數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)課件

應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)1應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)1趙選民等，《數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，科學(xué)出版社，2002

茆詩松等，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》，高等教育出版社，2004

中山大學(xué)數(shù)學(xué)系，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，高等教育出版社，2001

吳翊等，《應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，國防科技大學(xué)出版社，1995

參考書目2趙選民等，《數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，科學(xué)出版社，2002

茆詩松等，《概

數(shù)理統(tǒng)計(jì)與概率論是兩個(gè)有密切聯(lián)系的學(xué)科，它們都以隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律為研究對(duì)象。但在研究問題的方法上有很大區(qū)別：概率論——已知隨機(jī)變量服從某分布,尋求分布的性質(zhì)、數(shù)字特征、及其應(yīng)用；數(shù)理統(tǒng)計(jì)

——

通過對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析,尋找所服從的分布和數(shù)字特征,從而推斷整體的規(guī)律性。

數(shù)理統(tǒng)計(jì)的核心問題——由樣本推斷總體

3數(shù)理統(tǒng)計(jì)與概率論是兩個(gè)有密切聯(lián)系的學(xué)科，它們

統(tǒng)計(jì)學(xué)從方法上講有兩大類:描述性統(tǒng)計(jì)方法和數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法(即抽樣統(tǒng)計(jì)方法).

描述性統(tǒng)計(jì)方法:全部資料數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法:部分資料

抽樣統(tǒng)計(jì)方法4統(tǒng)計(jì)學(xué)從方法上講有兩大類:描述性統(tǒng)計(jì)方法和數(shù)

數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它研究怎樣用有效的方法去收集、整理、分析帶隨機(jī)影響的數(shù)據(jù)，并在此基礎(chǔ)上對(duì)所討論的問題給出統(tǒng)計(jì)性的估計(jì)和推斷。數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的內(nèi)容:概括為兩大類

用有效的方法去收集數(shù)據(jù)。抽樣理論和試驗(yàn)設(shè)計(jì)

有效地使用數(shù)據(jù)。中心內(nèi)容—統(tǒng)計(jì)推斷它包括參數(shù)估計(jì)，假設(shè)檢驗(yàn)，回歸分析，方差分析，多元統(tǒng)計(jì)分析等等。5數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它研究怎樣用有效的有效性的含義

上述有效性有兩個(gè)含義：可以建立一個(gè)在數(shù)學(xué)上便于處理的模型來描述所得的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)中要包含盡可能多的與所研究的問題有關(guān)的信息。6有效性的含義上述有效性有兩個(gè)含義：6關(guān)于統(tǒng)計(jì)推斷由于統(tǒng)計(jì)推斷中使用的僅僅是部分?jǐn)?shù)據(jù)，且?guī)в须S機(jī)性，故所得結(jié)論只能做到盡可能而非絕對(duì)的精確可靠，而結(jié)論的正確性程度顯然可以用概率來度量，因此概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)。統(tǒng)計(jì)方法的具體使用并不需要很高深的數(shù)學(xué)知識(shí)，但不具備較多較深的數(shù)學(xué)知識(shí)，這些方法的理論依據(jù)就說不清楚。本課主要介紹數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，也給出一些必要的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，但不追求其嚴(yán)密性和完整性。7關(guān)于統(tǒng)計(jì)推斷由于統(tǒng)計(jì)推斷中使用的僅僅是部分?jǐn)?shù)據(jù)，且?guī)в须S機(jī)性數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的應(yīng)用

