高一數(shù)學(xué)平面向量知識(shí)點(diǎn)典型例題解析

高中高一數(shù)學(xué)平面向量學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)及典型例題剖析高中高一數(shù)學(xué)平面向量學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)及典型例題剖析15/15高中高一數(shù)學(xué)平面向量學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)及典型例題剖析高一數(shù)學(xué)

第八章平面向量第一講向量的看法與線(xiàn)性運(yùn)算一．【要點(diǎn)精講】1．向量的看法①向量：既有大小又有方向的量。幾何表示法，；坐標(biāo)表示法。向量的模（長(zhǎng)度），記作||.即向量的大小，記作｜|。向量不能夠比較大小，但向量的模能夠比較大小.②零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記為，其方向是任意的，規(guī)定平行于任何向量。

（與

0的差異）③單位向量｜｜＝1。④平行向量（共線(xiàn)向量）方向相同或相反的非零向量，記作∥⑤相等向量記為。大小相等，方向相同2．向量的運(yùn)算（1）向量加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法.uuuruuurb，則向量AC叫做a與b如圖，已知向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作ABa，BCuuuruuuruuur的和，記作a+b，即a+bABBCAC特別情況：aabbababABCCA)B(2)(3向量加法的三角形法規(guī)可實(shí)行至多個(gè)向量相加：，但這時(shí)必定“首尾相連”。rrrr②向量減法：同一個(gè)圖中畫(huà)出ab、ab要點(diǎn):向量加法的“三角形法規(guī)”與“平行四邊形法規(guī)”1）用平行四邊形法規(guī)時(shí)，兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對(duì)角線(xiàn)，而差向量是另一條對(duì)角線(xiàn)，方向是從減向量指向被減向量。2）三角形法規(guī)的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線(xiàn)段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn).（3）實(shí)數(shù)與向量的積3．兩個(gè)向量共線(xiàn)定理：向量與非零向量共線(xiàn)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得=。二．【典例剖析】題型一：向量及與向量相關(guān)的基本看法看法例1判斷以下各命題可否正確(1)(2)ab,則ab零向量沒(méi)有方向若(3)單位向量都相等(4)向量就是有向線(xiàn)段(5)兩相等向量若共起點(diǎn),則終點(diǎn)也相同(6)若ab，bc，則ac；(7)若a//b，b//c，則a//c(8)ab的充要條件是|a||b|且a//b；(9)若四邊形ABCD是平行四邊形,則ABCD,BCDA→→練習(xí).(四川省成都市一診)在四邊形ABCD中，“AB＝2DC”是“四邊形ABCD為梯形”的A、充分不用要條件B、必要不充分條件C、充要條件D、既不充分也不用要條件題型二:觀(guān)察加法、減法運(yùn)算及相關(guān)運(yùn)算律2化簡(jiǎn)(ABCD)(ACBD)=練習(xí)1.以下命題中正確的選項(xiàng)是uuuruuuruuurA．OAOBABruuurrC．0AB0uuuruuuruuuruuur化簡(jiǎn)ACBDCDABuuurA．ABB．DA

