九年級數(shù)學(xué)圓單元知識點總結(jié)及習題練習教師版

16/16九年級數(shù)學(xué)《圓》知識點祥解與習題檢測一、圓的概念集合形式的概念：、圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合；、圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合；、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡形式的概念：、圓：到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；（補充）、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）；、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。二、點與圓的位置關(guān)系、點在圓內(nèi)點在圓內(nèi)；、點在圓上點在圓上；、點在圓外點在圓外；三、直線與圓的位置關(guān)系、直線與圓相離無交點；、直線與圓相切有一個交點；、直線與圓相交有兩個交點；四、圓與圓的位置關(guān)系外離（圖）無交點；外切（圖）有一個交點；相交（圖）有兩個交點；內(nèi)切（圖）有一個交點；內(nèi)含（圖）無交點；五、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論：（）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；（）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。唬ǎ┢椒窒宜鶎Φ囊粭l弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧以上共個定理，簡稱推定理：此定理中共個結(jié)論中，只要知道其中個即可推出其它個結(jié)論，即：①是直徑②③④弧?、莼』≈腥我鈧€條件推出其他個結(jié)論。推論：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在⊙中，∵∥∴弧弧六、圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。此定理也稱推定理，即上述四個結(jié)論中，只要知道其中的個相等，則可以推出其它的個結(jié)論，即：①；②；③；④弧弧七、圓周角定理、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。即：∵和是弧所對的圓心角和圓周角∴、圓周角定理的推論：推論：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧；即：在⊙中，∵、都是所對的圓周角∴推論：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。即：在⊙中，∵是直徑或∵∴∴是直徑推論：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。即：在△中，∵∴△是直角三角形或注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。八、圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，外角等于它的內(nèi)對角。即：在⊙中，∵四邊形是內(nèi)接四邊形∴九、切線的性質(zhì)與判定定理（）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵且過半徑外端∴是⊙的切線（）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖）推論：過圓心垂直于切線的直線必過切點。推論：過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理與推論也稱二推一定理：即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。十、切線長定理切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：∵、是的兩條切線∴平分十一、圓冪定理（）相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。即：在⊙中，∵弦、相交于點，∴（）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。即：在⊙中，∵直徑，∴（）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。即：在⊙中，∵是切線，是割線∴（）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）。即：在⊙中，∵、是割線∴十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的的公共弦。如圖：垂直平分。即：∵⊙、⊙相交于、兩點∴垂直平分十三、圓的公切線兩圓公切線長的計算公式：（）公切線長：中，；（）外公切線長：是半徑之差；內(nèi)公切線長：是半徑之和。十四、圓內(nèi)正多邊形的計算（）正三角形在⊙中△是正三角形，有關(guān)計算在中進行：；（）正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計算在中進行，：（）正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計算在中進行，.十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計算公式、扇形：（）弧長公式：；（）扇形面積公式：：圓心角：扇形多對應(yīng)的圓的半徑：扇形弧長：扇形面積、圓柱：（）圓柱側(cè)面展開圖（）圓柱的體積：（）圓錐側(cè)面展開圖（）（）圓錐的體積：九年級數(shù)學(xué)第二十四章圓測試題（）時間：分鐘分數(shù)：分一、選擇題（每小題分，共分）圖——．若⊙所在平面內(nèi)一點到圖——．．．或．