《初等數(shù)論》教學(xué)大綱

課程名稱：初等數(shù)論（ElementaryNumberTheory）《初等數(shù)論》教學(xué)大綱一、課程說明“初等數(shù)論”課程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)（師范）一些課程。力，為今后的學(xué)習(xí)奠定必要的基礎(chǔ)。本課程屬于數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)專業(yè)（師范）的專業(yè)選修課。216320本課程總學(xué)分?jǐn)?shù)為2學(xué)分。5

二、學(xué)時分配表教學(xué)內(nèi)容授課學(xué)時實(shí)踐學(xué)時第一章整數(shù)的可除性6第二章不定方程6第三章同余6第四章同余式6第五章二次同余式與平方剩余8合計32合計32究中經(jīng)常用到的若干基礎(chǔ)知識、基本概念、方法和技巧。通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生加深對整數(shù)的性質(zhì)的了解，更深入地理解初等數(shù)論與其它鄰近學(xué)科的關(guān)系。四、教學(xué)內(nèi)容綱要第一章整數(shù)的可除性（6學(xué)時）目的要求：1、理解整數(shù)整除、公因子、公倍數(shù)的概念及相關(guān)性質(zhì)，理解剩余定理，熟練掌握用剩余定理求最大公因子、最小公倍數(shù)的方法。2、理解素數(shù)與合數(shù)的概念、素數(shù)的性質(zhì)，理解整數(shù)的素數(shù)分解定理，會用篩法求素數(shù)。3、了解函數(shù)[x]與{x}的概念、性質(zhì)，n!的素數(shù)分解、組合數(shù)為整數(shù)的性質(zhì)。難點(diǎn)：定理的證明處理方法，定理的靈活運(yùn)用。講授內(nèi)容：1、整除的概念、帶余數(shù)除法（1）2、最大公約數(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法（1）3、整除的進(jìn)一步性質(zhì)及最小公倍數(shù)（1）4、質(zhì)數(shù)、算術(shù)基本定理（1）5[x]，{x}及其在數(shù)論中的一個應(yīng)用（1）[x]，{x}與性質(zhì)；（2）n!中素因子的指數(shù)。第二章不定方程（6學(xué)時）目的要求：1、了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整數(shù)解的條件，熟練掌握利用剩余定理（輾轉(zhuǎn)相除法）求二元一次不定方程的方法。2、知道多元一次不定方程有解的條件，會求解簡單的多元一次不定方程。3、知道不定方程uv2uv,0,(uv1x2y2條件下的整數(shù)解。難點(diǎn)：多元不定方程有整數(shù)解的判定及求解。講授內(nèi)容：1、二元一次不定方程（1）2、多元一次不定方程（1）多元一次不定方程的一般理論；（2）三元一次不定方程的求解；（3）最大不可表數(shù)問題的介紹。3、勾股數(shù)與費(fèi)馬問題介紹（1）不定方程的一般結(jié)論；（2）費(fèi)馬問題的介紹。第三章同余（6學(xué)時）目的要求：1、同余的概念及性質(zhì)

z2在特定整數(shù)同余的概念、同余的基本性質(zhì)，整數(shù)具有素因子的條件，利用同余簡單驗證整數(shù)乘積運(yùn)算的結(jié)果。2、剩余系、完全剩余系、歐拉定理及其應(yīng)用Fermat難點(diǎn)：簡化剩余系及歐拉函數(shù)、歐拉定理及其應(yīng)用。講授內(nèi)容：1、同余的概念及其基本性質(zhì)（1）同余、模；（2）同余的應(yīng)用。2、剩余類及完全剩余系（1）3、簡化剩余系與歐拉函數(shù)（1）4、歐拉定理、費(fèi)馬定理及對循環(huán)小數(shù)的應(yīng)用（1）歐拉定理；（2）費(fèi)馬定理；（3）循環(huán)小數(shù)。第四章同余式（6學(xué)時）目的要求：1、基本概念及一次同余式、孫子定理、高次同余式的解數(shù)及解法判斷高次同余式的解個數(shù)，解高次同余式的方法，模整數(shù)同余式與模素數(shù)同余式的關(guān)系，求解簡單的（3、4次）同余式。4、質(zhì)數(shù)模的同余式素數(shù)模同余式的次數(shù)化簡，Wilson定理，同余式的次數(shù)與解數(shù)的關(guān)系，n次同余式有n個解的條件。難點(diǎn)：高次同余式的求解。講授內(nèi)容：1、基本概念及一次同余式（1）同余式；（2）一次同余式。2、孫子定理（1）孫子定理；（2）孫子定理的應(yīng)用。3、高次同余式的解數(shù)及解法（1）高次同余式的求解理論；（2）模為的高次同余式。4、質(zhì)數(shù)模的同余式（1）質(zhì)數(shù)模的同余式；（2）wilson定理；（3）解數(shù)定理。第五章同余式（8學(xué)時）目的要求：1、一般二次同余式2、單質(zhì)數(shù)的平方剩余與平方非剩余3、勒讓德符號勒讓德符號的定義，二次反轉(zhuǎn)定律。4、前節(jié)定理的證明35、雅可比符號雅可比符號的定義及計算。6、合數(shù)模的情形重點(diǎn)：定理的證明方法、素數(shù)的平方表示。講授內(nèi)容：1、一般二次同余式（1）2、單質(zhì)數(shù)的平方剩余與平方非剩余（1）3、勒讓德符號（1）4、前節(jié)定理的證明（1）35、雅可比符號（1）6、合數(shù)模的情形(1)合數(shù)模二次同余式的計算。

五、課程教材教材：閔嗣鶴，嚴(yán)士健:初等數(shù)論[M]，北京：高等教育出版社，2003，第三版參考書：1、潘承淚、潘承彪編：數(shù)論簡明教程[M]，北京：北京大學(xué)出版社,1