線性時(shí)不變系統(tǒng)課件

第2章線性時(shí)不變系統(tǒng)LinearTime-InvariantSystems第2章線性時(shí)不變系統(tǒng)LinearTime-InvariaLTI系統(tǒng)的框圖結(jié)構(gòu)表示。本章主要內(nèi)容：

信號(hào)的時(shí)域分解——用表示離散時(shí)間信號(hào)；用表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)。LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析——卷積積分與卷積和。LTI系統(tǒng)的微分方程及差分方程表示。

奇異函數(shù)。LTI系統(tǒng)的框圖結(jié)構(gòu)表示。本章主要內(nèi)容：信號(hào)的時(shí)域分解2.0

引言(Introduction)基本思想：如果能把任意輸入信號(hào)分解成基本信號(hào)的線性組合，那么只要得到了LTI系統(tǒng)對(duì)基本信號(hào)的響應(yīng)，就可以利用系統(tǒng)的線性特性，將系統(tǒng)對(duì)任意輸入信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)表示成系統(tǒng)對(duì)基本信號(hào)的響應(yīng)的線性組合。

由于LTI系統(tǒng)滿足齊次性和可加性，并且具有時(shí)不變性的特點(diǎn)，因而為建立信號(hào)與系統(tǒng)分析的理論與方法奠定了基礎(chǔ)。2.0引言(Introduction)基本思想：如果問題的實(shí)質(zhì)：1.

研究信號(hào)的分解：即以什么樣的信號(hào)作為構(gòu)成任意信號(hào)的基本信號(hào)單元，如何用基本信號(hào)單元的線性組合來構(gòu)成任意信號(hào)；2.

如何得到LTI系統(tǒng)對(duì)基本單元信號(hào)的響應(yīng)。

作為基本單元的信號(hào)應(yīng)滿足以下要求：1.

本身盡可能簡單，并且用它的線性組合能夠表示（構(gòu)成）盡可能廣泛的其它信號(hào)；2.

LTI系統(tǒng)對(duì)這種信號(hào)的響應(yīng)易于求得。問題的實(shí)質(zhì)：1.研究信號(hào)的分解：即以什么樣的信號(hào)作為構(gòu)成任如果解決了信號(hào)分解的問題，即：若有則

將信號(hào)分解可以在時(shí)域進(jìn)行，也可以在頻域或變換域進(jìn)行，相應(yīng)地就產(chǎn)生了對(duì)LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析法、頻域分析法和變換域分析法。分析方法：如果解決了信號(hào)分解的問題，即：若有則將信號(hào)分解可以在時(shí)域

離散時(shí)間信號(hào)中,最簡單的是,可以由它的線性組合構(gòu)成，即：2.1

離散時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積和一.用單位脈沖表示離散時(shí)間信號(hào)

對(duì)任何離散時(shí)間信號(hào),如果每次從其中取出一個(gè)點(diǎn)，就可以將信號(hào)拆開來，每次取出的一個(gè)點(diǎn)都可以表示為不同加權(quán)、不同位置的單位脈沖。（Discrete-TimeLTISystems:TheConvolutionSum）離散時(shí)間信號(hào)中,最簡單的是,可以由它的線性組合線性時(shí)不變系統(tǒng)課件二.卷積和（Convolutionsum）

于是有：表明：任何信號(hào)都可以被分解成移位加權(quán)的單位脈沖信號(hào)的線性組合。

如果一個(gè)線性系統(tǒng)對(duì)的響應(yīng)是，由線性特性就有系統(tǒng)對(duì)任何輸入的響應(yīng)為：若系統(tǒng)具有時(shí)不變性，即：若，則二.卷積和（Convolutionsum）于是有：表明因此，只要得到了LTI系統(tǒng)對(duì)的響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)(impulseresponse)，就可以得到LTI系統(tǒng)對(duì)任何輸入信號(hào)的響應(yīng)：

這表明：一個(gè)LTI系統(tǒng)可以完全由它的單位脈沖響應(yīng)來表征。這種求得系統(tǒng)響應(yīng)的運(yùn)算關(guān)系稱為卷積和（Theconvolutionsum）。因此，只要得到了LTI系統(tǒng)對(duì)的響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)(i三.卷積和的計(jì)算計(jì)算方法：有圖解法、列表法、解析法（包括數(shù)值解法）。運(yùn)算過程：

將一個(gè)信號(hào)不動(dòng)，另一個(gè)信號(hào)經(jīng)反轉(zhuǎn)后成為,再隨參變量移位。在每個(gè)值的情況下，將

與

對(duì)應(yīng)點(diǎn)相乘，再把乘積的各點(diǎn)值累加，即得到

時(shí)刻的。例1：

三.卷積和的計(jì)算計(jì)算方法：有圖解法、列表法、解析法（包括數(shù)......例2：

例2：①

時(shí)，②

時(shí)，③

時(shí)，④

時(shí)，⑤

時(shí)，①時(shí)，②

通過圖形幫助確定反轉(zhuǎn)移位信號(hào)的區(qū)間表示，對(duì)于確定卷積和計(jì)算的區(qū)段及各區(qū)段求和的上下限是很有用的。

例3.

