高中數(shù)學(xué)構(gòu)造法求數(shù)列通

(圓滿版)高中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)法求數(shù)列通(圓滿版)高中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)法求數(shù)列通(圓滿版)高中數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)法求數(shù)列通結(jié)構(gòu)法求數(shù)列通項例題分析型如an+1=pan+f(n)(p為常數(shù)且p≠0，p≠1)的數(shù)列(1)f(n)=q(q為常數(shù))一般地，遞推關(guān)系式an+1=pa+q(p、q為常數(shù)，且p≠0，p≠1)等價與nan1qp(anq)，則{an1q}為等比數(shù)列，進而可求an．1p1pp例1、已知數(shù)列{an}知足a11，an3an1（n2），求通項an．22解：由an3an1，得1an1(1an1)，又1a110，222因此數(shù)列{1an}是首項為1，公比為1的等比數(shù)列，22∴an1(1a1)(1)n11(1)n．22練習(xí)：已知數(shù)列{a}的遞推關(guān)系為an12an1，且a11，求通項a．nn答案：an2n1．(2)f(n)為等比數(shù)列，如f(n)=qn(q為常數(shù))，兩邊同除以an1pan1，qn，得qn1qnq令bnanbn+1=pbn+q的形式求解．qn，則可轉(zhuǎn)變成例1、已知數(shù)列{an中，15，an111n1，求通項a．632解：由條件，得2n+1an+1=2(2nan)+1，令bn=2nan，3bn+1=2bn+1，bn+1-3=2（bn-3）33易得bn=4(2)n13，即2nan=4(2)n13，33333an=3n2n．練習(xí)、已知數(shù)列{an}知足a2a32n，a12，求通項an．n1n答案：an(3n1)2n．22(3)f(n)為等差數(shù)列，如an1AanBnC型遞推式，可結(jié)構(gòu)等比數(shù)列．（選學(xué)，重視記憶方法）1例1、已知數(shù)列{a}知足a11，1（），求．a(chǎn)nan12n1n22解：令bnanAnB，則anbnAnB，∴an1bn1A(n1)B，代入已知條件，得bnAnB1[bn1A(n1)B]2n1，2即bn1bn1(1A2)n(1A1B1)，2222令A(yù)20，AB10，解得A=－4，B=6，222因此bn1，且bnan4n6，bn12{bn}是以3為首項、以1為公比的等比數(shù)列，2故bn3，故an3．n1n14n622點撥：經(jīng)過引入一些尚待確立的系數(shù)，經(jīng)過變形與比較，把問題轉(zhuǎn)變成基本數(shù)列（等差或等比數(shù)列）求解．練習(xí)：在數(shù)列{an}中，a13，2anan16n3，求通項an．2答案：an6n99·(1)n．2解：由2anan16n3，得an11an1(6n3)，22令anAnB1[an1A(n1)B]，2比較系數(shù)可得：A=－6，B=9，令baAnB，則有n1b1a1AB9nn1，又，22∴{bn}是首項為9，公比為1的等比數(shù)列，因此bn9(1)n1，故an6n99·(1)n．222222f(n)為非等差數(shù)列，非等比數(shù)列法一、結(jié)構(gòu)等差數(shù)列法例1、在數(shù)列an中，a12，an1ann1(2)2n(nN)，此中0，求數(shù)列an的通項公式．a(chǎn)n12n1an2n解：由條件可得1，n1nan2nan2n∴數(shù)列是首項為0，公差為1的等差數(shù)列，故n1，nn∴an(n1)n2n．練習(xí)：在數(shù)列{an}中，a1，()()()，求通項a。3nan1n2an2nn1n2n答案an1n(n1)(4n1)．2解：由條件可得：an1an2，(n1)(n2)n(n1)∴數(shù)列{an}是首項為(1a13、公差為2的等差數(shù)列。(n1)n1)×12法二、結(jié)構(gòu)等比數(shù)列法例1、⑴在數(shù)列{an}中，a12，a23，an23an12an，求an；⑵在數(shù)列an中，a11，a22，an22an11an，求an．33解：⑴由條件an23an12an,∴an2an12(an1an),故an2an12n1，疊加法得：ana222(12n2)2n1；12⑵由條件可得an2an11(an1an)（等比數(shù)列），故an=73(1)n1．3443點撥：形如f(an2，an1,an)0的復(fù)合數(shù)列，可把復(fù)合數(shù)列轉(zhuǎn)變成等差或等比數(shù)列，再用初等方法求得an．例2、已知數(shù)列{an}知足a11，an13an52n4，求數(shù)列{an}的通項公式．解：設(shè)an1x2n1y3(anx2ny)，將已知條件代入此式，整理后得3(52x)2n4y3x2n3y，令52x3xx54y3y，解得，y2∴有an152n123(an52n2