幾乎在人類活動(dòng)的一切領(lǐng)域中都能夠不同程度地發(fā)現(xiàn)數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的應(yīng)用。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理離不開數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法；在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，最佳生產(chǎn)工藝的安排，最佳配方的確定，優(yōu)良品種的對(duì)比試驗(yàn)，產(chǎn)品質(zhì)量的控制管理，產(chǎn)品驗(yàn)收方案的制定，電子元器件壽命的計(jì)算等都要用到數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。8數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的應(yīng)用幾乎在人類活動(dòng)的一在醫(yī)藥衛(wèi)生領(lǐng)域，流行病的研究、新藥的藥效試驗(yàn)以及某種疾病的發(fā)病率與其它因素的關(guān)系的研究都是數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的用武之地。在生物遺傳學(xué)、氣象預(yù)報(bào)、地震研究、地質(zhì)探礦等方面的研究中，數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法是必備工具之一。數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法在社會(huì)科學(xué)方面的應(yīng)用也愈來愈廣泛，教育學(xué)，人口學(xué)，社會(huì)保險(xiǎn)業(yè)，各種社會(huì)問題的抽樣調(diào)查，市場預(yù)測，民意測驗(yàn)等都有數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法涉足?？傊?，只要安排試驗(yàn)和處理數(shù)據(jù)，就可以用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。9在醫(yī)藥衛(wèi)生領(lǐng)域，流行病的研究、新藥的藥效試驗(yàn)以及某種疾病的發(fā)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展簡史統(tǒng)計(jì)學(xué)的起源：統(tǒng)計(jì)學(xué)起源于古代，早在公元前3050年的古埃及就為建造金字塔進(jìn)行過全國國力統(tǒng)計(jì)。到了16世紀(jì)，西歐各國政府對(duì)收集公民有關(guān)資料發(fā)生興趣。Statistics（統(tǒng)計(jì)學(xué)）源于State.數(shù)理統(tǒng)計(jì)的正式誕生。在數(shù)學(xué)家建立了概率論后，才奠定了數(shù)理統(tǒng)計(jì)發(fā)展的理論基礎(chǔ)。一般認(rèn)為，它誕生于19世紀(jì)后期。10數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展簡史統(tǒng)計(jì)學(xué)的起源：統(tǒng)計(jì)學(xué)起源于古代，早在公元前19世紀(jì)后期到20世紀(jì)四十年代。在這時(shí)期，英國人高爾頓、皮爾遜、費(fèi)歇等作了大量開創(chuàng)性工作。尤其，費(fèi)歇于1922年的一篇論文是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)建立過程的一個(gè)里程碑，該文主要觀點(diǎn)至今仍基本有效。到了四十年代，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)已發(fā)展成為一個(gè)成熟的數(shù)學(xué)分支，它的重要標(biāo)志是瑞典統(tǒng)計(jì)學(xué)家H.Cramer于1949年的著作《MathematicalMethodsofStatistics》1119世紀(jì)后期到20世紀(jì)四十年代。在這時(shí)期，英國人高爾頓、皮爾二戰(zhàn)后。這時(shí)期的一個(gè)突出特點(diǎn)是計(jì)算機(jī)的發(fā)明和使用。它使人們能夠處理大量的數(shù)據(jù)及其運(yùn)算，把數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究引入到宏觀世界和微觀世界，又出現(xiàn)了一些新的分支。最后，特別提一下我國的許寶祿教授在極限理論、馬氏過程、多元分析、正交設(shè)計(jì)、過程設(shè)計(jì)和判別函數(shù)等許多方面都有突出的貢獻(xiàn)，他的許多研究成果都達(dá)到了世界先進(jìn)水平。12二戰(zhàn)后。這時(shí)期的一個(gè)突出特點(diǎn)是計(jì)算機(jī)的發(fā)明和使用。它使人們能第一章基礎(chǔ)知識(shí)

經(jīng)典的數(shù)理統(tǒng)計(jì)是以概率統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ)的，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的關(guān)系極為密切，為以后學(xué)習(xí)的方便，這里對(duì)概率論做一個(gè)簡單的回顧。1、概率論的回顧2、數(shù)理統(tǒng)計(jì)簡介13第一章基礎(chǔ)知識(shí)經(jīng)典的數(shù)理統(tǒng)計(jì)是以概率§1、概率論的回顧確定性現(xiàn)象和不確定性現(xiàn)象、隨機(jī)現(xiàn)象概率論：研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一個(gè)數(shù)學(xué)分支隨機(jī)事件的定義、運(yùn)算及運(yùn)算律古典概型、幾何概型、統(tǒng)計(jì)概型的定義及性質(zhì)概率的公理化定義條件概率,乘法公式,全概率公式,貝葉斯公式(逆概率公式、后驗(yàn)公式），獨(dú)立性14§1、概率論的回顧確定性現(xiàn)象和不確定性現(xiàn)象、隨機(jī)現(xiàn)象14隨機(jī)變量、分布函數(shù)及其性質(zhì)隨機(jī)變量函數(shù)的分布多維隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量的數(shù)字特征：期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)及其性質(zhì)15隨機(jī)變量、分布函數(shù)及其性質(zhì)15條件數(shù)學(xué)期望定義設(shè)X是一個(gè)r.v.，且EX存在.則記稱E(X|Y=y)為已知Y=y時(shí)X的條件期望.定義設(shè)g(y)=E(X|Y=y)，隨機(jī)變量g(Y)就可記作E(X|Y),且稱為已知Y時(shí)X的條件數(shù)學(xué)期望。16條件數(shù)學(xué)期望定義設(shè)X是一個(gè)r.v.，且EX存在.則記條件數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)如果X和Y獨(dú)立,且EX存在,則E(X|Y)=EXE(h(Y)|Y)=h(Y)E(q(X,Y)|Y=y)=E(q(X,y)|Y=y)E(E(X|Y))=E(X)重期望定理17條件數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)如果X和Y獨(dú)立,且EX存在,則E§2、隨機(jī)變量的特征函數(shù)定義