列表法分析卷積和的過程，可以發(fā)現(xiàn)有如下特點(diǎn)：①與的所有各點(diǎn)都要遍乘一次；

②在遍乘后，各點(diǎn)相加時(shí)，根據(jù)

，參與相加的各點(diǎn)都具有與的宗量之和為的特點(diǎn)。

通過圖形幫助確定反轉(zhuǎn)移位信號(hào)的區(qū)間表示，對(duì)于確定卷積優(yōu)點(diǎn)：缺點(diǎn)：計(jì)算非常簡單。①只適用于兩個(gè)有限長序列的卷積和；②一般情況下，無法寫出的封閉表達(dá)式。優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算非常簡單。卷積和：對(duì)位相乘法卷和計(jì)算有解析法、圖解法和變換法對(duì)位乘加法：當(dāng)兩個(gè)序列都是有限長序列時(shí)，可使用“對(duì)位乘加法”計(jì)算卷和。此方法實(shí)際上是用對(duì)位排列運(yùn)算巧妙地取代翻轉(zhuǎn)平移運(yùn)算。該方法首先把兩序列的樣本值右端對(duì)齊地排列，然后把逐個(gè)樣本值對(duì)應(yīng)相乘但不要進(jìn)位，最后把同一列上的乘積值對(duì)位求和，就得到所需卷和。

卷積和：對(duì)位相乘法卷和計(jì)算有解析法、圖解法和變換法卷積和：對(duì)位相乘法計(jì)算，其中卷積和：對(duì)位相乘法計(jì)算，對(duì)位相乘法需注意的問題

卷積后的序列起止點(diǎn)需注意上題中兩個(gè)序列的起始點(diǎn)不同，卷積后起點(diǎn)為1，不是0。對(duì)位相乘法需注意的問題卷積后的序列起止點(diǎn)需注意對(duì)位相乘法需注意的問題參與卷積運(yùn)算的序列中間有若干信號(hào)值為零，需補(bǔ)零處理對(duì)位相乘法需注意的問題參與卷積運(yùn)算的序列中間有若干信號(hào)值為零對(duì)位相乘法需注意的問題此外，對(duì)有限長序列的卷積運(yùn)算可通過z變換求解或者將序列表示為兩個(gè)有限個(gè)樣值序列移位加權(quán)和形式，直接用卷積的性質(zhì)求解對(duì)位相乘法需注意的問題此外，對(duì)有限長序列的卷積運(yùn)算直接利用有限長序列求解卷積

卷積后的序列起止點(diǎn)需注意直接利用有限長序列求解卷積卷積后的序列起止點(diǎn)需注意利用z變換求解

利用z變換求解

與離散時(shí)間信號(hào)分解的思想相一致，連續(xù)時(shí)間信號(hào)應(yīng)該可以分解成一系列移位加權(quán)的單位沖激信號(hào)的線性組合。至少單位階躍與單位沖激之間有這種關(guān)系：

對(duì)一般信號(hào)，可以將其分成很多寬度的區(qū)段，用一個(gè)階梯信號(hào)近似表示。當(dāng)時(shí)，有（Continuous-TimeLTISystems:Theconvolutionintegral）一.用沖激信號(hào)表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)2.2

連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積積分與離散時(shí)間信號(hào)分解的思想相一致，連續(xù)時(shí)間信號(hào)應(yīng)該可以分引用，即：則有：引用，即：則有：當(dāng)時(shí)，

第個(gè)矩形可表示為：這些矩形疊加起來就成為階梯形信號(hào)，即：表明：任何連續(xù)時(shí)間信號(hào)都可以被分解成移位加權(quán)的單位沖激信號(hào)的線性組合。于是：當(dāng)時(shí)，第個(gè)矩形可表示為：二.卷積積分（Theconvolutionintegral）

與離散時(shí)間系統(tǒng)的分析類似，如果一個(gè)線性系統(tǒng)對(duì)的響應(yīng)為，則該系統(tǒng)對(duì)的響應(yīng)可表示為：

表明:LTI系統(tǒng)可以完全由它的單位沖激響應(yīng)來表征。這種求得系統(tǒng)響應(yīng)的運(yùn)算關(guān)系稱為卷積積分（Theconvolutionintegral）。

若系統(tǒng)是時(shí)不變的，即：若，則有:

于是系統(tǒng)對(duì)任意輸入的響應(yīng)可表示為：二.卷積積分（Theconvolutionintegr三.卷積積分的計(jì)算

卷積積分的計(jì)算與卷積和很類似，也有圖解法、解析法和數(shù)值解法。運(yùn)算過程的實(shí)質(zhì)也是：參與卷積的兩個(gè)信號(hào)中，一個(gè)不動(dòng)，另一個(gè)反轉(zhuǎn)后隨參變量移動(dòng)。對(duì)每一個(gè)的值，將和對(duì)應(yīng)相乘，再計(jì)算相乘后曲線所包圍的面積。通過圖形幫助確定積分區(qū)間和積分上下限是很有用的。三.卷積積分的計(jì)算卷積積分的計(jì)算與卷積和很類似，也例1:

