三重積分及重積分應(yīng)用課件

第三節(jié)三重積分一、問題的提出二、三重積分的概念三、直角坐標(biāo)系下三重積分的計算六、小結(jié)思考題四、柱面坐標(biāo)系下三重積分的計算五、球面坐標(biāo)系下三重積分的計算第三節(jié)三重積分一、問題的提出二、三重積分的概念三、1x0z

y為圖示曲頂柱體一、問題的提出x0zy為圖示曲頂柱體一、問題的提出2x0z

yx0zy3三重積分及重積分應(yīng)用課件4x0z

yz2(x,y)為圖示曲頂柱體I=P..積分區(qū)域是曲頂柱體Dz1(x,y)三、直角坐標(biāo)系下三重積分的計算這就化為一個定積分和一個二重積分的運(yùn)算如圖，x0zyz2(x,y)為圖示曲頂柱體I=P..積分區(qū)域5三重積分化為三次積分的過程：得到先z后y再x三重積分化為三次積分的過程：得到先z后y再x6三重積分化為三次積分的過程：得到先z后x再y三重積分化為三次積分的過程：得到先z后x再y7三重積分及重積分應(yīng)用課件8三重積分及重積分應(yīng)用課件9解解10解解11前面介紹的方法稱為先一后二法或穿針、切絲法前面介紹的方法稱為先一后二法或穿針、切絲法12三重積分及重積分應(yīng)用課件13即即14三重積分及重積分應(yīng)用課件15解解16原式原式17四、利用柱面坐標(biāo)計算三重積分規(guī)定：簡單地說，柱面坐標(biāo)就是xoy面上的極坐標(biāo)+z坐標(biāo)四、利用柱面坐標(biāo)計算三重積分規(guī)定：簡單地說，柱面坐標(biāo)就是xo18柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；半平面；平面．柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；半平面19如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為再根據(jù)中z，r，的關(guān)系，化為三次積分。一般，先對z

積分，再對r，最后對積分。如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為再根據(jù)中z，r，20由前面的討論可知:在柱面坐標(biāo)系下三重積分可表示為解由前面的討論可知:在柱面坐標(biāo)系下三重積分可表示為解2110xz

yDxy1解10xzyDxy1解220xz

y1Dxy11解0xzy1Dxy11解23五、三重積分的球面坐標(biāo)計算法0xz

yM(r,,)rNyxz

空間任一點M還可用有序數(shù)組(r,θ,φ)來表示.(r,θ,φ)也稱為點M的球面坐標(biāo).圓錐面；球面；半平面．且五、三重積分的球面坐標(biāo)計算法0xzyM(r,,)r24球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，25球面坐標(biāo)系中的體積元素為如圖，一般，先對r

積分，再對，最后對積分。球面坐標(biāo)系中的體積元素為如圖，一般，先對r積分，再對26解一、直角坐標(biāo)系下

二、柱面坐標(biāo)系下

三、球面坐標(biāo)系下

解一、直角坐標(biāo)系下二、柱面坐標(biāo)系下三、球面坐標(biāo)系下27三重積分及重積分應(yīng)用課件28三重積分及重積分應(yīng)用課件29解解30補(bǔ)充：利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應(yīng)注意：１、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性；２、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個坐標(biāo)軸的奇偶性．補(bǔ)充：利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應(yīng)注意：１、積分31解積分域關(guān)于三個坐標(biāo)面都對稱，被積函數(shù)是的奇函數(shù),解積分域關(guān)于三個坐標(biāo)面都對稱，被積函數(shù)是的奇函數(shù),32解解33三重積分及重積分應(yīng)用課件34三重積分的定義和計算在直角坐標(biāo)系下的體積元素（計算時將三重積分化為三次積分）六、小結(jié)三重積分的定義和計算在直角坐標(biāo)系下的體積元素（計算時將三重積35復(fù)習(xí)三重積分的計算法