稱隨機(jī)變量eitX的數(shù)學(xué)期望(t)=EeitX為X的特征函數(shù)。隨機(jī)變量的特征函數(shù)(t)是實(shí)變量t的復(fù)值函數(shù)，總是存在的,且與隨機(jī)變量一一對(duì)應(yīng)。當(dāng)X為連續(xù)型時(shí)，當(dāng)X為離散型時(shí)， 18§2、隨機(jī)變量的特征函數(shù)定義稱隨機(jī)變量eitX的數(shù)學(xué)期望特征函數(shù)基本性質(zhì)19特征函數(shù)基本性質(zhì)192020幾個(gè)常見隨機(jī)變量的特征函數(shù)21幾個(gè)常見隨機(jī)變量的特征函數(shù)21①非降的右連續(xù)函數(shù)；§3多元隨機(jī)向量

一、多元隨機(jī)的分布函數(shù)1、多元聯(lián)合分布函數(shù)隨機(jī)向量的概率分布函數(shù)定義為2、聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)22①②分布函數(shù)的取值范圍為[0，1]，即③分布函數(shù)當(dāng)變量取值為無窮大時(shí)，函數(shù)值收斂到1，即23②分布函數(shù)的取值范圍為[0，1]，即二、兩個(gè)常用的離散多元分布

1、多項(xiàng)分布

則稱服從多項(xiàng)分布。24二、兩個(gè)常用的離散多元分布

1、多項(xiàng)分布則稱2、多元超幾何分布

則服從多元超幾何分布。252、多元超幾何分布則

三、多元隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)

1、定義隨機(jī)向量的聯(lián)合分布函數(shù)可以表示為則稱為連續(xù)型隨機(jī)向量。稱為的多元聯(lián)合概率密度函數(shù)。

26三、多元隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)

1、定義隨機(jī)向量若在點(diǎn)連續(xù)，則27若在點(diǎn)

四、邊際分布

設(shè)有連續(xù)隨機(jī)向量

不妨設(shè)是的前q個(gè)分量組成。則的分布為

28四、邊際分布設(shè)有連續(xù)隨機(jī)向量不妨設(shè)所以的邊際密度為例有概率密度函數(shù)

試分別求的邊際密度。29所以的邊際密度為例3030五、條件分布1、問題的引入

若A和B是任意兩個(gè)事件，且，則稱為在B事件發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率?？紤]隨機(jī)向量，其中表示人的身高（單位：米），表示人的體重（單位：公斤），在身高為1.9米的人群中，體重的分布就再也不是原來的分布了。而是在的條件分布。31五、條件分布1、問題的引入若A和B是任2、條件分布連續(xù)隨機(jī)向量

不妨設(shè)是的q個(gè)分量組成。是余下的n-q個(gè)分量組成。是條件下，的條件概率密度函數(shù)。322、條件分布不妨設(shè)

例設(shè)X=(X1,X2)’有概率密度函數(shù)試求條件密度函數(shù)f(x1|x2)和f(x2|x1)。33例設(shè)X=(X1,X2)’有概率密度函數(shù)試求條件密度所以先求

34所以先求34所以當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),35所以當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),353、設(shè)是n個(gè)隨機(jī)向量，若

對(duì)一切成立，則相互獨(dú)立。六、 獨(dú)立性

1、定義設(shè)和是兩個(gè)隨機(jī)向量，若

對(duì)一切、成立，則稱和相互獨(dú)立。2、設(shè)和是兩個(gè)連續(xù)隨機(jī)向量，和相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng)

對(duì)一切、成立。363、設(shè)是n個(gè)

例設(shè)X=(X1，X2，X3)’的聯(lián)合概率密度函數(shù)為試證X1，X2，X3相互獨(dú)立。37例設(shè)X=(X1，X2，X3)’的聯(lián)合概率密度函數(shù)為§4隨機(jī)矩陣

一、數(shù)學(xué)期望1、定義是有隨機(jī)變量構(gòu)成的隨機(jī)矩陣，定義X的數(shù)學(xué)期望為38§4隨機(jī)矩陣一、數(shù)學(xué)期望1、定義是有隨機(jī)變量構(gòu)成的隨

特別當(dāng)時(shí)，便可得到隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)期望為2、性質(zhì)

