中考數(shù)學(xué)壓軸題精選試卷《7圓的綜合問(wèn)題》(解析版)

中考數(shù)學(xué)壓軸精選精（詳盡解析版）專題07圓的綜合問(wèn)例1如圖點(diǎn)半圓上的一個(gè)三等分點(diǎn)點(diǎn)B為弧AD中點(diǎn)P是直徑一動(dòng)點(diǎn)，⊙O的半徑2，則＋PB最小值為（）A．2B．5C．3＋1D．22同類題1.1圖，⊙是△的外接圓，已知AD平分∠交⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)CD，延長(zhǎng)，BD，相交于點(diǎn)．現(xiàn)給出下列結(jié)論：①若＝5，BD＝，則D＝②∠＝∠DCF；③△∽△FCB；

25

；④若直徑⊥BDBD于點(diǎn)H，＝＝4，DF＝，則cosF＝

4148

；則正確的結(jié)論是（）A．①③B．②③④C．③④D．①②④同類題

一張圓形紙片，小芳進(jìn)行了如下連續(xù)操作：將圓形紙片左右對(duì)折，折痕為，如圖（2）所示．將圓形紙片上下折疊，使A、兩點(diǎn)重合，折痕CD與AB交于M，如圖（3）所示．（3）將圓形紙片沿EF疊，使B、兩點(diǎn)重合，折痕EF與AB交于，如圖（4）所示．（4）連結(jié)、AF，如圖（5）所示．經(jīng)過(guò)以上操作小芳得到了以下結(jié)論：①∥EF②四邊形是菱形③△為等邊三角形④

eq\o\ac(△,S)

AEF

圓＝33：4π，以上結(jié)論正確的有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)例2．如圖，△中，＝4，∠＝45°，以42為半徑，過(guò)、C兩點(diǎn)作⊙，連，則線段OA最大值為______________．同類題如圖，已知⊙O半徑為1，銳角內(nèi)接于⊙，BD⊥AC點(diǎn)，OM⊥AB點(diǎn)M，＝

13

，則sin∠CBD的值等于（）A．

32

B．

13

C．

223

D．

同類題如圖，直線l經(jīng)過(guò)⊙圓心，與⊙于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C⊙O上，AOC＝30°，點(diǎn)P是直線l的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與圓心不重合線CP⊙O相交于點(diǎn)，且＝，則滿足條件的∠OCP的大小為_______________．同類題2.3如圖，△中，∠BAC＝90°，＝12，＝10，DAC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為直徑的⊙O交BD，則線段CE最小值是（）A．5B．6C．7D．8例3．如圖直線l1∥2⊙Ol1和l2分別相切于點(diǎn)A和點(diǎn)B點(diǎn)M點(diǎn)N分別是1和l2上的動(dòng)點(diǎn)，1和l2平移．O半徑為1，∠1＝60°．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．＝

433B．若MN⊙O切，則A＝3C．若∠＝90°，則MN與⊙O切D．l1和2的距離為2同類題如圖，已B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（20的圓心坐標(biāo)為0－1徑1．若D是C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射AD與y交于點(diǎn)E，則面積的最大值是__________．同類題3.2我們將在直角坐標(biāo)系中圓心坐標(biāo)和半徑均為整數(shù)的圓稱為“整圓如圖，直線l：＝kx＋3與x、y分別交于、，∠＝30°，點(diǎn)P在x上，⊙P與l相切，當(dāng)P在線段OA運(yùn)動(dòng)時(shí)，使得⊙P成為整圓的點(diǎn)P個(gè)數(shù)是（）A．6B．8C．10D．12同類題已知⊥BC于CBC＝，CA＝＝c，下列圖形中O與△的某兩條邊或三邊所在的直線相切，則⊙O的半徑為

aba＋

的是（）A．B．C．D．例4．如圖，正方形ABCD和正三角形AEF都內(nèi)接于⊙，EF，別相交于點(diǎn)G，，則

EFGH

的值為______________．22同類題圖，在菱形ABCD，對(duì)角線，BD交于點(diǎn)，以為直徑畫圓M，過(guò)⊙的切線，切點(diǎn)為N分別交AC，BC于點(diǎn)E，已知AE5，＝則DF的長(zhǎng)是_______________．同類題如圖，已知△的外接圓⊙的半徑為1，D、分別是AB、上的點(diǎn)，＝2，EC＝2AE，則∠BAC的值等于線段（）A．DE長(zhǎng)B．BC長(zhǎng)C．