例1:例2:

例2:①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)

時(shí)，③當(dāng)

時(shí)，④當(dāng)

時(shí)，⑤當(dāng)

時(shí)，①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)例題：信號(hào)與系統(tǒng)例題：信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)例：計(jì)算解：信號(hào)與系統(tǒng)例：計(jì)算解：信號(hào)與系統(tǒng)例：計(jì)算解：因果信號(hào)與一個(gè)有限長信號(hào)卷積，可利用解析法直接計(jì)算信號(hào)與系統(tǒng)例：計(jì)算解：信號(hào)與系統(tǒng)例題：計(jì)算注意此處的處理方式信號(hào)與系統(tǒng)例題：計(jì)算注意此處的處理方式信號(hào)與系統(tǒng)簡化方法利用卷積性質(zhì)：信號(hào)與系統(tǒng)簡化方法利用卷積性質(zhì)：舉例已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)和激勵(lì)信號(hào)分別為：，，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為？信號(hào)與系統(tǒng)舉例已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)和激勵(lì)信號(hào)分別為：信號(hào)與系統(tǒng)卷積計(jì)算的圖解法卷積計(jì)算的運(yùn)算步驟：變量更換：把信號(hào)的時(shí)間變量更換成，得和；翻轉(zhuǎn)：把信號(hào)翻轉(zhuǎn)成；平移：把翻轉(zhuǎn)后的信號(hào)右移成；加權(quán)積分：把信號(hào)用加權(quán)后，對(duì)時(shí)間變量進(jìn)行積分，得。信號(hào)與系統(tǒng)卷積計(jì)算的圖解法卷積計(jì)算的運(yùn)算步驟：2.3

線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)

（PropertiesofLinearTime-InvariantSystems）一.卷積積分與卷積和的性質(zhì)1.交換律：2.3線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)

（Propertiesof結(jié)論：

一個(gè)單位沖激響應(yīng)是h(t)的LTI系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)x(t)所產(chǎn)生的響應(yīng)，與一個(gè)單位沖激響應(yīng)是x(t)的LTI系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)h(t)所產(chǎn)生的響應(yīng)相同。結(jié)論：2.分配律：2.分配律：結(jié)論：兩個(gè)LTI系統(tǒng)并聯(lián)，其總的單位脈沖(沖激)響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位脈沖(沖激)響應(yīng)之和。3.

結(jié)合律:結(jié)論：兩個(gè)LTI系統(tǒng)并聯(lián)，其總的單位脈沖(沖激)響應(yīng)等于各子

兩個(gè)LTI系統(tǒng)級(jí)聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)總的單位沖激(脈沖)響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位沖激(脈沖)響應(yīng)的卷積。

由于卷積運(yùn)算滿足交換律，因此，系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的先后次序可以調(diào)換。結(jié)論：兩個(gè)LTI系統(tǒng)級(jí)聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)總的單位沖激(脈沖)響應(yīng)等于各子產(chǎn)生以上結(jié)論的前提條件：①系統(tǒng)必須是LTI系統(tǒng)；②所有涉及到的卷積運(yùn)算必須收斂。產(chǎn)生以上結(jié)論的前提條件：①系統(tǒng)必須是LTI系統(tǒng)；如：平方乘2乘2平方若交換級(jí)聯(lián)次序，即成為：

又如：若，雖然系統(tǒng)都是LTI系統(tǒng)。當(dāng)時(shí)，如果交換級(jí)聯(lián)次序，則由于

不收斂，因而也是不允許的。顯然與原來是不等價(jià)的。因?yàn)橄到y(tǒng)不是LTI系統(tǒng)。如：平方乘2乘2平方若交換級(jí)聯(lián)次序，即成為：又如：若4.卷積運(yùn)算還有如下性質(zhì)：②若，則卷積積分滿足微分、積分及時(shí)移特性：①若，則4.卷積運(yùn)算還有如下性質(zhì)：②若②若，則卷積和滿足差分、求和及時(shí)移特性：①若，則恰當(dāng)?shù)乩镁矸e的性質(zhì)可以簡化卷積的計(jì)算：②若，則卷積和滿足差分、求和及將微分一次有:例如：2.2中的例2根據(jù)微分特性有:*將微分一次有:例如：2.2中的例2根據(jù)微分特性有:*利用積分特性即可得:利用積分特性即可得:信號(hào)與系統(tǒng)卷積計(jì)算的圖解法例題例：用圖解法計(jì)算，其中解：卷積結(jié)果如圖