uuuruuurB．ABBA0uuuruuuruuuruuurD．ABBCCDAD得rC．BCD．03．如圖，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，則()→→→→＋BE＋CF＝0－CF＋DF＝0→→→→＋CE－CF＝0－BE－FC＝0題型三:結(jié)合圖型觀(guān)察向量加、減法ABC所在的平面上有一點(diǎn)uuuruuuruuuruuurPBC與ABC的面例3在P，滿(mǎn)足PAPBPCAB，則積之比是()1123A．3B．2C．3D．4例4重心、垂心、外心性質(zhì)練習(xí):1．如圖，在A(yíng)BC中，D、E為邊AB的兩個(gè)三均分點(diǎn)，→a，ACA=3→→→．DCB=2，求CD，CEbrrrrErrab=abB2已知求證abCuuuruuuruuuruuuruuur3若O為ABC的內(nèi)心，且滿(mǎn)足(OBOC)(OBOC2OA)0，則ABC的形狀為（）A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.鈍角三角形4．已知O、A、B是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線(xiàn)→→→AB上有一點(diǎn)C，滿(mǎn)足2AC＋CB＝0，則OC＝()A．2→－→B．－→＋2→→－1→D．－1→＋2→OAOBOAOBOA3OB3OA3OB→→→→|AB|5．已知平面上不共線(xiàn)的四點(diǎn)O，A，B，C.若OA－3OB＋2OC＝0，則|→|等于________．BC6．已知平面內(nèi)有一點(diǎn)→→→→P及一個(gè)△ABC，若PA＋PB＋PC＝AB，則()A．點(diǎn)P在△ABC外面B．點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上C．點(diǎn)P在線(xiàn)段BC上D．點(diǎn)P在線(xiàn)段AC上→→→1→→7．在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若AD＝2DB，CD＝3CA＋λCB，則λ等于()C．－1D．－233題型四:三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題例4設(shè)e1,e2是不共線(xiàn)的向量,已知向量AB2e1ke2,CBe13e2,CD2e1e2,若A,B,D三點(diǎn)共線(xiàn),求k的值例5已知A、B、C、P為平面內(nèi)四點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上→→→PC=mPA+nPB，求證：m+n=1．：1．已知：AB3(e1e2),BCe1e2,CD2e1e2，以下關(guān)系必然建立的是（）A、A，B，C三點(diǎn)共B、A，B，D三點(diǎn)共C、C，A，D三點(diǎn)共D、B，C，D三點(diǎn)共2．(原)a，b是兩個(gè)不共的向量，若→＝2＋，→＝＋，→＝2－，且，，ABakbCBabCDabABD三點(diǎn)共，數(shù)k的等于________．2平面向量的基本定理與坐表示一．【要點(diǎn)精】1．平面向量的基本定理若是是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共向量，那么一平面內(nèi)的任向來(lái)量，有且只有一數(shù)使：其中不共的向量叫做表示一平面內(nèi)所有向量的一基底.2．平面向量的坐表示x、y方向相同的_位向量_rr如，在直角坐系內(nèi)，我分取與i、j作基底rryj????○1，把(x,y)叫做向量任作一個(gè)向量a，有且只有一數(shù)x、y，使得axirrrra的（直角）坐，作a(x,y)????○2其中x叫做a在x上的坐，y叫做a在y上的坐，○2式叫做向量的坐表示rrrr與a相等的向量的坐也(x,y)專(zhuān)門(mén)，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0)特提示：OAxiyj，向量OA的坐(x,y)就是點(diǎn)A的坐；反來(lái)，點(diǎn)A的坐(x,y)也就是向量OA的坐因此，在平面直角坐系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都是能夠用一數(shù)唯一表示3．平面向量的坐運(yùn)算rrrrrr（1）若a(x1,y1)，b(x2,y2)，ab=(x1x2,y1y2)，ab=(x1x2,y1y2)uuurr（2）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB（3）若a(x,y)和數(shù)，ry)a(x,4．向量平行的充要條件的坐表示：a=(x1,y1)，b=(x2,y2)其中baa∥b(b0)的充要條件是x1y2x2y10A二．【典例剖析】題型一.利用一組基底表示平面內(nèi)的任向來(lái)量OC1OA,OD1OBCM[例1]在△OAB中，42，AD與BC交于點(diǎn)M，rrrrO設(shè)OA=a，OB=b，用a,b表示OM.DB練習(xí):1．若已知e1、e2是平面上的一組基底，則以下各組向量中不能夠作為基底的一組是()A．e1與—e2B．3e1與2e2C．e1＋e2與e1—e2D．e1與2e12．在平行四邊形→→→λ、ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若AC＝λAE＋μAF，其中μ∈R，則λ＋μ＝________.題型二:向量加、減、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算例3已知A（—2,4）、B（3,—1）、C（—3,—4）且CM3CA,CN2CB,求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)及向量MN的坐標(biāo).練習(xí):1.(2008年高考遼寧卷)已知四邊形ABCD的三個(gè)極點(diǎn)A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，→→且BC＝2AD，則極點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A71D．(1,3)．(2，)B．(2，－)C．(3,2)22uuur1MP2．若M(3,-2)N(-5,-1)且2MN,求P點(diǎn)的坐標(biāo)；uuur1uuuurMP2MN3．若M(3,-2)N(-5,-1)，點(diǎn)P在MN的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且,求P點(diǎn)的坐標(biāo)；4.(2009年廣東卷文)已知平面向量a=，b=，則向量()A平行于軸B.平行于第一、三象限的角均分線(xiàn)C.平行于軸D.平行于第二、四象限的角均分線(xiàn)5．在三角形中，已知(2,3)，(8，－4)，點(diǎn)(2，－1)在中線(xiàn)上，且→＝2→，ABCABGADAGGD則點(diǎn)C的坐標(biāo)是()A．(－4,2)B．(－4，－2)C．(4，－2)D．(4,2)6．設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向線(xiàn)段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量d為()A．(2,6)B．(－2,6)C．(2，－6)D．(－2，－6)1→→7．已知A(7,1)、B(1,4)，直線(xiàn)y＝2ax與線(xiàn)段AB交于C，且AC＝2CB，則實(shí)數(shù)a等于()A．2B．1題型三:平行、共線(xiàn)問(wèn)題例4已知向量a(1sin,1)b(1,1sin)，2，若a∥b，則銳角等于（）A．30B．45C．60D．755．（2009北京卷文）已知向量，若是那么()A．且與同向C．且與同向