23DE的長(zhǎng)D．DE長(zhǎng)32例5．如圖AB⊙O的直徑點(diǎn)C⊙O上一點(diǎn)，AD與過(guò)點(diǎn)C的切線垂直，垂足D，直線DC與AB延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，弦平分∠，交AB點(diǎn)F，連結(jié)BE，＝72．下列四1個(gè)結(jié)論：①AC平分∠DABPFPBPA＝OP則陰影部分的面積為27493π－3；④若PC＝24，則an∠＝．其中正確的是（）444A．①②B．③④C．①②④D．①②③同類題如圖，在半徑為2cm，圓心角為的扇形中，分別以、OB為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為．同類題某景區(qū)修建一棟復(fù)古建筑，其窗戶設(shè)計(jì)如圖所示．圓O圓心與矩形ABCD⌒⌒角線的交點(diǎn)重合，且圓與矩形上下兩邊相切E上切點(diǎn)與左右兩邊相交G其中兩個(gè)交點(diǎn)中陰影部分為不透光區(qū)域，其余部分為透光區(qū)域．已知圓的半徑為1m，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，若∠°，則此窗戶的透光率（透光區(qū)域與矩形窗面的面積的比值）為_____________．同類題如圖，將半徑2，圓心角為120°的扇形繞點(diǎn)A時(shí)針旋轉(zhuǎn)°，點(diǎn)O，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為′，′，連接′，則圖中陰影部分的面積是（）A．

2ππ2π2πB．23－C．23－．43－3333同類題如圖，已知矩形中＝3，AD＝，分別以邊ADBC為直徑在矩形ABCD的內(nèi)部作半圓O1半圓2，一平行于的直線EF與這兩個(gè)半圓分別交于點(diǎn)E點(diǎn)F，且＝2（EF與AB在圓心1和O2的同側(cè)則由AE，EF，F(xiàn)B，AB所圍成圖形（圖中陰影部分）的面積等于_______參考答例1．如圖，A半圓上的一個(gè)三等分點(diǎn)，B弧AD的中點(diǎn)，P直徑CD一動(dòng)點(diǎn)，⊙O的半徑2，則＋PB最小值為（）A．2B．5C．3＋1D．22解：作A關(guān)于MN對(duì)稱點(diǎn)Q，連接，BQ，CD于，此時(shí)＋＝QP＋＝，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，PA＋最小值為QB的長(zhǎng)度，連接，OB，∵點(diǎn)A是半圓上的一個(gè)三等分點(diǎn)，∴∠＝30°．∵B弧AD點(diǎn)，∴∠＝∠ACD＝°，22ADBD∴∠＝2∠QCD＝×30°＝60°，∴∠＝30°＋60°＝90°．∵⊙O的半徑2，∴＝OQ＝，∴＝

OB＋＝2，即PA＋的最小值為22．選D．同類題型1.1如圖，⊙O是△的外接圓，已知AD平分∠交⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)CD，延長(zhǎng)，BD，相交于點(diǎn)．現(xiàn)給出下列結(jié)論：①若＝5，BD＝，則D＝②∠＝∠DCF；③△∽△FCB；

25

；④若直徑⊥BDBD點(diǎn)H，＝FC＝，DF＝，則cosF＝

4148

；則正確的結(jié)論是（）A．①③B．②③④C．③④D．①②④解：①如圖1，∵AD分∠BAC，∴∠＝∠CAD，∵∠＝∠CBD，∴∠＝∠CBD，∵∠＝∠BDE，∴△∽△ADB，BDDE∴＝，由＝5，BD＝，可求DE=