信號(hào)與系統(tǒng)卷積計(jì)算的圖解法例題例：用圖解法計(jì)算Matlab求解舉例：信號(hào)與系統(tǒng)Matlab求解舉例：信號(hào)與系統(tǒng)Matlab求解舉例：信號(hào)與系統(tǒng)Matlab求解舉例：信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)例題：如圖所示系統(tǒng)由四個(gè)子系統(tǒng)組成，各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)分別為積分器，單位延遲器和倒相器，求系統(tǒng)沖激響應(yīng)。

信號(hào)與系統(tǒng)例題：如圖所示系統(tǒng)由四個(gè)子系統(tǒng)組成，各子系統(tǒng)沖激信號(hào)與系統(tǒng)例題：解：根據(jù)卷積運(yùn)算的性質(zhì)有：信號(hào)與系統(tǒng)例題：解：根據(jù)卷積運(yùn)算的性質(zhì)有：信號(hào)與系統(tǒng)卷積的性質(zhì)匯總微積分性質(zhì)：微分性質(zhì)：卷積運(yùn)算與微分運(yùn)算可交換；積分性質(zhì)：卷積運(yùn)算與積分運(yùn)算可交換；N階導(dǎo)數(shù)性質(zhì)：特殊地信號(hào)與系統(tǒng)卷積的性質(zhì)匯總微積分性質(zhì)：舉例已知兩信號(hào)求信號(hào)與系統(tǒng)舉例已知兩信號(hào)信號(hào)與系統(tǒng)卷積微積分性質(zhì)使用注意卷積微積分性質(zhì)中，被微分的信號(hào)需要滿足條件即該信號(hào)中不能包含有直流分量，此時(shí)不能直接應(yīng)用該性質(zhì)求解卷積，需將直流分量的卷積分離出來單獨(dú)計(jì)算。信號(hào)與系統(tǒng)卷積微積分性質(zhì)使用注意卷積微積分性質(zhì)中，被微分的信號(hào)需要滿足舉例計(jì)算卷積：信號(hào)與系統(tǒng)舉例計(jì)算卷積：信號(hào)與系統(tǒng)舉例一般的直流信號(hào)卷積指數(shù)衰減信號(hào)為：信號(hào)與系統(tǒng)舉例一般的直流信號(hào)卷積指數(shù)衰減信號(hào)為：信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)例題：計(jì)算（1）；

信號(hào)與系統(tǒng)例題：計(jì)算（1）信號(hào)與系統(tǒng)例題：計(jì)算信號(hào)與系統(tǒng)例題：計(jì)算信號(hào)與系統(tǒng)卷積的性質(zhì)匯總信號(hào)與延遲沖激信號(hào)的卷積等于延遲信號(hào)信號(hào)與階躍信號(hào)的卷積等于信號(hào)積分

信號(hào)與系統(tǒng)卷積的性質(zhì)匯總信號(hào)與延遲沖激信號(hào)的卷積等于延遲信號(hào)信號(hào)與系統(tǒng)卷積的性質(zhì)匯總信號(hào)與沖激偶的卷積等于信號(hào)微分信號(hào)與沖激的m階導(dǎo)數(shù)的卷積等于信號(hào)的m階導(dǎo)數(shù)信號(hào)與系統(tǒng)卷積的性質(zhì)匯總信號(hào)與沖激偶的卷積等于信號(hào)微分信號(hào)與系統(tǒng)例題計(jì)算矩形脈沖的自卷積。解：

信號(hào)與系統(tǒng)例題計(jì)算矩形脈沖的自卷積。信號(hào)與系統(tǒng)例題：計(jì)算矩形脈沖與指數(shù)信號(hào)的卷積。

信號(hào)與系統(tǒng)例題：計(jì)算矩形脈沖信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例加入椒鹽噪聲的圖像空間域去噪，可利用卷積實(shí)現(xiàn)信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例加入椒鹽噪聲的圖像空間域去噪，可利用信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例二.LTI系統(tǒng)的性質(zhì)1.記憶性：

LTI系統(tǒng)可以由它的單位沖激/脈沖響應(yīng)來表征，因而其特性（記憶性、可逆性、因果性、穩(wěn)定性）都應(yīng)在其單位沖激/脈沖響應(yīng)中有所體現(xiàn)。則在任何時(shí)刻，都只能和時(shí)刻的輸入有關(guān)，和式中只能有時(shí)的一項(xiàng)為非零，因此必須有：

根據(jù)，如果系統(tǒng)是無記憶的，即：二.LTI系統(tǒng)的性質(zhì)1.記憶性：LTI系統(tǒng)可所以，無記憶系統(tǒng)的單位脈沖/沖激響應(yīng)為：當(dāng)時(shí)系統(tǒng)是恒等系統(tǒng)。