1.三重積分的直角坐標(biāo)計算法2.三重積分的柱面坐標(biāo)計算法3.三重積分的球面坐標(biāo)計算法截面計算法復(fù)習(xí)三重積分的計算法1.三重積分的直角坐標(biāo)計算36解法1：先一后二解法1：先一后二37解法2：先二后一解法3：柱坐標(biāo)解法2：先二后一解法3：柱坐標(biāo)38解法4：球坐標(biāo)解法4：球坐標(biāo)39思考題思考題40練習(xí)題練習(xí)題41三重積分及重積分應(yīng)用課件42練習(xí)題答案練習(xí)題答案43

第四節(jié)重積分的應(yīng)用一、問題的提出二、曲面的面積三、質(zhì)心四、轉(zhuǎn)動慣量五、引力六、小結(jié)思考題第四節(jié)重積分的應(yīng)用一、問題的提出二、曲面的面積三、質(zhì)心44重積分應(yīng)用問題1.能用重積分解決的實際問題的特點所求量是對區(qū)域具有可加性

從定積分定義出發(fā)建立積分式

用微元分析法(元素法)分布在有界閉域上的整體量3.解題要點

畫出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、定出積分限、計算要簡便2.用重積分解決問題的方法重積分應(yīng)用問題1.能用重積分解決的實際問題的特點所求量是45一、從定積分定義出發(fā)可解決的問題一、從定積分定義出發(fā)可解決的問題46二、曲面的面積二、曲面的面積471.設(shè)曲面的方程為：在D上偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)設(shè)光滑曲面則面積A可看成曲面上各點處小切平面的面積dA無限積累而成.設(shè)它在D

上的投影為d

,(稱為曲面S的面積元素)則1.設(shè)曲面的方程為：在D上偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)設(shè)光滑曲面則面積A可48故有曲面面積公式即2.若光滑曲面方程為則有3.若光滑曲面方程為則有故有曲面面積公式即2.若光滑曲面方程為則有3.若光滑曲面方程49【例1】【解】【例1】【解】50在D上無界在D上無界51于是半個球面的面積為整個球面的面積為【注】反常二重積分于是半個球面的面積為整個球面的面積為【注】反常二重積分52【解】補(bǔ)充動畫演示【解】補(bǔ)充動畫演示53三重積分及重積分應(yīng)用課件54【解】解方程組得兩曲面的交線為圓周在平面上的投影域為【解】解方程組得兩曲面的交線為圓周在平面上的投影域為55三重積分及重積分應(yīng)用課件56例4.

計算雙曲拋物面被柱面所截解:

曲面在

xoy

面上投影為則出的面積A.azoxyz=xy.例4.計算雙曲拋物面被柱面所截解:曲面在xoy面57axz

y0axzy058DaaaaxoyDxz

y0DaaaaxoyDxzy0592xzyo2xzyo60xzy2問題：曲面向哪個坐標(biāo)面投影？o只能向zox平面投影xzy2問題：o只能向zox平面投影61xzy2Dxzoxzy2Dxzo62xzy2Dxzoxzy2Dxzo63三、質(zhì)心1.平面薄片的質(zhì)心三、質(zhì)心1.平面薄片的質(zhì)心64當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為形心.由元素法(二重積分表示)當(dāng)薄片是均勻的，重心稱為形心.由元素法(二重積分表示)65【解】【解】66【解】【解】67【例8】薄片關(guān)于軸對稱【解】【例8】薄片關(guān)于軸對稱【解】682.空間物體的質(zhì)心其中（推廣）(三重積分表示)2.空間物體的質(zhì)心其中（推廣）(三重積分表示)69四、轉(zhuǎn)動慣量1.平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量四、轉(zhuǎn)動慣量1.平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量70薄片對于

