng)操控模式，并持續(xù)人工操作至此工作時(shí)段結(jié)束，期間該維護(hù)人員無法對(duì)其他設(shè)備進(jìn)行維護(hù)．工廠在每個(gè)工作時(shí)段開始時(shí)將所有設(shè)備調(diào)至自動(dòng)模式，若設(shè)備的自動(dòng)模式出現(xiàn)故障而得不到維護(hù)人員的維護(hù)，則該設(shè)備將停止運(yùn)行，且每臺(tái)設(shè)備運(yùn)行的狀態(tài)相互獨(dú)立．（1）若安排1名維護(hù)人員負(fù)責(zé)維護(hù)3臺(tái)設(shè)備，求這3臺(tái)設(shè)備能順利運(yùn)行至工作時(shí)段結(jié)束的概率；（2）設(shè)該工廠甲、乙兩個(gè)車間各有6臺(tái)設(shè)備和2名維護(hù)人員，甲車間將6臺(tái)設(shè)備平均分配給2名維護(hù)人員，每名維護(hù)人員只負(fù)責(zé)維護(hù)分配給自己的3臺(tái)設(shè)備；乙車間將6臺(tái)設(shè)備由這2名維護(hù)人員共同負(fù)責(zé)維護(hù)，若用車間所有設(shè)備順利運(yùn)行至工作時(shí)段結(jié)束的概率來衡量生產(chǎn)的穩(wěn)定性，試比較甲、乙兩個(gè)車間生產(chǎn)穩(wěn)定性的高低．【答案】（1）（2）乙車間生產(chǎn)的穩(wěn)定性較高【解析】【分析】（1）3臺(tái)設(shè)備自動(dòng)模式不出故障的臺(tái)數(shù)記為，則．利用二項(xiàng)分布求概率；（2）記“甲車間所有設(shè)備順利運(yùn)行至工作時(shí)段結(jié)束”為事件，求出；乙車間6臺(tái)設(shè)備自動(dòng)模式不出故障的臺(tái)數(shù)記為，得到，記“乙車間所有設(shè)備順利運(yùn)行至工作時(shí)段結(jié)束”為事件，利用二項(xiàng)分布求出，比較和，即可得到答案.【小問1詳解】3臺(tái)設(shè)備自動(dòng)模式不出故障的臺(tái)數(shù)記為，則．記“1名維護(hù)人員維護(hù)3臺(tái)設(shè)備能順利運(yùn)行至工作時(shí)段結(jié)束”為事件A，則．【小問2詳解】甲車間將6臺(tái)設(shè)備平均分配給2名維護(hù)人員，即甲車間分成了兩個(gè)小組，則甲車間分成的兩個(gè)小組相互獨(dú)立，由（1）知每個(gè)小組能保證設(shè)備順利運(yùn)行至工作時(shí)段結(jié)束的概率均為，記“甲車間所有設(shè)備順利運(yùn)行至工作時(shí)段結(jié)束”為事件，則.乙車間6臺(tái)設(shè)備自動(dòng)模式不出故障臺(tái)數(shù)記為，則，記“乙車間所有設(shè)備順利運(yùn)行至工作時(shí)段結(jié)束”為事件，則∵，∴．故乙車間生產(chǎn)的穩(wěn)定性較高.21.某商場(chǎng)為了考查商場(chǎng)一個(gè)月的商品銷售額（單位：萬元）與廣告費(fèi)支出（單位：萬元）之間的相關(guān)關(guān)系，繪制了如圖散點(diǎn)圖．（1）由散點(diǎn)圖求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程；（2）統(tǒng)計(jì)表明，該商場(chǎng)的某款廣告在平臺(tái)發(fā)布后，其商品日銷售額（單位：萬元）近似地服從正態(tài)分布，商場(chǎng)對(duì)員工的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下：若日銷售額不超過萬元，沒有獎(jiǎng)勵(lì)；若日銷售額超過萬元但不超過萬元，則每人獎(jiǎng)勵(lì)元；若日銷售額超過萬元，則每人獎(jiǎng)勵(lì)元，試求該商場(chǎng)每名員工單日獲得獎(jiǎng)金的數(shù)學(xué)期望．（答案精確到整數(shù)）附：參考公式：經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程＝x＋的斜