1）

設(shè)a為常數(shù)，則；2）設(shè)分別為常數(shù)矩陣，則3）設(shè)為n個(gè)同階矩陣，則39特別當(dāng)時(shí)，便可得到隨機(jī)向量二、協(xié)方差矩陣

1、定義：設(shè)和分別為p維和q維隨機(jī)向量，則其協(xié)方差矩陣為40二、協(xié)方差矩陣1、定義：設(shè)41412、性質(zhì)

1）若和相互獨(dú)立。則422、性質(zhì)1）若

若的分量相互獨(dú)立,則協(xié)方差矩陣，除主對(duì)角線上的元素外均為零，即43若的分量相互獨(dú)立,2）隨機(jī)向量X的協(xié)方差矩陣是非負(fù)定矩陣。證：設(shè)a為任意與X有相同維數(shù)的常數(shù)向量，則3）設(shè)A是常數(shù)矩陣，b為常數(shù)向量，則442）隨機(jī)向量X的協(xié)方差矩陣是非負(fù)定矩陣。證：4)若和分別是p和q維隨機(jī)向量，A和B為常數(shù)矩陣，則證明5）若是p個(gè)不全為零的常數(shù)，是相互獨(dú)立的p維隨機(jī)向量，則454)若

三、相關(guān)系數(shù)矩陣若和分別是p和q維隨機(jī)向量，則其相關(guān)系數(shù)矩陣為46三、相關(guān)系數(shù)矩陣46§5隨機(jī)向量的變換

一、一元隨機(jī)變量的變換

設(shè)X具有概率密度函數(shù)fx(x)，函數(shù)y=(x)嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)x=(y)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則Y=(X)的概率密度函數(shù)為

其中y的取值范圍與x的取值范圍相對(duì)應(yīng)。47§5隨機(jī)向量的變換一、一元隨機(jī)變量的y的取值范圍為(0,),則例設(shè)隨機(jī)變量X服從均勻分布U(0,1),即密度函數(shù)

48y的取值范圍為(0,),則例設(shè)隨機(jī)變量X服從均勻分布

二、多元隨機(jī)向量的變換

若有密度函數(shù)，有函數(shù)組其逆變換存在

則的概率密度函數(shù)為49二、多元隨機(jī)向量的變換若

其中特別：若，其中為階可逆常數(shù)矩陣，為維常數(shù)向量，則50其中特別：若，其中為階可逆?！?、常見分布族分布族分布族多元正態(tài)分布族指數(shù)分布族51§6、常見分布族分布族51若連續(xù)型

r.vX具有概率密度其中均為正常數(shù),分別稱為形狀參數(shù)和尺度參數(shù)。的分布,記作則稱X服從參數(shù)為一、分布族這里是含參變量的廣義積分。52若連續(xù)型r.vX具有概率密度其中均為正函數(shù)具有以下性質(zhì):(3)對(duì)自然數(shù)n,(1)(2)分布在水文統(tǒng)計(jì)、最大風(fēng)速或最大風(fēng)壓的概率計(jì)算中經(jīng)常要用到.53函數(shù)具有以下性質(zhì):(3)對(duì)自然數(shù)n,(1)(2)分布在當(dāng)時(shí),分布則是統(tǒng)計(jì)學(xué)中十分重要的分布,其概率密度為當(dāng)時(shí),分布即是參數(shù)為的指數(shù)分布;不少常見的重要分布是分布的特殊情形.54當(dāng)時(shí),性質(zhì)1

設(shè)X~

(,)，則，它的數(shù)學(xué)期望與方差分別為：E(X)=/,D(X)=/2.

性質(zhì)2

設(shè)X~

(,)，則它的特征函數(shù)為：

性質(zhì)3

設(shè)Xi~

(i,)，i=1,2,…,n，且Xi相互獨(dú)立，則X1＋X2+…+Xn~

(1+

2+…+n,)55性質(zhì)1設(shè)X~(,)，則定義

若連續(xù)型r.vX具有概率密度其中均為正常數(shù)。的分布,記作則稱X服從參數(shù)為二、分布族56定義若連續(xù)型r.vX具有概率密度其中性質(zhì)2

設(shè)且相互獨(dú)立，則（提示：作變量變換，求出（U，V）的聯(lián)合密度函數(shù)。）性質(zhì)1

設(shè)X~Be

(a,b)，則它的數(shù)學(xué)期望與方差分別為：E(X)=a/(a+b),D(X)=ab/[(a+a)2(a+b+1)].57性質(zhì)2設(shè)二維正態(tài)隨機(jī)變量的性質(zhì),

