幾何與代數(shù)：習題解析第二章

思考題(1).對任意的b,Ax=b(By=b)都有解嗎？(2).A(B)

的列向量組的所有的線性組合能覆蓋整個R3嗎？(4).綜合上述三問你們能得到什么結(jié)論？(3).上述(1)(2)及定理3.3三者間有什么關(guān)系？(1).對任意的b,Ax=b(By=b)都有解嗎？(2).A(B)

的列向量組的所有的線性組合能覆蓋整個R3嗎？(1).對任意的b,Ax=b都有解，但By=b不一定有解，只有當b在A1,A2所在平面上時才有解.(2).A的列向量組的所有的線性組合能覆蓋整個R3.

但是B

的列向量組的所有的線性組合只能覆蓋A1,A2所在的平面.r(A)=3r(B)=2<3b,r(A)=3=r(A,b),b,r(B)=2,r(B,b)=2,3,(4).綜合上述三問你們能得到什么結(jié)論？(3).上述(1)(2)及定理3.3三者間有什么關(guān)系？(1).對任意的b,Ax=b都有解，但By=b不一定有解，只有當b在A1,A2所在平面上時才有解.(2).A的列向量組的所有的線性組合能覆蓋整個R3.

但是B

的列向量組的所有的線性組合只能覆蓋A1,A2所在的平面.定理3.3

在空間中取定三個不共面的1,2,3,則對空間中任一向量都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),

使得

=x1+y2+z3.對A來說，(1)(2)及定理3.3都是等價的.對B來說，(1)(2)等價，但不滿足定理3.3的條件.(4).綜合上述三問你們能得到什么結(jié)論？(1).對任意的b,Ax=b都有解，但By=b不一定有解，只有當b在A1,A2所在平面上時才有解.(2).A的列向量組的所有的線性組合能覆蓋整個R3.

但是B

的列向量組的所有的線性組合只能覆蓋A1,A2所在的平面.對A來說，(1)(2)及定理3.3都是等價的.對B來說，(1)(2)等價，但不滿足定理3.3的條件.當A的列向量不共面時,b,Ax=b都有解，R3

中任意向量都可由A的列向量唯一的線性表示.當A的列向量在同一個平面上,只對該平面上的向量b,

Ax=b才有解，而此平面外的向量則不能由A的列向量線性表示，Ax=b就無解.加法和數(shù)乘

轉(zhuǎn)置:(AB)T=BTATA1:AB=BA=E分塊運算:分塊轉(zhuǎn)置初等行(列)變換秩:r(A)Ak,f(A)矩陣的運算一般矩陣AB:交換律消去律|A|:RnnRA*=(Aji):AA*=A*A=|A|E方陣可逆矩陣

對稱矩陣反對稱矩陣

零矩陣

對角矩陣單位矩陣初等矩陣

數(shù)量矩陣一次初等變換

(左行右列)行矩陣乘法消去率一般不成立.第二章矩陣

§2.1矩陣的代數(shù)運算

矩陣乘法交換率一般不成立(AB)kAkBk(A+B)2

A2

+B2+2AB

(A+B)(AB)A2B2但是，消去率在A可逆時成立.矩陣乘積可交換的情況：1.方陣4.5.AkAl=AlAk

3.

(aEm)Am×n=

Am×n(aEn)2.對角矩陣=

設A,B都是可逆方陣,則常用的分塊矩陣求逆和行列式公式A

C0

B0ABC=|A||B|=(1)mn|A||B||A||B||C||D|A

D

CB問題初等變換終止矩陣結(jié)果秩階梯陣r(A)=非0行數(shù)行變換解線性方程組Ax=b(AX=B)(Ab)行變換(AB)行變換階梯陣判別解:r1<r2無解r1=r2=n唯一解,r1=r2<n無窮多解行最簡形取非主列變量為自由變量，得到通解逆矩陣行變換行最簡形(AE)(EA1)行列式行/列變換三角形某行(列)有一非0元素注意對角線方向的符號按此行(列)展開初等變換的作用等秩、等價矩陣的秩反應了矩陣的什么本質(zhì)特征？非零子式的最高階數(shù).矩陣初等行變換化為的階梯陣的階梯數(shù).

初等行變換(階梯陣),則秩是相抵的矩陣具有的共同特征.