BD

．且與反向．且與反向練習(xí)：

1．若向量

a=(-1,x)

與b

=(-x,2)

共線(xiàn)且方向相同，求

x2．已知點(diǎn)O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及OPOAtAB，求(1)t為何值時(shí)，P在x軸上？P在y軸上？P在第二象限。(2)四邊形OABP可否構(gòu)成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能夠，請(qǐng)說(shuō)明原由。3．已知向量a＝(1,2)，b＝(0,1)，設(shè)u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，則實(shí)數(shù)k的值為()A．－1B1D．1．－2m4．已知向量

a＝(2,3)

，b＝(－1,2)

，若

ma＋nb與a－2b共線(xiàn)，則

n等于(

)1A．－2

．2

．－2→，－3)→，－1)→，若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，5．已知向量OA＝(1，OB＝(2，OC＝(m＋1，m－2)則實(shí)數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的條件是()m1A．m≠－2B．m≠2C．m≠1D．m≠－16．已知點(diǎn),試用向量方法求直線(xiàn)和（為坐標(biāo)原點(diǎn)）交點(diǎn)的坐標(biāo)。題型四：平面向量綜合問(wèn)題例6．已知ABC的角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，設(shè)向量，，.若練習(xí)已知點(diǎn)

A(－1,2)

，B(2,8)

→1→→1→以及AC＝3AB，DA＝－3BA，求點(diǎn)

C、D的坐標(biāo)和

→CD的坐標(biāo)．第三講平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用一．【要點(diǎn)精講】（1）兩個(gè)非零向量的夾角已知非零向量a與a，作＝，＝，則∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫與的夾角；說(shuō)明：兩向量的夾角必定是同起點(diǎn)的，范圍0≤≤180。（2）數(shù)量積的看法非零向量與，·=︱︱·︱︱cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積）。規(guī)定；向量的投影：︱︱cos=∈R，稱(chēng)為向量在方向上的投影。投影的絕對(duì)值稱(chēng)為射影；（3）數(shù)量積的幾何意義：·等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積