設(shè)則(1)(2)(3)服從正態(tài)分布,(4)X與Y獨(dú)立X與Y不相關(guān)58二維正態(tài)隨機(jī)變量的性質(zhì),設(shè)則(1)(2)(如果p維隨機(jī)向量(隨機(jī)變量)多元正態(tài)分布族定義(聯(lián)合)概率密度函數(shù)為則稱隨機(jī)向量X為p維正態(tài)隨機(jī)向量，其中稱為均值向量，V為協(xié)方差矩陣(協(xié)差陣)，且59如果p維隨機(jī)向量(隨機(jī)變量)多元正態(tài)分布族定義(聯(lián)合)概率(3)設(shè)，A是常數(shù)矩陣，b是m

維向量，若令Y=AX+b，則多元正態(tài)分布的性質(zhì)（1）p維正態(tài)分布由其均值向量和協(xié)方差陣唯一確定，且特征函數(shù)為：（2）對(duì)于任一p維向量及p階非負(fù)定矩陣V，必存在p維正態(tài)隨機(jī)向量60(3)設(shè)，(5)設(shè)為多維正態(tài)隨機(jī)向量，則X1與X2互不相關(guān)的充要條件是X1與X2相互獨(dú)立。（6）若，且，則（4）X為p

維正態(tài)隨機(jī)向量的充要條件為對(duì)任一p

維向量c，是一維正態(tài)隨機(jī)變量。61(5)設(shè)為（8）設(shè)，則存在矩陣（7）

n個(gè)獨(dú)立的p元正態(tài)隨機(jī)向量的和仍服從p元正態(tài)分布,即若相互獨(dú)立,且則使得其中。62（8）設(shè)指數(shù)分布族63指數(shù)分布族63應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)64應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)1趙選民等，《數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，科學(xué)出版社，2002

茆詩松等，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程》，高等教育出版社，2004

中山大學(xué)數(shù)學(xué)系，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，高等教育出版社，2001

吳翊等，《應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，國防科技大學(xué)出版社，1995

參考書目65趙選民等，《數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，科學(xué)出版社，2002

茆詩松等，《概

數(shù)理統(tǒng)計(jì)與概率論是兩個(gè)有密切聯(lián)系的學(xué)科，它們都以隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律為研究對(duì)象。但在研究問題的方法上有很大區(qū)別：概率論——已知隨機(jī)變量服從某分布,尋求分布的性質(zhì)、數(shù)字特征、及其應(yīng)用；數(shù)理統(tǒng)計(jì)

——

通過對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析,尋找所服從的分布和數(shù)字特征,從而推斷整體的規(guī)律性。

數(shù)理統(tǒng)計(jì)的核心問題——由樣本推斷總體

66數(shù)理統(tǒng)計(jì)與概率論是兩個(gè)有密切聯(lián)系的學(xué)科，它們

統(tǒng)計(jì)學(xué)從方法上講有兩大類:描述性統(tǒng)計(jì)方法和數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法(即抽樣統(tǒng)計(jì)方法).

描述性統(tǒng)計(jì)方法:全部資料數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法:部分資料

抽樣統(tǒng)計(jì)方法67統(tǒng)計(jì)學(xué)從方法上講有兩大類:描述性統(tǒng)計(jì)方法和數(shù)

數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它研究怎樣用有效的方法去收集、整理、分析帶隨機(jī)影響的數(shù)據(jù)，并在此基礎(chǔ)上對(duì)所討論的問題給出統(tǒng)計(jì)性的估計(jì)和推斷。數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的內(nèi)容:概括為兩大類

用有效的方法去收集數(shù)據(jù)。抽樣理論和試驗(yàn)設(shè)計(jì)

有效地使用數(shù)據(jù)。中心內(nèi)容—統(tǒng)計(jì)推斷它包括參數(shù)估計(jì)，假設(shè)檢驗(yàn)，回歸分析，方差分析，多元統(tǒng)計(jì)分析等等。68數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它研究怎樣用有效的有效性的含義

上述有效性有兩個(gè)含義：可以建立一個(gè)在數(shù)學(xué)上便于處理的模型來描述所得的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)中要包含盡可能多的與所研究的問題有關(guān)的信息。69有效性的含義上述有效性有兩個(gè)含義：6關(guān)于統(tǒng)計(jì)推斷由于統(tǒng)計(jì)推斷中使用的僅僅是部分?jǐn)?shù)據(jù)，且?guī)в须S機(jī)性，故所得結(jié)論只能做到盡可能而非絕對(duì)的精確可靠，而結(jié)論的正確性程度顯然可以用概率來度量，因此概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)。統(tǒng)計(jì)方法的具體使用并不需要很高深的數(shù)學(xué)知識(shí)，但不具備較多較深的數(shù)學(xué)知識(shí)，這些方法的理論依據(jù)就說不清楚。本課主要介紹數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，也給出一些必要的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，但不追求其嚴(yán)密性和完整性。70關(guān)于統(tǒng)計(jì)推斷由于統(tǒng)計(jì)推斷中使用的僅僅是部分?jǐn)?shù)據(jù)，且?guī)в须S機(jī)性數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的應(yīng)用

