高中數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)問(wèn)題十六_第1頁(yè)
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高中數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)問(wèn)題十六_第3頁(yè)
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挑戰(zhàn)問(wèn)題16如圖1，矩形ABCD中，AB=6，BC=10，P是邊AD上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、D重合），連接PC,E是邊AB上一點(diǎn)，設(shè)BE=a,若存在唯一點(diǎn)P，使∠EPC=90°，則a、AP的值分別為。（要求：至少用三種方法，看誰(shuí)的方法多.）圖1思路圖1解法1：如圖1，根據(jù)題意得：AE=6-a，設(shè)AP=x,則PD=10-x，由△EAP∽△PDC,得EAPD=APDC，即6-a10-x=x6，化簡(jiǎn)x2圖2解法2：連接CE，設(shè)AP=x,則EP2=x2+6-a2，PC2=62+10-x2圖2總結(jié)：基于“唯一“條件”，即AP的長(zhǎng)度唯一，設(shè)AP=x,通過(guò)相似，勾股定理建立關(guān)于x的方程，進(jìn)而根據(jù)X的唯一性得到方程的判別式等于0的解。圖3圖3分析：由于AP的長(zhǎng)唯一，∠EPC=90°，所以以EC為直徑的圓與AD相切。解法3：如圖3，設(shè)以CE為直徑的☉O與AD切于點(diǎn)P,延長(zhǎng)PO交BC于點(diǎn)F，則AE∥PO∥CD,由EO==CO,可得P為AD的中點(diǎn)，因?yàn)椤鱁AP∽△PDC,得EAPD=APDC，6-a圖4解法4：由作圖可知，點(diǎn)O、點(diǎn)F為CE、BC的中點(diǎn)，所以O(shè)F=12BE=a2，CE=2PO=26-a圖4解法5：由圖3可知：S△EPC=12PC·PE=12BC·OP所以52+解法6：如圖4，設(shè)以CE為直徑的圓與AD切于點(diǎn)P，延長(zhǎng)EP，CD交于點(diǎn)M，則AE∥PO∥CD，因?yàn)镺E=OC,得AP=PD=5，得△EAP≌△MDP,MD=AE=6-a,由PD2=CD·MD得52=6總結(jié)：∠EPC=∠EBC=90°可得點(diǎn)B、C、P、E四點(diǎn)共圓，由P點(diǎn)存在的唯一位置,且∠EPC=90°,可判斷以CE為直徑的圓與AD切于點(diǎn)P，進(jìn)而得到AP=DP=5.圖圖5思路3：建立平面直角坐標(biāo)系，利用兩直線垂直的斜率乘積為-1.解法7：如圖5，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以邊BC，BA所在直線建立x，y軸，設(shè)AP=x,則kPC=-610-x,得kPC·kEP=-1,下同解法1.總結(jié)：通過(guò)建立平面

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