非零子式的最高階數(shù)矩陣的秩6)r(A)r(B)

r(AB)r(A)+r(B)A中至少有一個r級子式0,任一k(>r)級子式=0.

r(Amn)min{m,n}，r(A)=r(AT)9)設A是n(2)階方陣,則2)A,B相抵A,B同型,

r(A)=

r(B)=r(PAQ)

(P,Q可逆).3)

r(Amn)=r

A

P,Q可逆,A=P

Q.2.如何計算一個可逆矩陣的逆矩陣？1.如何判斷矩陣是否可逆？A為方陣|A|0由推論：A(?)=E由性質(zhì)：(kA)1=k1A1.(AB)1=B1A1.分塊求逆：A-1A-1CB-1OB-1=.A

COB-1由公式：(A

E)初等行變換(E

A1)用初等行變換：(方陣A可逆)A為非奇異陣、非退化陣、滿秩A與E相抵A的行最簡形矩陣為E.A=初等矩陣的乘積，即存在初等矩陣P1,P2,…,Ps,使得A=P1P2…Ps.(A,B為方陣.)mn矩陣n階行列式定義加法數(shù)乘乘法符號行列式與矩陣的區(qū)別

||,初等變換時用=[]或(),初等變換時用習題3(10)第二章矩陣

習題解析4(1)求所有與矩陣可交換的矩陣B.解1:待定系數(shù)法第二章矩陣

習題解析解2:5.證第二章矩陣

習題解析不能設為具體矩陣來證明因A是實矩陣6(1)A=cos

sin

sincos,.求證An=cosn

sinn

sinncosn證明:當n=1時,結(jié)論顯然成立.假設結(jié)論對于n=k成立,即.cosk

sink

sinkcoskAk=cos

sin

sincos則Ak+1=AkAcosk

sink

sinkcosk==cos(k+1)

sin(k+1)

sin(k+1)cos(k+1)=因此對于任意正整數(shù)n,結(jié)論成立.coskcossinksincosksinsinkcossinkcos+cosksinsinksin+coskcos第二章矩陣

習題解析解法1：解法2：發(fā)散思維—轉(zhuǎn)換思考角度，訓練思維的求異性例.令計算y=Ax幾何含義：x沿逆時針旋轉(zhuǎn)得到y(tǒng)解設設,計算則6(4)第二章矩陣

習題解析解設設,計算則6(4)第二章矩陣

習題解析第二章矩陣運算和行列式

§2.1矩陣及其運算

證明:(存在性)設A為n階方陣，并且8.設A為n階方陣，證明：存在唯一的對稱矩陣B與反對稱矩陣C,

使得A=B+C.請注意高等數(shù)學中的類似結(jié)論：任意一個定義域關(guān)于坐標原點對稱的實函數(shù)都可表示為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和。第二章矩陣運算和行列式

§2.1矩陣及其運算

(唯一性)設B1,C1為n階方陣，并且8.設A為n階方陣，證明：存在唯一的對稱矩陣B與反對稱矩陣C,

使得A=B+C.證明:(存在性)證明2：8.設A為n階方陣，證明：存在唯一的對稱矩陣B與反對稱矩陣C,

使得A=B+C.R2

R1R2/2R1

R2即GG可逆(1)有唯一解第二章矩陣

習題解析解法一：

第二章矩陣

習題解析解法二：

第二章矩陣

習題解析11.A是3階方陣,解：求第二章矩陣

習題解析12.證明:若|A|=0,則|A*|=0.證明：

當A=0,A*=0,則|A*|=0當A0,若|A*|0,則A*可逆,與A0矛盾,則|A*|=0.若|A|0,則若|A|=0,則由12題知，|A*|=0|A*|=|A|n113.若A是n(n2)階方陣，證明:|A*|=|A|n1.第二章矩陣

習題解析證：

證明：

15.設n階方陣A滿足是A2+A2E=O，證明:(1)A是可逆的，并求A1；(2)A+3E是可逆的，并求(A+3E)1；(3)當自然數(shù)k為何值時A+kE可逆，求其逆.第二章矩陣

習題解析A+1所以A是可逆的，并且所以A+3E是可逆的，并且A+kE可逆，并且當即自然數(shù)時(A+2E)(AE)=O

16.假設方陣證明:可逆，并求其逆陣.證明：第二章矩陣

習題解析21.設A是三階方陣，x是三維非零列向量，若可逆，求一矩陣B，使得A=PBP1.解：因P可逆第二章矩陣

習題解析23.根據(jù)k的取值，討論矩陣A的秩.解：r3kr1r2+

r1r3r2當k=1時，r(A)=1;當k=2時，r(A)=2;當k1,

2時，r(A)=3.第二章矩陣

習題解析解:可逆B

可逆25.已知44矩陣A可逆，交換其第一三行得到矩陣B,

證明B可逆，并求

AB1.第二章矩陣

習題解析證明:設

28.