幾乎在人類活動(dòng)的一切領(lǐng)域中都能夠不同程度地發(fā)現(xiàn)數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的應(yīng)用。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理離不開數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法；在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，最佳生產(chǎn)工藝的安排，最佳配方的確定，優(yōu)良品種的對(duì)比試驗(yàn)，產(chǎn)品質(zhì)量的控制管理，產(chǎn)品驗(yàn)收方案的制定，電子元器件壽命的計(jì)算等都要用到數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。71數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的應(yīng)用幾乎在人類活動(dòng)的一在醫(yī)藥衛(wèi)生領(lǐng)域，流行病的研究、新藥的藥效試驗(yàn)以及某種疾病的發(fā)病率與其它因素的關(guān)系的研究都是數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的用武之地。在生物遺傳學(xué)、氣象預(yù)報(bào)、地震研究、地質(zhì)探礦等方面的研究中，數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法是必備工具之一。數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法在社會(huì)科學(xué)方面的應(yīng)用也愈來愈廣泛，教育學(xué)，人口學(xué)，社會(huì)保險(xiǎn)業(yè)，各種社會(huì)問題的抽樣調(diào)查，市場預(yù)測，民意測驗(yàn)等都有數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法涉足?？傊灰才旁囼?yàn)和處理數(shù)據(jù)，就可以用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。72在醫(yī)藥衛(wèi)生領(lǐng)域，流行病的研究、新藥的藥效試驗(yàn)以及某種疾病的發(fā)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展簡史統(tǒng)計(jì)學(xué)的起源：統(tǒng)計(jì)學(xué)起源于古代，早在公元前3050年的古埃及就為建造金字塔進(jìn)行過全國國力統(tǒng)計(jì)。到了16世紀(jì)，西歐各國政府對(duì)收集公民有關(guān)資料發(fā)生興趣。Statistics（統(tǒng)計(jì)學(xué)）源于State.數(shù)理統(tǒng)計(jì)的正式誕生。在數(shù)學(xué)家建立了概率論后，才奠定了數(shù)理統(tǒng)計(jì)發(fā)展的理論基礎(chǔ)。一般認(rèn)為，它誕生于19世紀(jì)后期。73數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展簡史統(tǒng)計(jì)學(xué)的起源：統(tǒng)計(jì)學(xué)起源于古代，早在公元前19世紀(jì)后期到20世紀(jì)四十年代。在這時(shí)期，英國人高爾頓、皮爾遜、費(fèi)歇等作了大量開創(chuàng)性工作。尤其，費(fèi)歇于1922年的一篇論文是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)建立過程的一個(gè)里程碑，該文主要觀點(diǎn)至今仍基本有效。到了四十年代，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)已發(fā)展成為一個(gè)成熟的數(shù)學(xué)分支，它的重要標(biāo)志是瑞典統(tǒng)計(jì)學(xué)家H.Cramer于1949年的著作《MathematicalMethodsofStatistics》7419世紀(jì)后期到20世紀(jì)四十年代。在這時(shí)期，英國人高爾頓、皮爾二戰(zhàn)后。這時(shí)期的一個(gè)突出特點(diǎn)是計(jì)算機(jī)的發(fā)明和使用。它使人們能夠處理大量的數(shù)據(jù)及其運(yùn)算，把數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究引入到宏觀世界和微觀世界，又出現(xiàn)了一些新的分支。最后，特別提一下我國的許寶祿教授在極限理論、馬氏過程、多元分析、正交設(shè)計(jì)、過程設(shè)計(jì)和判別函數(shù)等許多方面都有突出的貢獻(xiàn)，他的許多研究成果都達(dá)到了世界先進(jìn)水平。75二戰(zhàn)后。這時(shí)期的一個(gè)突出特點(diǎn)是計(jì)算機(jī)的發(fā)明和使用。它使人們能第一章基礎(chǔ)知識(shí)