如果LTI系統(tǒng)的單位沖激/脈沖響應(yīng)不滿足上述要求，則系統(tǒng)是記憶的。2.可逆性：

如果LTI系統(tǒng)是可逆的，一定存在一個(gè)逆系統(tǒng)，且逆系統(tǒng)也是LTI系統(tǒng)，它們級(jí)聯(lián)起來構(gòu)成一個(gè)恒等系統(tǒng)。此時(shí)，所以，無記憶系統(tǒng)的單位脈沖/沖激響應(yīng)為：當(dāng)時(shí)系統(tǒng)是恒因此有：例如：延時(shí)器是可逆的LTI系統(tǒng)，，其逆系統(tǒng)是，顯然有：

累加器是可逆的LTI系統(tǒng)，其，其逆系統(tǒng)是，顯然也有：因此有：例如：延時(shí)器是可逆的LTI系統(tǒng)，3.因果性：

由，當(dāng)LTI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)時(shí)，在任何時(shí)刻，都只能取決于時(shí)刻及其以前的輸入，即和式中所有的項(xiàng)都必須為零，即：或:

對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)有:這是LTI系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件。但差分器是不可逆的。3.因果性：由，當(dāng)

根據(jù)穩(wěn)定性的定義，由，若有界，則;若系統(tǒng)穩(wěn)定，則要求必有界，由可知，必須有:對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，相應(yīng)有:

這是LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。4.穩(wěn)定性：根據(jù)穩(wěn)定性的定義，由5.LTI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：

在工程實(shí)際中，也常用單位階躍響應(yīng)來描述LTI系統(tǒng)。單位階躍響應(yīng)就是系統(tǒng)對(duì)或所產(chǎn)生的響應(yīng)。因此有:LTI系統(tǒng)的特性也可以用它的單位階躍響應(yīng)來描述。

5.LTI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：在工程實(shí)際中，也常用單位2.4用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)

在工程實(shí)際中有相當(dāng)普遍的一類系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型可以用線性常系數(shù)微分方程或線性常系數(shù)差分方程來描述。分析這類LTI系統(tǒng)，就是要求解線性常系數(shù)微分方程或差分方程。一.線性常系數(shù)微分方程（LinearConstant-CoefficientDifferentialEquation）均為常數(shù)(CausalLTISystemsDescribedbyDifferentialandDifferenceEquations)2.4用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)在工程實(shí)

求解該微分方程，通常是求出通解和一個(gè)特解

，則。特解是與輸入同類型的函數(shù)，通解是齊次方程的解，即的解。欲求得齊次解，可根據(jù)齊次方程建立一個(gè)特征方程：求出其特征根。在特征根均為單階根時(shí)，可得出齊次解的形式為：其中是待定的常數(shù)。求解該微分方程，通常是求出通解和一個(gè)

要確定系數(shù)，需要有一組條件，稱為附加條件。僅僅從確定待定系數(shù)的角度來看，這一組附加條件可以是任意的，包括附加條件的值以及給出附加條件的時(shí)刻都可以是任意的。當(dāng)微分方程描述的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)時(shí)，必須滿足系統(tǒng)零輸入—零輸出的特性。也就是系統(tǒng)在沒有輸入，即時(shí)，。此時(shí)，微分方程就蛻變成齊次方程，因而描述線性系統(tǒng)的微分方程其齊次解必須為零，這就要求所有的都為零。要確定系數(shù)，需要有一組條件，稱為附加條件。僅僅從確

可以證明：當(dāng)這組零附加條件在信號(hào)加入的時(shí)刻給出時(shí)，LCCDE描述的系統(tǒng)不僅是線性的，也是因果的和時(shí)不變的。

也就是要求確定待定系數(shù)所需的一組附加條件的值必須全部為零，即：LCCDE具有一組零附加條件時(shí)，才能描述線性系統(tǒng)。

在信號(hào)加入的時(shí)刻給出的零附加條件稱為零初始條件?？梢宰C明：當(dāng)這組零附加條件在信號(hào)加入的時(shí)刻給出時(shí)，LCC結(jié)論：LCCDE具有一組全部為零的初始條件可以描述一個(gè)LTI因果系統(tǒng)。這組條件是：

如果一個(gè)因果的LTI系統(tǒng)由LCCDE描述，且方程具有零初始條件，就稱該系統(tǒng)初始是靜止的或最初是松弛的。如果LCCDE具有一組不全為零的初始條件，則可以證明它所描述的系統(tǒng)是增量線性的。結(jié)論：LCCDE具有一組全部為零的初始條件可以描述一個(gè)LTI信號(hào)與系統(tǒng)系統(tǒng)響應(yīng)的一般表示系統(tǒng)響應(yīng)的表示式：系統(tǒng)的響應(yīng)還可分解為暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)信號(hào)與系統(tǒng)系統(tǒng)響應(yīng)的一般表示系統(tǒng)響應(yīng)的表示式：信號(hào)與系統(tǒng)例題1：描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為：信號(hào)與系統(tǒng)例題1：描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為：信號(hào)與系統(tǒng)例題1：信號(hào)與系統(tǒng)例題1：信號(hào)與系統(tǒng)例題2：描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為：信號(hào)與系統(tǒng)例題2：描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為：信號(hào)與系統(tǒng)例題2信號(hào)與系統(tǒng)例題2信號(hào)與系統(tǒng)例題3：描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為：信號(hào)與系統(tǒng)例題3：描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為：信號(hào)與系統(tǒng)例題3：信號(hào)與系統(tǒng)例題3：二.線性常系數(shù)差分方程:(LinearConstant-CoefficientDifferenceEquation)