軸的轉(zhuǎn)動慣量薄片對于

軸的轉(zhuǎn)動慣量薄片對于軸的轉(zhuǎn)動慣量薄片對于軸的轉(zhuǎn)動慣量71【解】【解】72三重積分及重積分應(yīng)用課件732.空間立體的轉(zhuǎn)動慣量點到x軸的距離平方點到原點的距離平方2.空間立體的轉(zhuǎn)動慣量點到x軸的距離平方點到原點的距離平方74【例10】【解】【例10】【解】75三重積分及重積分應(yīng)用課件76薄片對

軸上單位質(zhì)點的引力為引力常數(shù)五、引力薄片對軸上單位質(zhì)點的引力為引力常數(shù)五、引力77【解】由積分區(qū)域的對稱性知【解】由積分區(qū)域的對稱性知78所求引力為【推廣】空間立體對質(zhì)點的引力（略）所求引力為【推廣】空間立體對質(zhì)點的引力（略）79【幾何應(yīng)用】曲面的面積【物理應(yīng)用】質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、對質(zhì)點的引力（注意審題，熟悉相關(guān)物理知識）六、小結(jié)【幾何應(yīng)用】曲面的面積【物理應(yīng)用】質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、對質(zhì)點的引80

第三節(jié)三重積分一、問題的提出二、三重積分的概念三、直角坐標(biāo)系下三重積分的計算六、小結(jié)思考題四、柱面坐標(biāo)系下三重積分的計算五、球面坐標(biāo)系下三重積分的計算第三節(jié)三重積分一、問題的提出二、三重積分的概念三、81x0z

y為圖示曲頂柱體一、問題的提出x0zy為圖示曲頂柱體一、問題的提出82x0z

yx0zy83三重積分及重積分應(yīng)用課件84x0z

yz2(x,y)為圖示曲頂柱體I=P..積分區(qū)域是曲頂柱體Dz1(x,y)三、直角坐標(biāo)系下三重積分的計算這就化為一個定積分和一個二重積分的運(yùn)算如圖，x0zyz2(x,y)為圖示曲頂柱體I=P..積分區(qū)域85三重積分化為三次積分的過程：得到先z后y再x三重積分化為三次積分的過程：得到先z后y再x86三重積分化為三次積分的過程：得到先z后x再y三重積分化為三次積分的過程：得到先z后x再y87三重積分及重積分應(yīng)用課件88三重積分及重積分應(yīng)用課件89解解90解解91前面介紹的方法稱為先一后二法或穿針、切絲法前面介紹的方法稱為先一后二法或穿針、切絲法92三重積分及重積分應(yīng)用課件93即即94三重積分及重積分應(yīng)用課件95解解96原式原式97四、利用柱面坐標(biāo)計算三重積分規(guī)定：簡單地說，柱面坐標(biāo)就是xoy面上的極坐標(biāo)+z坐標(biāo)四、利用柱面坐標(biāo)計算三重積分規(guī)定：簡單地說，柱面坐標(biāo)就是xo98柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；半平面；平面．柱面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，三坐標(biāo)面分別為圓柱面；半平面99如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為再根據(jù)中z，r，的關(guān)系，化為三次積分。一般，先對z

積分，再對r，最后對積分。如圖，柱面坐標(biāo)系中的體積元素為再根據(jù)中z，r，100由前面的討論可知:在柱面坐標(biāo)系下三重積分可表示為解由前面的討論可知:在柱面坐標(biāo)系下三重積分可表示為解10110xz

yDxy1解10xzyDxy1解1020xz

y1Dxy11解0xzy1Dxy11解103五、三重積分的球面坐標(biāo)計算法0xz

yM(r,,)rNyxz

空間任一點M還可用有序數(shù)組(r,θ,φ)來表示.(r,θ,φ)也稱為點M的球面坐標(biāo).圓錐面；球面；半平面．且五、三重積分的球面坐標(biāo)計算法0xzyM(r,,)r104球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為如圖，105球面坐標(biāo)系中的體積元素為如圖，一般，先對r