，F(xiàn)BFA①不正確；②如圖2，連接，∠＋∠ACD＝180°，∠＋∠＝180°，∴∠＝∠ABD，若∠＝∠DCF，因?yàn)椤螦CB＝∠ADB，則有：∠＝∠ADB，與已不符，故②不正確；③如圖3，∵∠F＝F，∠FAD＝∠，∴△∽△FCB；故③正確；④如圖4，連接，由②知：∠＝∠，又∵∠F＝F，∴△∽△FBA，∴

FCFD＝，由＝FC＝，DF＝，可求：AF＝8，＝

323

，∴＝BF－＝

233

，∵直徑⊥BD，23∴＝，6∴＝

416

，F(xiàn)H41∴cosF＝＝，AF48故④正確；故選：C．同類題型

一張圓形紙片，小芳進(jìn)行了如下連續(xù)操作：將圓形紙片左右對(duì)折，折痕為，如圖（2）所示．將圓形紙片上下折疊，使A、兩點(diǎn)重合，折痕CD與AB交于M，如圖（3）所示．（3）將圓形紙片沿EF疊，使B、兩點(diǎn)重合，折痕EF與AB交于，如圖（4）所示．（4）連結(jié)、AF，如圖（5）所示．經(jīng)過(guò)以上操作小芳得到了以下結(jié)論：①∥EF②四邊形是菱形③△為等邊三形④

eq\o\ac(△,S)

AEF

圓＝33：4π，以上結(jié)論正確的有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)解：∵紙片上下折疊AB兩點(diǎn)重合，∴∠＝90°，∵紙片沿EF疊，、M點(diǎn)重合，∴∠＝90°，∴∠＝∠BNF＝°，∴∥EF，故①正確；根據(jù)垂徑定理，BM直平分，又∵紙片沿EF疊，、M兩點(diǎn)重合，∴＝MN，∴、EF相垂直平分，∴四邊形MEBF是菱形，故②正確；如圖，連接，則ME＝＝2，

D．4個(gè)2222222222∴∠＝30°，∴∠＝90°－30°＝60°，又∵＝ME（都是半徑∴∠＝∠EAM，11∴∠＝∠EMN＝×60°＝30°，22∴∠＝∠AEM＋∠＝30°＋30°＝60°，同理可求∠＝60°，∴∠＝60°，∴△是等邊三角形，故③正確；13設(shè)圓的半徑為r則M＝r，＝r，2213∴＝2EN＝3r，＝＋r＝r，22∴

eq\o\ac(△,S)

AEF

：S圓

13＝（×3×）：πr＝33：4π，故④正確；22綜上所述，結(jié)論正確的是①②③④共個(gè)．選D．同類題同類題例2．如圖，△中，＝4，∠＝45°，以42為半徑，過(guò)、C兩點(diǎn)作⊙，連，則線段OA最大值為______________．解：作⊥BC，則B＝＝

BC＝，如圖，連結(jié)，在eq\o\ac(△,Rt)OBF中，＝OB－BF＝(42)－2＝27，∵∠＝45°，BC＝，∴點(diǎn)A在BC對(duì)應(yīng)的一段弧上一點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)A在BC垂直平分線上時(shí)OA大，2222222此時(shí)⊥BC，＝，作⊥AC，如圖，設(shè)＝x，∵△為等腰直角三角形，∴＝2＝2，∴＝2，在eq\o\ac(△,Rt)BDC中，∵BC＝CD＋，∴4＝（2x－）＋x，即x＝4（2＋211∵AF﹒＝BD﹒，22∴＝

x﹒2x＝22＋24∴＝AF＋＝22＋2＋7，即線段OA最大值為222＋27．同類題如圖，已知⊙O半徑為1，銳角內(nèi)接于⊙，BD⊥AC點(diǎn)，OM⊥AB點(diǎn)M，＝