一般的線性常系數(shù)差分方程可表示為：與微分方程一樣，它的解法也可以通過求出一個(gè)特解和通解，即齊次解來進(jìn)行，其過程與解微分方程類似。

要確定齊次解中的待定常數(shù)，也需要有一組附加條件。同樣地，當(dāng)LCCDE具有一組全部為零的初始條件時(shí)，所描述的系統(tǒng)是線性、因果、時(shí)不變的。二.線性常系數(shù)差分方程:一般的線性常系數(shù)差分方程可表示對(duì)于差分方程，可以將其改寫為：

可以看出：要求出，不僅要知道所有的，還要知道，這就是一組初始條件，由此可以得出。進(jìn)一步，又可以通過和，求得，依次類推可求出所有時(shí)的解。若將差分方程改寫為：對(duì)于差分方程，可以將其改寫為：可以看出：要求出，則可由求得，進(jìn)而由可求得，依次可推出時(shí)的解。由于這種差分方程可以通過遞推求解，因而稱為遞歸方程（recursiveequation）。當(dāng)時(shí)，差分方程變?yōu)椋簞t可由求得，進(jìn)而此時(shí),求解方程不再需要迭代運(yùn)算，因而稱為非遞歸方程（nonrecursiveequation）顯然，此時(shí)方程就是一個(gè)卷積和的形式，相當(dāng)于此時(shí)，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)是有限長的,因而把這種方程描述的LTI系統(tǒng)稱為FIR（Finite

ImpulseResponse）系統(tǒng)。將遞歸方程描述的系統(tǒng)稱為IIR（InfiniteImpulseResponse）系統(tǒng),此時(shí)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是一個(gè)無限長的序列。

此時(shí),求解方程不再需要迭代運(yùn)算，因而稱為非遞歸方程（no

FIR系統(tǒng)與IIR系統(tǒng)是離散時(shí)間LTI系統(tǒng)中兩類很重要的系統(tǒng)，它們的特性、結(jié)構(gòu)以及設(shè)計(jì)方法都存在很大的差異。

由于無論微分方程還是差分方程的特解都具有與輸入相同的函數(shù)形式，即特解是由輸入信號(hào)完全決定的，因而特解所對(duì)應(yīng)的這一部分響應(yīng)稱為受迫響應(yīng)或強(qiáng)迫響應(yīng)。齊次解所對(duì)應(yīng)的部分由于與輸入信號(hào)無關(guān)，也稱為系統(tǒng)的自然響應(yīng)。FIR系統(tǒng)與IIR系統(tǒng)是離散時(shí)間LTI系統(tǒng)中兩類很重要的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)邊界值零狀態(tài)響應(yīng)邊界值零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)邊界值零狀態(tài)響應(yīng)邊界值

增量線性系統(tǒng)的響應(yīng)分為零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)。零輸入響應(yīng)由于與輸入信號(hào)無關(guān)，因此它屬于自然響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)既與輸入信號(hào)有關(guān)，也與系統(tǒng)特性有關(guān)，因而它包含了受迫響應(yīng)，也包含有一部分自然響應(yīng)。三.由微分和差分方程描述的LTI系統(tǒng)的方框圖表示

（Block-DiagramRespresentationoftheLTISystemdescribedbyLCCDE）增量線性系統(tǒng)的響應(yīng)分為零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)。零輸

由LCCDE描述的系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型是由一些基本運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)的，如果能用一種圖形表示方程的運(yùn)算關(guān)系，就會(huì)更加形象直觀；另一方面,分析系統(tǒng)很重要的目的是為了設(shè)計(jì)或?qū)崿F(xiàn)一個(gè)系統(tǒng),用圖形表示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,將對(duì)系統(tǒng)的特性仿真、硬件或軟件實(shí)現(xiàn)具有重要意義。

不同的結(jié)構(gòu)也會(huì)在設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)一個(gè)系統(tǒng)時(shí)帶來不同的影響：如系統(tǒng)的成本、靈敏度、誤差及調(diào)試難度等方面都會(huì)有差異。

由LCCDE描述的系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型是由一些基本運(yùn)算1.由差分方程描述的LTI系統(tǒng)的方框圖表示：

由可看出：方程中包括三種基本運(yùn)算：乘系數(shù)、相加、移位（延遲）。可用以下符號(hào)表示：D若令,則1.由差分方程描述的LTI系統(tǒng)的方框圖表示：由直接Ⅰ型據(jù)此可得方框圖：DDDDDD直接Ⅰ型據(jù)此可得方框圖：DDDDDD