.C注意：⑴只要

a⊥b就有

a·b=0，而不用

a=0或b=0．⑵由

a·b=a·c及a≠0

卻不能夠推出

b=c．得|

a|·|

b|cos

θ1=|

a|·|c|cos

θ2及|

a|0，只能獲取|b|cosθ1=|c|cosθ2，即b、c在a方向上投影相等，而不能夠得出b=c(見(jiàn)圖)．⑶(a·b)c≠a(b·c)，向量的數(shù)量積是不滿(mǎn)足結(jié)合律的．⑷關(guān)于向量a、b，有|a·b|≤|a|·|b|，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)建立．4）向量數(shù)量積的性質(zhì)①向量的模與平方的關(guān)系：。②乘法公式建立；；③向量的夾角：cos==。5）兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算已知兩個(gè)向量，則·=。6）垂直：若是與的夾角為900則稱(chēng)與垂直，記作⊥。兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：⊥·＝O7）平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式設(shè)，則或。(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式).二．【典例剖析】題型一：數(shù)量積的看法例1．判斷以下各命題正確與否：1）；（2）；（3）若，則；4）若，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)建立；5）對(duì)任意向量都建立；題型二.求數(shù)量積、求模、求夾角的簡(jiǎn)單應(yīng)用rrrro，求已知a，，與的夾角為1202rrr2r2rrrrrr（4）ab（）；（）；（）（）（）1ab2ab32aba3b；題型三：向量垂直、平行的判斷例3．已知向量，，且，則。4．已知，，，按以下條件求實(shí)數(shù)的值。（1）；（2）；。例5．已知：a、b、c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a=（1，2）（1）若|c|25，且c//a，求c的坐標(biāo)；5,（2）若|b|=2且a2b與2ab垂直，求a與b的夾角.urururururururur練習(xí)1若非零向量、滿(mǎn)足，證明:2在△ABC中，AB=(2,3)，AC=(1,k)，且△ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角，k值3．已知向量a(1,1)，b(2,n)，若|ab|ab，則n（）A．3B．1C．1D．3rrrrrrr已知a，，且a與垂直，求與的夾角。4.1b2baab5．知a，b，c為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，向量m(3，1)，n(cosA，sinA)．若mn，且acosBbcosAcsinC，則角A，B的大小分別為（）ππ2π，πππππ，C，，A．63B．36．36D．33題型四：向量的夾角例6已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，求與的夾角練習(xí)1已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角。2．||=1，||=2，=+，且⊥，則向量與的夾角為（）A．30°B．60°C．120°D．150°3．設(shè)非零向量a、b、c滿(mǎn)足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，則〈a，b〉＝()A．150°B．120°C．60°D．30°54．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(a＋b)·c＝2，則a與c的夾角為()A．30°或150°B．60°或120°C．120°D．150°5.過(guò)△ABC的重心任作素來(lái)線(xiàn)分別交AB，AC于點(diǎn)D、E．若，，，則的值為（）（A）4（B）3（C）2（D）1剖析：取△ABC為正三角形易得＝3．選B．4.設(shè)向量與的夾角為，，，則．5．在△中，(→＋→)·→＝|→|2，則三角形的形狀必然是()ABCBCBAACACABCA．等邊三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形.已知向量與互相垂直，其中．（1）求和的值；（2）若，求的值．題型五：求夾角范圍rr0,且關(guān)于x的方程x2rrrrr例7已知|a|2|b||a|xab0有實(shí)根,則a與b的夾角的取值范圍是6][,][,2][,]A.[0,B.3C.33D.6練習(xí)1．設(shè)非零向量a=x,2x，b=3x,2，且a，b的夾角為鈍角，求x的取值范圍2．已知a(,2)，b(3,2),若是a與b的夾角為銳角,則的取值范圍是3．設(shè)兩個(gè)向量e1、e2，滿(mǎn)足|e1|2，|e2|1，e1、e2的夾角為60°，若向量2te17e2與向量e1te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.4．如圖，在Rt△ABC中，已知BC=a，若長(zhǎng)為2a的線(xiàn)段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，問(wèn)PQ與BCC的夾角取何值時(shí)BPCQ的值最大？并求出這個(gè)最大值.（以直角極點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩直角邊所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系）a題型六：向量的模例8．已知向量與的夾角為，則等于（）AA．5B．4C．3D．1練習(xí)1平面向量a與b的夾角為，a＝(2,0),|b|＝1，則|a＋2b|等于（）A.2．已知平面上三個(gè)向量a、b、c的模均為1，它們互相之間的夾角均為120°，（1）求證：(ab)⊥c；（2）若|kabc|1(kR)，求k的取值范圍.rrrrrrr3．平面向量a,b中，已知a(4,3),|b|1，且ab5，則向量b______.4．已知|a|=|b|=2，a與b的夾角為600，則a+b在rrrrrrr5．設(shè)向量a,b滿(mǎn)足|a||b|1,|3a2b|3，則|3a