經(jīng)典的數(shù)理統(tǒng)計(jì)是以概率統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ)的，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的關(guān)系極為密切，為以后學(xué)習(xí)的方便，這里對(duì)概率論做一個(gè)簡單的回顧。1、概率論的回顧2、數(shù)理統(tǒng)計(jì)簡介76第一章基礎(chǔ)知識(shí)經(jīng)典的數(shù)理統(tǒng)計(jì)是以概率§1、概率論的回顧確定性現(xiàn)象和不確定性現(xiàn)象、隨機(jī)現(xiàn)象概率論：研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一個(gè)數(shù)學(xué)分支隨機(jī)事件的定義、運(yùn)算及運(yùn)算律古典概型、幾何概型、統(tǒng)計(jì)概型的定義及性質(zhì)概率的公理化定義條件概率,乘法公式,全概率公式,貝葉斯公式(逆概率公式、后驗(yàn)公式），獨(dú)立性77§1、概率論的回顧確定性現(xiàn)象和不確定性現(xiàn)象、隨機(jī)現(xiàn)象14隨機(jī)變量、分布函數(shù)及其性質(zhì)隨機(jī)變量函數(shù)的分布多維隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量的數(shù)字特征：期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)及其性質(zhì)78隨機(jī)變量、分布函數(shù)及其性質(zhì)15條件數(shù)學(xué)期望定義設(shè)X是一個(gè)r.v.，且EX存在.則記稱E(X|Y=y)為已知Y=y時(shí)X的條件期望.定義設(shè)g(y)=E(X|Y=y)，隨機(jī)變量g(Y)就可記作E(X|Y),且稱為已知Y時(shí)X的條件數(shù)學(xué)期望。79條件數(shù)學(xué)期望定義設(shè)X是一個(gè)r.v.，且EX存在.則記條件數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)如果X和Y獨(dú)立,且EX存在,則E(X|Y)=EXE(h(Y)|Y)=h(Y)E(q(X,Y)|Y=y)=E(q(X,y)|Y=y)E(E(X|Y))=E(X)重期望定理80條件數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)如果X和Y獨(dú)立,且EX存在,則E§2、隨機(jī)變量的特征函數(shù)定義

稱隨機(jī)變量eitX的數(shù)學(xué)期望(t)=EeitX為X的特征函數(shù)。隨機(jī)變量的特征函數(shù)(t)是實(shí)變量t的復(fù)值函數(shù)，總是存在的,且與隨機(jī)變量一一對(duì)應(yīng)。當(dāng)X為連續(xù)型時(shí)，當(dāng)X為離散型時(shí)， 81§2、隨機(jī)變量的特征函數(shù)定義稱隨機(jī)變量eitX的數(shù)學(xué)期望特征函數(shù)基本性質(zhì)82特征函數(shù)基本性質(zhì)198320幾個(gè)常見隨機(jī)變量的特征函數(shù)84幾個(gè)常見隨機(jī)變量的特征函數(shù)21①非降的右連續(xù)函數(shù)；§3多元隨機(jī)向量

一、多元隨機(jī)的分布函數(shù)1、多元聯(lián)合分布函數(shù)隨機(jī)向量的概率分布函數(shù)定義為2、聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)85①②分布函數(shù)的取值范圍為[0，1]，即③分布函數(shù)當(dāng)變量取值為無窮大時(shí)，函數(shù)值收斂到1，即86②分布函數(shù)的取值范圍為[0，1]，即二、兩個(gè)常用的離散多元分布

1、多項(xiàng)分布

則稱服從多項(xiàng)分布。87二、兩個(gè)常用的離散多元分布

1、多項(xiàng)分布則稱2、多元超幾何分布

則服從多元超幾何分布。882、多元超幾何分布則

三、多元隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)

1、定義隨機(jī)向量的聯(lián)合分布函數(shù)可以表示為則稱為連續(xù)型隨機(jī)向量。稱為的多元聯(lián)合概率密度函數(shù)。

89三、多元隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)

1、定義隨機(jī)向量若在點(diǎn)連續(xù)，則90若在點(diǎn)

四、邊際分布

設(shè)有連續(xù)隨機(jī)向量

不妨設(shè)是的前q個(gè)分量組成。則的分布為

91四、邊際分布設(shè)有連續(xù)隨機(jī)向量不妨設(shè)所以的邊際密度為例有概率密度函數(shù)

試分別求的邊際密度。92所以的邊際密度為例9330五、條件分布1、問題的引入

若A和B是任意兩個(gè)事件，且，則稱為在B事件發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率?？紤]隨機(jī)向量，其中表示人的身高（單位：米），表示人的體重（單位：公斤），在身高為1.9米的人群中，體重的分布就再也不是原來的分布了。而是在的條件分布。94五、條件分布1、問題的引入若A和B是任2、條件分布連續(xù)隨機(jī)向量