將其級(jí)聯(lián)起來,就成為LCCDE描述的系統(tǒng)，它具有與差分方程完全相同的運(yùn)算功能。顯然,它可以看成是兩個(gè)級(jí)聯(lián)的系統(tǒng)，可以調(diào)換其級(jí)聯(lián)的次序,并將移位單元合并，于是得到：直接Ⅱ型DDD將其級(jí)聯(lián)起來,就成為LCCDE描述的系統(tǒng)，它具有與差分

由看出它也包括三種基本運(yùn)算：微分、相加、乘系數(shù)。但由于微分器不僅在工程實(shí)現(xiàn)上有困難，而且對(duì)誤差及噪聲極為靈敏，因此，工程上通常使用積分器而不用微分器。將微分方程兩邊同時(shí)積分

N次，即可得到一個(gè)積分方程：

2.由微分方程描述的LTI系統(tǒng)的方框圖表示：由看出它也包括三直接Ⅰ型對(duì)此積分方程完全按照差分方程的辦法有：直接Ⅰ型對(duì)此積分方程完全按照差分方程的辦法有：直接Ⅱ型通過交換級(jí)聯(lián)次序，合并積分器可得直接Ⅱ型：

直接Ⅱ型通過交換級(jí)聯(lián)次序，合并積分器可得直接Ⅱ型：信號(hào)與系統(tǒng)沖激函數(shù)的性質(zhì)偶函數(shù)積分篩選

相乘

信號(hào)與系統(tǒng)沖激函數(shù)的性質(zhì)偶函數(shù)信號(hào)與系統(tǒng)沖激函數(shù)的尺度性質(zhì)沖激函數(shù)的尺度性質(zhì)證明：利用沖激函數(shù)的偶性、階躍函數(shù)的尺度性和沖激函數(shù)是階躍函數(shù)的微分，有信號(hào)與系統(tǒng)沖激函數(shù)的尺度性質(zhì)沖激函數(shù)的尺度性質(zhì)信號(hào)與系統(tǒng)沖激函數(shù)的檢零性質(zhì)當(dāng)沖激函數(shù)應(yīng)用于非線性函數(shù)時(shí)，具有檢測(cè)其零點(diǎn)，并反映其導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)。由于函數(shù)在其零點(diǎn)，i=1,2,…,n有，使得在其零點(diǎn)領(lǐng)域，有根據(jù)尺度性質(zhì)，有信號(hào)與系統(tǒng)沖激函數(shù)的檢零性質(zhì)當(dāng)沖激函數(shù)應(yīng)用于非線性函數(shù)時(shí)，具信號(hào)與系統(tǒng)沖激偶的性質(zhì)面積“篩選”信號(hào)與系統(tǒng)沖激偶的性質(zhì)面積信號(hào)與系統(tǒng)例:計(jì)算信號(hào)與系統(tǒng)例:計(jì)算信號(hào)與系統(tǒng)例

計(jì)算信號(hào)與系統(tǒng)例計(jì)算信號(hào)與系統(tǒng)舉例：計(jì)算下列信號(hào)的一階微分信號(hào)與系統(tǒng)舉例：計(jì)算下列信號(hào)的一階微分信號(hào)與系統(tǒng)舉例：計(jì)算下列信號(hào)的一階微分信號(hào)與系統(tǒng)舉例：計(jì)算下列信號(hào)的一階微分舉例：計(jì)算下列信號(hào)的一階微分信號(hào)與系統(tǒng)舉例：計(jì)算下列信號(hào)的一階微分信號(hào)與系統(tǒng)舉例：計(jì)算下列信號(hào)的一階微分信號(hào)與系統(tǒng)舉例：計(jì)算下列信號(hào)的一階微分信號(hào)與系統(tǒng)舉例：簡化下列式子用沖激信號(hào)與階躍信號(hào)的性質(zhì)和定義來進(jìn)行化簡信號(hào)與系統(tǒng)舉例：簡化下列式子信號(hào)與系統(tǒng)舉例：簡化下列式子用沖激信號(hào)與階躍信號(hào)的性質(zhì)和定義來進(jìn)行化簡信號(hào)與系統(tǒng)舉例：簡化下列式子信號(hào)與系統(tǒng)舉例：簡化下列式子信號(hào)與系統(tǒng)舉例：簡化下列式子信號(hào)與系統(tǒng)舉例：簡化下列式子信號(hào)與系統(tǒng)舉例：簡化下列式子信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)補(bǔ)充：增量線性系統(tǒng)根據(jù)電路的線性疊加原理，有：零狀態(tài)線性：起始狀態(tài)為零時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對(duì)輸入信號(hào)呈現(xiàn)線性（包括可加性和齊次性）零輸入線性：當(dāng)外部激勵(lì)為零時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)對(duì)系統(tǒng)初始狀態(tài)呈現(xiàn)線性線性系統(tǒng)擴(kuò)展定義：一個(gè)既具有零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分解特性，又具有零輸入線性和零狀態(tài)線性的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)，否則稱為非線性系統(tǒng)全響應(yīng)：系統(tǒng)在初始條件下對(duì)初始時(shí)刻后的輸入在初始時(shí)刻后產(chǎn)生的響應(yīng)成為全響應(yīng)全響應(yīng)等于零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和常系數(shù)線性微分方程描述的系統(tǒng)只有在起始狀態(tài)為零的條件下，系統(tǒng)才是線性時(shí)不變的，并且是因果的信號(hào)與系統(tǒng)補(bǔ)充：增量線性系統(tǒng)根據(jù)電路的線性疊加原理，有：信號(hào)與系統(tǒng)例：使用零狀態(tài)線性和零輸入線性計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)