a上的投影為。rb|。rrrrrr6．已知向量a,b的方向相同，且|a|3,|b|7，則|2ab|______。7、已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點(diǎn)O，N，P依次是的（)A.重心外心垂心B.重心外心內(nèi)心C.外心重心垂心D.外心重心內(nèi)心題型七：向量的綜合應(yīng)用→→，在x軸上一點(diǎn)→→P點(diǎn)的坐例9．已知向量OA＝(2,2)，OB＝(4,1)P，使AP·BP有最小值，則標(biāo)是________．練習(xí)1．已知向量a與向量b的夾角為|a|120°，若向量c＝a＋b，且a⊥c，則||的值為()bC．22．已知圓O的半徑為a，A，B是其圓周上的兩個(gè)三均分點(diǎn)，則→→OA·AB＝()232232aB．－2aaD．－2a→→→→＝________.4．(原創(chuàng)題)三角形ABC中AP為BC邊上的中線(xiàn)，|AB|＝3，AP·BC＝－2，則|AC|3A

3A

A5．在△

ABC中，角

A，B，C所對(duì)的邊分別為

a，b，c.已知

m＝(cos

2，sin

2)，n＝(cos

2，sin

A2)，且滿(mǎn)足

|

m＋n|＝

3.(1)求角

A的大?。?5，若|AB|3，|AC|5，則6．在A(yíng)BC中，ABAC0，ABC的面積是4BAC()235(A)6(B)3(C)4(D)67．已知O為原點(diǎn)，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(a,0)，B(0,a)，其中常數(shù)a0，點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，且有APtAB(0t1)，則OAOP的最大值為（）(A)a(B)2a(C)3a(D)a2r(cos3x,sin3x)rsinx)ab(cosx,8．已知向量22，22。x[0,]rrrr，求ab,|ab|；（1）當(dāng)23（2）若f(x)ab2m|ab|≥2對(duì)一的確數(shù)x都建立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。9.若正方形邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是．[-2，]10.已知是兩個(gè)互相垂直的單位向量,且,,,則對(duì)任意的正實(shí)數(shù),的最小值是.各區(qū)期末試題10.在矩形ABCD中，AB3，BC1，E是CD上一DECuuuruuuruuuruuur點(diǎn)，且AEAB1，則AEAC的值為（）AB19.如圖，點(diǎn)P是以AB為直徑的圓O上動(dòng)點(diǎn)，P是點(diǎn)P關(guān)于PAB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，AB2a(a0).ABuuuruuurO?（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P是弧AB上湊近B的三均分點(diǎn)時(shí)，求APAB的值；Puuuruuur（Ⅱ）求APOP的最大值和最小值.uuur（6）以下列圖，點(diǎn)C在線(xiàn)段BD上，且BC=3CD，則AD=（）uuur