積分，再對，最后對積分。球面坐標(biāo)系中的體積元素為如圖，一般，先對r積分，再對106解一、直角坐標(biāo)系下

二、柱面坐標(biāo)系下

三、球面坐標(biāo)系下

解一、直角坐標(biāo)系下二、柱面坐標(biāo)系下三、球面坐標(biāo)系下107三重積分及重積分應(yīng)用課件108三重積分及重積分應(yīng)用課件109解解110補(bǔ)充：利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應(yīng)注意：１、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性；２、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個坐標(biāo)軸的奇偶性．補(bǔ)充：利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應(yīng)注意：１、積分111解積分域關(guān)于三個坐標(biāo)面都對稱，被積函數(shù)是的奇函數(shù),解積分域關(guān)于三個坐標(biāo)面都對稱，被積函數(shù)是的奇函數(shù),112解解113三重積分及重積分應(yīng)用課件114三重積分的定義和計算在直角坐標(biāo)系下的體積元素（計算時將三重積分化為三次積分）六、小結(jié)三重積分的定義和計算在直角坐標(biāo)系下的體積元素（計算時將三重積115復(fù)習(xí)三重積分的計算法

1.三重積分的直角坐標(biāo)計算法2.三重積分的柱面坐標(biāo)計算法3.三重積分的球面坐標(biāo)計算法截面計算法復(fù)習(xí)三重積分的計算法1.三重積分的直角坐標(biāo)計算116解法1：先一后二解法1：先一后二117解法2：先二后一解法3：柱坐標(biāo)解法2：先二后一解法3：柱坐標(biāo)118解法4：球坐標(biāo)解法4：球坐標(biāo)119思考題思考題120練習(xí)題練習(xí)題121三重積分及重積分應(yīng)用課件122練習(xí)題答案練習(xí)題答案123

第四節(jié)重積分的應(yīng)用一、問題的提出二、曲面的面積三、質(zhì)心四、轉(zhuǎn)動慣量五、引力六、小結(jié)思考題第四節(jié)重積分的應(yīng)用一、問題的提出二、曲面的面積三、質(zhì)心124重積分應(yīng)用問題1.能用重積分解決的實際問題的特點所求量是對區(qū)域具有可加性

從定積分定義出發(fā)建立積分式

用微元分析法(元素法)分布在有界閉域上的整體量3.解題要點

畫出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、定出積分限、計算要簡便2.用重積分解決問題的方法重積分應(yīng)用問題1.能用重積分解決的實際問題的特點所求量是125一、從定積分定義出發(fā)可解決的問題一、從定積分定義出發(fā)可解決的問題126二、曲面的面積二、曲面的面積1271.設(shè)曲面的方程為：在D上偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)設(shè)光滑曲面則面積A可看成曲面上各點處小切平面的面積dA無限積累而成.設(shè)它在D

上的投影為d

,(稱為曲面S的面積元素)則1.設(shè)曲面的方程為：在D上偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)設(shè)光滑曲面則面積A可128故有曲面面積公式即2.若光滑曲面方程為則有3.若光滑曲面方程為則有故有曲面面積公式即2.若光滑曲面方程為則有3.若光滑曲面方程129【例1】【解】【例1】【解】130在D上無界在D上無界131于是半個球面的面積為整個球面的面積為【注】反常二重積分于是半個球面的面積為整個球面的面積為【注】反常二重積分132【解】補(bǔ)充動畫演示【解】補(bǔ)充動畫演示133三重積分及重積分應(yīng)用課件134【解】解方程組得兩曲面的交線為圓周在平面上的投影域為【解】解方程組得兩曲面的交線為圓周在平面上的投影域為135三重積分及重積分應(yīng)用課件136例4.

計算雙曲拋物面被柱面所截解:

曲面在

xoy

面上投影為則出的面積A.azoxyz=xy.例4.計算雙曲拋物面被柱面所截解:曲面在xoy面137axz

y0axzy0138DaaaaxoyDxz

y0DaaaaxoyDxzy01392xzyo2xzyo140xzy2問題：曲面向哪個坐標(biāo)面投影？o只能向zox平面投影xzy2問題：o只能向zox平面投影141x