或．如圖——，⊙的直徑為，圓心到弦的距離的長為，則弦的長是（）．．．．．已知點為△的外心，若∠°，則∠的度數(shù)為（）．°．°．°．°．如圖——，△內(nèi)接于⊙，若∠°，則∠的度數(shù)為（）．°．°．°．°圖——圖——圖——圖——圖——圖——．如圖——，小明同學(xué)設(shè)計了一個測量圓直徑的工具，標有刻度的尺子、在點釘在一起，并使它們保持垂直，在測直徑時，把點靠在圓周上，讀得刻度個單位，個單位，則圓的直徑為（）．個單位．個單位．個單位．個單位．如圖——，為⊙的直徑，點在⊙上，若∠°，則∠等于（）．°．°．°．°．如圖——，為⊙外一點，、分別切⊙于、，切⊙于點，分別交、于點、，若，則△的周長為（）．．．．．若糧倉頂部是圓錐形，且這個圓錐的底面直徑為，母線長為，為防雨需在糧倉頂部鋪上油氈，則這塊油氈的面積是（）．．．．圖——圖——．如圖圖——圖——．π．π．π．π．已知在△中，，，那么△的內(nèi)切圓的半徑為（）．．．．．如圖——，兩個半徑都是的圓外切于點，一只螞蟻由點開始依、、、、、、、、的順序沿著圓周上的段長度相等的路徑繞行，螞蟻在這段路徑上不斷爬行，直到行走π后才停下來，則螞蟻停的那一個點為（）．點．點．點．點二、填空題（每小題分，共分）．如圖——，在⊙中，弦等于⊙的半徑，⊥交⊙于點，則∠。．如圖——，、與⊙相切于點、，∠゜，為⊙上異于、的一個動點，則∠的度數(shù)為。圖——圖——圖——圖圖——．已知⊙的半徑為，點為⊙外一點，長為，那么以為圓心且與⊙相切的圓的半徑為。．一個圓錐的底面半徑為，高為，則圓錐的側(cè)面積是。．扇形的弧長為π，面積為π，則扇形的半徑為。．如圖——，半徑為的圓形紙片，沿半徑、裁成：兩部分，用得到的扇形圍成圓錐的側(cè)面，則圓錐的底面半徑分別為。．在△中，∠゜，，，以為圓心，為半徑作圓與斜邊相切，則的值為。．已知等腰△的三個頂點都在半徑為的⊙上，如果底邊的長為，那么邊上的高為。．已知扇形的周長為，面積為，那么扇形的半徑為。圖——．如圖——，為半圓直徑，為圓心，為半圓上一點，是弧的中點，交弦于點。若，，則的長為圖——三、作圖題（分）．如圖——，扇形的圓心角為°，半徑為.⑴請用尺規(guī)作出扇形的對稱軸(不寫做法,保留作圖痕跡).圖——⑵圖——四．解答題（小題分、小題分，小題分，共分）．如圖——，、是⊙的兩條弦，且，求證：。圖圖——圖——⌒．如圖——，已知⊙的半徑為，點為半徑的延長線上一點，射線切⊙圖——⌒．已知：△內(nèi)接于⊙，過點作直線。（）如圖——，為直徑，要使為⊙的切線，還需添加的條件是（只需寫出三種情況）：①；②；③。（）如圖——，是非直徑的弦，∠∠，求證：是⊙的切線。圖圖——圖——第二十四章圓（）一、選擇題．．．．．．．．．．．二、填空題．゜．゜或゜．或．π．．．．．或．三、作圖題．（）提示：作∠的角平分線，延長成為直線即可；⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒（）∵扇形的弧長為，⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒．證明：∵，∴，∴，即，∴。⌒．解：設(shè)∠，∵的長為，∴，解得?！邽椤训那芯€，∴△為直角三角形，∴，∴。．（）①⊥；②∠∠；③∠°。（）連接并延長交⊙于點，連接，則為⊙的直徑，∴∠∠°?！摺吓c∠同對弧，∴∠∠，又∵∠∠，∴∠∠，∴∠∠°，∴是⊙的切線。九年級數(shù)學(xué)第二十四章圓測試題（）時間：分鐘分數(shù)：分一、選擇題（每小題分，共分）．已知⊙的半徑為，為線段的中點，當時，點與⊙的位置關(guān)系是（）．點在⊙內(nèi)．點在⊙上．點在⊙外．不能確定．過⊙內(nèi)一點的最長弦為

，最短弦長為，則的長為（）圖——．．．．圖——．在△中，是內(nèi)心，∠°，則∠的度數(shù)為（）．°．°．°．°．如圖——，⊙的直徑與的夾角為°，切線與的延長線交于點，若⊙的半徑為，則的長為（）．．．．．如圖——，若等邊△內(nèi)接于等邊△的內(nèi)切圓，則的值為（）圖——．．．．圖——圖——．如圖——，⊙圖——．（，）．（，）．（，）．（，）．已知圓錐的側(cè)面展開圖的面積是π，母線長是，則圓錐的底面半徑為（）．．．．．如圖——，⊙和⊙內(nèi)切，它們的半徑分別為和，過作⊙的切線，切點為，則的長是（）圖——．．．．圖——圖——．如圖——，⊙的直徑為，周長為，在⊙內(nèi)的個圓心在上且依次相外切的等圓，且其中左、右兩側(cè)的等圓分別與⊙圖——．<．．>．不能確定．若正三角形、正方形、正六邊形的周長相等，它們的面積分別是、、，則下列關(guān)系成立的是（）．．>>．<<．>>⌒⌒二、填空題（每小題分，共分）⌒⌒．如圖——，是⊙的直徑，，∠°，則∠。圖——圖——圖——圖——．如圖——，是⊙圖——圖——圖——圖——圖圖——．⌒⌒如圖——，、分別是⊙的半徑、上的點，⊥，⊥，，則與弧長的大小關(guān)系是。⌒⌒⌒．如圖——，、是⊙的半徑，是⊙上一點，若已知∠o∠°,則∠.⌒．（·江蘇南通）如圖——，正方形內(nèi)接于⊙，點在上，則∠.圖——圖圖——圖——圖——圖圖——．（·山西）如圖——，已知∠°，為邊上一點，以為圓心，長為半徑作⊙，若點在邊上運動，則當時，⊙與相切。.如圖——，在⊙中，弦，圓周角∠°，則⊙的直徑等于。．如圖——，、、是⊙上三點，當平分∠時，能得出結(jié)論：（任寫一個）。．如圖——，在⊙中，直徑與弦相交于點，若，，，則⊙的半徑是。圖——．（·濰坊）如圖——，正方形的邊長為，點為的中點，以為圓心，為半徑作圓，分別交、于、兩點，與切于點，則圖中陰影部分的面積是圖——三、作圖題（分）．如圖——，已知在△⊙中，∠°，請用圓規(guī)和直尺作⊙，使圓心在上，且與、兩邊都相切。（要求保留作圖痕跡，不必寫出作法和證明）圖圖——四、解答題（第、小題每題各分，第小題分，共分）圖——．如圖——，是⊙圖——．如圖——，在⊙中，是直徑，是弦，⊥。圖——（）是優(yōu)弧上一點（不與、重合），求證：∠∠圖——（）點′在劣弧上（不與、重合）時，∠′與∠有什么數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論。五、綜合題．如圖——，在平面直角坐標系中，⊙與軸相切，且點坐標為（，），直線過點（—，），與⊙相切于點，求直線的解析式。圖圖——第二十四章圓（）一、選擇題．．．．．．．．．．二、填空題．°．．相等．°．°．．．．