不妨設(shè)是的q個(gè)分量組成。是余下的n-q個(gè)分量組成。是條件下，的條件概率密度函數(shù)。952、條件分布不妨設(shè)

例設(shè)X=(X1,X2)’有概率密度函數(shù)試求條件密度函數(shù)f(x1|x2)和f(x2|x1)。96例設(shè)X=(X1,X2)’有概率密度函數(shù)試求條件密度所以先求

97所以先求34所以當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),98所以當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),353、設(shè)是n個(gè)隨機(jī)向量，若

對(duì)一切成立，則相互獨(dú)立。六、 獨(dú)立性

1、定義設(shè)和是兩個(gè)隨機(jī)向量，若

對(duì)一切、成立，則稱和相互獨(dú)立。2、設(shè)和是兩個(gè)連續(xù)隨機(jī)向量，和相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng)

對(duì)一切、成立。993、設(shè)是n個(gè)

例設(shè)X=(X1，X2，X3)’的聯(lián)合概率密度函數(shù)為試證X1，X2，X3相互獨(dú)立。100例設(shè)X=(X1，X2，X3)’的聯(lián)合概率密度函數(shù)為§4隨機(jī)矩陣

一、數(shù)學(xué)期望1、定義是有隨機(jī)變量構(gòu)成的隨機(jī)矩陣，定義X的數(shù)學(xué)期望為101§4隨機(jī)矩陣一、數(shù)學(xué)期望1、定義是有隨機(jī)變量構(gòu)成的隨

特別當(dāng)時(shí)，便可得到隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)期望為2、性質(zhì)

1）

設(shè)a為常數(shù)，則；2）設(shè)分別為常數(shù)矩陣，則3）設(shè)為n個(gè)同階矩陣，則102特別當(dāng)時(shí)，便可得到隨機(jī)向量二、協(xié)方差矩陣

1、定義：設(shè)和分別為p維和q維隨機(jī)向量，則其協(xié)方差矩陣為103二、協(xié)方差矩陣1、定義：設(shè)104412、性質(zhì)

1）若和相互獨(dú)立。則1052、性質(zhì)1）若

若的分量相互獨(dú)立,則協(xié)方差矩陣，除主對(duì)角線上的元素外均為零，即106若的分量相互獨(dú)立,2）隨機(jī)向量X的協(xié)方差矩陣是非負(fù)定矩陣。證：設(shè)a為任意與X有相同維數(shù)的常數(shù)向量，則3）設(shè)A是常數(shù)矩陣，b為常數(shù)向量，則1072）隨機(jī)向量X的協(xié)方差矩陣是非負(fù)定矩陣。證：4)若和分別是p和q維隨機(jī)向量，A和B為常數(shù)矩陣，則證明5）若是p個(gè)不全為零的常數(shù)，是相互獨(dú)立的p維隨機(jī)向量，則1084)若

三、相關(guān)系數(shù)矩陣若和分別是p和q維隨機(jī)向量，則其相關(guān)系數(shù)矩陣為109三、相關(guān)系數(shù)矩陣46§5隨機(jī)向量的變換

一、一元隨機(jī)變量的變換

設(shè)X具有概率密度函數(shù)fx(x)，函數(shù)y=(x)嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)x=(y)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則Y=(X)的概率密度函數(shù)為

其中y的取值范圍與x的取值范圍相對(duì)應(yīng)。110§5隨機(jī)向量的變換一、一元隨機(jī)變量的y的取值范圍為(0,),則例設(shè)隨機(jī)變量X服從均勻分布U(0,1),即密度函數(shù)

111y的取值范圍為(0,),則例設(shè)隨機(jī)變量X服從均勻分布

二、多元隨機(jī)向量的變換

若有密度函數(shù)，有函數(shù)組其逆變換存在

則的概率密度函數(shù)為112二、多元隨機(jī)向量的變換若

其中特別：若，其中為階可逆常數(shù)矩陣，為維常數(shù)向量，則113其中特別：若，其中為階可逆?！?、常見分布族分布族分布族多元正態(tài)分布族指數(shù)分布族114§6、常見分布族分布族51若連續(xù)型

r.vX具有概率密度其中均為正常數(shù),分別稱為形狀參數(shù)和尺度參數(shù)。的分布,記作則稱X服從參數(shù)為一、分布族這里是含參變量的廣義積分。115若連續(xù)型r.vX具有概率密度其中均為正函數(shù)具有以下性質(zhì):(3)對(duì)自然數(shù)n,(1)(2)分布在水文統(tǒng)計(jì)、最大風(fēng)速或最大風(fēng)