13

，則sin∠CBD的值等于（）A．

32

B．

13

C．

223

D．

解：連接，∵⊥AB點(diǎn)，＝，∴∠＝∠BOM，∵∠＝2∠C∴∠＝∠，1∵⊙O的半徑1，銳角△ABC內(nèi)接于⊙，⊥AC于點(diǎn)，OM＝，31MO31∴sin∠＝sin∠OBM＝＝＝OB131則sin∠的值等于．3選B．同類題如圖，直線l經(jīng)過(guò)⊙圓心，與⊙于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C⊙O上，AOC＝30°，點(diǎn)P是直線l的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與圓心不重合線CP⊙O相交于點(diǎn)，且＝，則滿足條件的∠OCP的大小為_______________．解：①根據(jù)題意，畫出圖（在△中，＝，∴∠＝∠OCP，在△中，＝，∴∠＝∠MPO，又∵∠＝30°，∴∠＝∠OCP＋∠＝∠＋30°，在△中，∠＋∠＋∠OMC＝180°，即（∠＋30°）＋（∠＋30°）＋∠OCP＝°，整理得，3∠＝120°，∴∠＝40°．②當(dāng)P在線段OA延長(zhǎng)線上（如圖2）∵＝OM，1∴∠OMP=（180°-∠MOC）×①，2∵＝PM，1∴∠OPM=（180°-∠OMP）×②，2在△中，30°＋∠＋∠OMP＋＝180°③，把①②代入③得∠＝20°，則∠＝80°∴∠＝100°；2222③當(dāng)P在線段OA反向延長(zhǎng)上（如圖3∵＝OM，1∴∠OCP=∠OMC=（180°-∠）×①，2∵＝PM，1∴∠P＝180°－∠OMP）×②，2∵∠＝30°，∴∠＋∠POM＝150°③，∵∠P＝POM，∠＝∠＝∠OMC④，①②③④聯(lián)立得∠P＝10°，∴∠＝180°－150°－10°＝20°．故答案為：40°、20°、100．同類題2.3如圖，△中，∠BAC＝90°，＝12，＝10，DAC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為直徑的⊙O交BD，則線段CE最小值是（）A．5B．6C．7D．8解：如圖，連接，則∠＝∠BEA＝90°，∴點(diǎn)E在AB直徑的⊙Q上，∵＝10，∴＝QB＝，當(dāng)點(diǎn)Q、、C三點(diǎn)共線時(shí)，＋CE＝（最短而QE度不變，故此時(shí)CE小，∵＝12，∴＝AQ＋＝13，∴＝QC－＝13－5＝8，選D．例3．如圖直線l1∥2⊙Ol1和l2分別相切于點(diǎn)A和點(diǎn)B點(diǎn)M點(diǎn)N分別是1和l2上的動(dòng)點(diǎn)，1和l2平移．O半徑為1，∠1＝60°．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．＝

433B．若MN⊙O切，則A＝3C．若∠＝90°，則MN與⊙O切D．l1和2

的距離為2解：A、平移MN點(diǎn)BN重合，∠1＝60AB＝2，解直角三角形得M＝

433

，正確；B、當(dāng)MN圓相切時(shí)，，N在AB側(cè)以及，NA，側(cè)時(shí)，AM＝3或C、若∠＝90°，連接NO延長(zhǎng)交MA于點(diǎn)，則△≌△BON，

33

，錯(cuò)誤；故＝NO，△MON≌△MOC，故MN的高為1，即O到MN距離等于半徑．正確；D、1∥l2，兩平行線之間的距離為線段AB長(zhǎng)，即直徑＝2，正確．選B．同類題如圖，已B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（20的圓心坐標(biāo)為0－1徑1．若D是C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射AD與y交于點(diǎn)E，則面積的最大值是__________．解：當(dāng)射線AD⊙C切時(shí)，△ABE面積的最大．連接，∵∠＝∠ADC＝°，＝，＝，∴eq\o\ac(△,Rt)≌eq\o\ac(△,Rt)ADC（∴＝AO＝，2AOAE2AOAE連接，設(shè)EF＝，∴DE＝EF﹒，∵＝1，∴＝(x＋，∵△∽△AOE，∴

CDCE＝，1＋1即＝，22＋(x＋2解得x＝，3eq\o\ac(△,S)