證明任意秩為r的矩陣必定可以表示成r個秩為1的矩陣之和.設矩陣只有元素(i,i)為1，其余都為0.第二章矩陣

習題解析證明:(必要性)(充分性)法1：29.假設A是sn矩陣，則矩陣方程AX=Es有解

r(A)=s.從而矩陣方程AX=Es有解第二章矩陣

習題解析證明:(必要性)(充分性)法2：29.假設A是sn矩陣，則矩陣方程AX=Es有解

r(A)=s.從而矩陣方程AX=Es有解第二章矩陣

習題解析反證法2：若則所以AX=Es無解.29.假設A是sn矩陣，則矩陣方程AX=Es有解

r(A)=s.矩陣方程AX=Es有解第二章矩陣

習題解析錯誤1：錯誤2：用”班長—學生”方法的前提是班長很容易成立.設U為

rref,

“UX=Es有解

r(U)=s”

并不更易證明.錯誤3：A可逆嗎？X可逆嗎？|A|,|X|存在嗎？A是sn矩陣，X是ns矩陣.不是方陣沒有可逆性和行列式！AX=Es有解30.設n階方陣A滿足,試證證明：

第二章矩陣

習題解析證明：

A中所有n1階子式都為0.中至少有一個n1階非零子式.31.設A是n(2)階方陣,則第二章矩陣

習題解析解1:設例6.第二章矩陣

§2.5初等矩陣

若向量Rn(n>1),0,A=T,求r(A),|A|.設r(A)=1r1/a1riair1i=2,,n

A<nA不可逆|A|=0.解2:設例6.若向量Rn(n>1),0,A=T,求r(A),|A|.設第二章矩陣

§2.5初等矩陣

A中各行之間成比例.|A|=0.解2:設r(A)=1即A中存在一個一階非零子式.r(A)1另一方面,r(A)=r(T)r()=1設第二章矩陣1.設n維向量=(a,0,…,0,a)T,a<0,A=ET,

B=E+(1/a)T,A=B1,則a=().練習題2.設A,B,C均為n階矩陣,若B=E+AB,C=A+CA,則BC為().(A)E(B)

E(C)A(D)

A

3.

設1,2,3,1,2R4,|1,2,3,1|=m,

|1,2,2,3|=n,

則|3,2,1,1+2|=().4.設A是n階可逆矩陣(n2),則().

(A)(A*)*=|A|n1A(B)(A*)*=|A|n+1A(C)(A*)*=|A|n2A(D)(A*)*=|A|n+2A

第二章矩陣

1.設n維向量=(a,0,…,0,a)T,a<0,A=ET,

B=E+(1/a)T,A=B1,則a=().練習題2.設A,B,C均為n階矩陣,若B=E+AB,C=A+CA,則BC為().(A)E(B)E(C)A(D)

A

1解：AB=E=E+(1/a1)T(1/a)TTAB=E=E+(1/a12a)TT=2a2>0,1/a12a=0a=1/2,1a<0a=1解：B=E+AB(EA)B=EB=(EA)1C=A+CAC(EA)=AC=A(EA)1BC=(EA)1

A(EA)1=(EA)

(EA)1=EA第二章矩陣練習題3.

設1,2,3,1,2R4,|1,2,3,1|=m,

|1,2,2,3|=n,

則|3,2,1,1+2|=().|3,2,1,1+2|nm=|1,2,3,1+2|=|1,2,3,1||1,2,3,2|=|1,2,3,1|+|1,2,2,3|=nm第二章矩陣4.設A是n階可逆矩陣(n2),則().練習題

(A)(A*)*=|A|n1A(B)(A*)*=|A|n+1A(C)(A*)*=|A|n2A(D)(A*)*=|A|n+2A

解：C2(5).設A,B是n階矩陣,則C*=().