ABE＝

22×(＋1＋2)BE×311＝＝223

．同類題3.2我們將在直角坐標(biāo)系中圓心坐標(biāo)和半徑均為整數(shù)的圓稱為“整圓如圖，直線l：＝kx＋3與x、y分別交于、，∠＝30°，點(diǎn)P在x上，⊙P與l相切，當(dāng)P在線段OA運(yùn)動(dòng)時(shí)，使得⊙P成為整圓的點(diǎn)P個(gè)數(shù)是（）A．6B．8C．10D．12解：∵直線l：＝kx＋3與x軸、y分別交于、，∴B（，4gh(3)∴＝43，在eq\o\ac(△,RT)AOB中，∠＝30°，∴＝3＝3×43＝，∵⊙P與切，設(shè)切點(diǎn)為M，連接，則PM⊥，122122∴＝PA，2設(shè)P（，0∴＝12－x，11∴⊙P的半徑P＝＝6－x，22∵x為整數(shù)PM為整數(shù)，∴x可以取0，，4，6，8，10，6個(gè)數(shù)，∴使得⊙P成為整圓的點(diǎn)P個(gè)數(shù)是6．故選：A．同類題已知⊥BC于CBC＝，CA＝＝c，下列圖形中O與△的某兩條邊或三邊所在的直線相切，則⊙O的半徑為

aba＋

的是（）A．B．解：設(shè)⊙O的半徑為，A、∵⊙是△內(nèi)切圓，

C．D．∴

eq\o\ac(△,S)

11ABC＝（a＋＋c）﹒＝ab，∴r＝

aba＋＋c

；B、如圖，連接，則OD＝＝r，＝b－，∵AD⊙O切線，∴⊥AB，即∠＝∠＝90°，∴△∽△ACB，∴：AB＝：，即（b－＝r：，ab解得：r＝a＋

；C、連接，OD，∵ACBC⊙O的切線，∴⊥BC，⊥，∴∠＝∠ODC＝∠＝90°，∴四邊形ODCE是矩形，∵＝OE，∴矩形ODCE是正方形，222222∴＝OD＝，OE∥，∴：AC＝：，∴r：＝（a－，∴r＝

aba＋

；D、解：設(shè)、BA、⊙O的切點(diǎn)分別為、、E；連接OD、；∵、BE⊙O切線，∴∠＝∠OEC＝∠＝90°；∴四邊形ODCE是矩形；∵＝OE，∴矩形ODCE是正方形；即＝OD＝＝，則＝＝b－；連接，OF，由勾股定理得：BF＝OB－OF，BE＝OB－，∵＝OB，＝，∴＝BE，則＋AF＝＋，＋b－＝a＋，即r＝

c＋－a2

．故選C．例4．如圖，正方形ABCD和正三角形AEF都內(nèi)接于⊙，EF，別相交于點(diǎn)G，，則

EFGH

的值為______________．解如圖，連接AC、、OF，設(shè)⊙O的半徑，則＝r，∵AO∠的平分線，∴∠＝60°÷2＝30°，∵＝OF，∴∠＝∠OAF＝°，∴∠＝30°＋30°＝60°，∴FI=r﹒sin60°=

32

r，∴EF=

3r×2=3，2BDCO2GHr∵＝2OI，111∴＝r，＝－＝r，222GHCI1∴＝＝，1∴＝BD＝，2∴

EF3r＝＝3．同類題圖，在菱形ABCD，對(duì)角線，BD交于點(diǎn)，以為直徑畫圓M，過(guò)⊙的切線，切點(diǎn)為N分別交AC，BC于點(diǎn)E，已知AE5，＝則DF的長(zhǎng)是_______________．解：延長(zhǎng)，過(guò)B直線平行ACEF相交于，∵＝5，EC＝，∴＝CE＋，即有，＝EN＝1，1又∵△∽△DEO，且MN=DM，3∴＝3OE＝，又∵∥BP，是DB點(diǎn)，所以E也是中點(diǎn)，∴＝DE＝，∴＝2，又∵△∽△PFB，相似比是3：，3∴EF=EP×＝1.8，5故可得＝DE＋＝3＋1.8＝4.8．同類題如圖，已知△的外接圓⊙半徑為1，、別是、AC的點(diǎn)，＝2，EC＝2AE，則∠BAC的值等于線段（）A．DE長(zhǎng)B．BC長(zhǎng)C．

23DE的長(zhǎng)D．DE長(zhǎng)3222解：如圖，作直徑，連接，BCBC在eq\o\ac(△,Rt)CBF中，sin∠＝＝；CF2∵＝2AD，＝2，∴：AB＝：＝1：3，又∵∠＝∠CAB，∴△∽△CAB，∴＝3DE，∴sin∠A＝sin∠＝

BC3DE3＝＝222

DE．選D．例5．如圖AB⊙O的直徑點(diǎn)C⊙O上一點(diǎn)，AD與過(guò)點(diǎn)C的切線垂直，垂足D，直線DC與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，弦CE分∠ACB，交于點(diǎn)F，連結(jié)BE，＝72．下列四1個(gè)結(jié)論：①AC平分∠DABPFPBPA＝OP則陰影部分的面積為27493π－3；④若PC＝24，則an∠＝．其中正確的是（）444A．①②B．③④C．①②④D．①②③解：①連接OC．∵＝OC，∴∠＝∠OCA．∵PC⊙O切線，⊥，∴∠＝∠＝90°，∴∥AD．∴∠＝∠OCA＝∠C．即AC分∠DA．故正確；②∵AB直徑，22⌒⌒4PCAC∴∠＝90°，∴∠＋∠ACD＝°，又∵∠＋∠ACD＝°，∴∠＝∠CAD＝∠B．又∵∠＝∠BCE，∠PFC＝∠CAB＋∠，∠＝∠PCB＋∠．∴∠＝∠PCF．∴＝PF，∵∠P是公共角，∴△∽△PAC，∴：PA＝：，∴PC＝PB﹒，即PF＝PB﹒；故正確；③連接．∵∠＝∠BCE，∴AEBE，∴＝BE．又∵AB直徑，∴∠＝90°．∴AB=2BE=2×72＝14∴＝OC＝，∵PD切線，∴∠＝90°，1∵＝OP，2∴BCeq\o\ac(△,Rt)的中線，∴＝OB＝，即△是等邊三角形，∴∠＝60°，∴

eq\o\ac(△,S)

49BOC＝3，S_(扇形)＝(60)/×π×7^(2)＝(49)/(6)，∴陰影部分的面積為

4949π－3；故錯(cuò)誤；64④∵△∽△PAC，∴

PBBC＝，ACPC22＝SM＋SP22ππ222ACPC22＝SM＋SP22ππ222∴tan∠＝tan∠PAC＝

BCPB＝，設(shè)＝x，則PA＝＋14，∵PC＝PB﹒，∴24＝x（x＋14解得：x1＝18，2＝－32，∴＝18，PB183∴tan∠＝＝＝；故正確．PC244故選C．同類題如圖，在半徑為2cm，圓心角為的扇形中，分別以、OB為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為．解：∵扇形OAB的圓心角為90°，扇形半徑為2，290π×22∴扇形面積為：＝π（cm36012π2半圓面積為：×π×1＝（cm22∴SQ＋M

π2＝（cm2∴SQ＝P

，連接，OD，∵兩半圓的直徑相等，∴∠＝∠BOD＝45°，∴S綠色＝

eq\o\ac(△,S)

1AOD＝×2×1＝1(cm)，∴陰影部分Q的面積為：S扇形A－S半圓－綠色＝π－－1＝－1(cm)．同類題某景區(qū)修建一棟復(fù)古建筑，其窗戶設(shè)計(jì)如圖所示．圓O圓心與矩形ABCD36022SS角線的交點(diǎn)重合，且圓與矩形上下兩邊相切E上切點(diǎn)左右兩邊相交FG其中兩個(gè)交點(diǎn)圖中陰影部分為不透光區(qū)域，其余部分為透光