LTI系統(tǒng)在某初始條件下，對(duì)激勵(lì)和的全響應(yīng)分別為和，求在該初始狀態(tài)下，對(duì)激勵(lì)的全響應(yīng)。核心：利用線性系統(tǒng)擴(kuò)展的定義求解信號(hào)與系統(tǒng)例：使用零狀態(tài)線性和零輸入線性計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)LT信號(hào)與系統(tǒng)例：使用零狀態(tài)線性和零輸入線性計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)

LTI系統(tǒng)在某初始條件下，對(duì)激勵(lì)和的全響應(yīng)分別為和，求在該初始狀態(tài)下，對(duì)激勵(lì)的全響應(yīng)。解：信號(hào)與系統(tǒng)例：使用零狀態(tài)線性和零輸入線性計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)LT信號(hào)與系統(tǒng)補(bǔ)充例題：已經(jīng)某系統(tǒng)激勵(lì)與響應(yīng)、初始條件符合：根據(jù)廣義線性的定義，上述系統(tǒng)零輸入和零狀態(tài)響應(yīng)可分解；零輸入響應(yīng)具備線性性；但零狀態(tài)響應(yīng)不符合線性性；因此整個(gè)系統(tǒng)不是廣義線性系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)補(bǔ)充例題：已經(jīng)某系統(tǒng)激勵(lì)與響應(yīng)、初始條件符合：信號(hào)與系統(tǒng)補(bǔ)充例題：沖激響應(yīng)的計(jì)算使用零狀態(tài)線性概念計(jì)算系統(tǒng)沖激響應(yīng)例:某LTI系統(tǒng)，對(duì)激勵(lì)的零狀態(tài)響應(yīng)是，對(duì)激勵(lì)的零狀態(tài)響應(yīng)是，求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。解信號(hào)與系統(tǒng)補(bǔ)充例題：沖激響應(yīng)的計(jì)算使用零狀態(tài)線性概念計(jì)算系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)補(bǔ)充例題：沖激響應(yīng)的計(jì)算使用零狀態(tài)線性概念計(jì)算系統(tǒng)沖激響應(yīng)例:某LTI系統(tǒng)，對(duì)激勵(lì)的零狀態(tài)響應(yīng)是，對(duì)激勵(lì)的零狀態(tài)響應(yīng)是，求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。解信號(hào)與系統(tǒng)補(bǔ)充例題：沖激響應(yīng)的計(jì)算使用零狀態(tài)線性概念計(jì)算系統(tǒng)

在第一章介紹單位沖激時(shí)，開始將定義為顯然是不嚴(yán)密的，因?yàn)樵诓贿B續(xù)。進(jìn)而采用極限的觀點(diǎn)，將視為在時(shí)的極限。這種定義或描述的方法在數(shù)學(xué)上仍然是不嚴(yán)格的，因?yàn)榭梢杂性S多不同函數(shù)在時(shí)都表現(xiàn)為與有相同的特性。（Singularityfunction）

例如:以下信號(hào)的面積都等于1，而且在時(shí)，它們的極限都表現(xiàn)為單位沖激。2.5奇異函數(shù)在第一章介紹單位沖激時(shí)，開始將定義為（Sin線性時(shí)不變系統(tǒng)課件線性時(shí)不變系統(tǒng)課件

之所以產(chǎn)生這種現(xiàn)象，是因?yàn)槭且粋€(gè)理想化的非常規(guī)函數(shù)，被稱為奇異函數(shù)。通常采用在卷積或積分運(yùn)算下函數(shù)所表現(xiàn)的特性來定義奇異函數(shù)。一.通過卷積定義

從系統(tǒng)的角度,可以說是一個(gè)恒等系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng),因此，——

這就是在卷積運(yùn)算下的定義。根據(jù)定義可以得出的如下性質(zhì)：之所以產(chǎn)生這種現(xiàn)象，是因?yàn)槭且粋€(gè)理想化的非常規(guī)函⒈⒉當(dāng)時(shí)，有⒊由此定義可得：

若，則有：⒈⒉當(dāng)時(shí)，有⒊由此定義可得：若

此式即可作為在積分運(yùn)算下的定義式。

二.通過積分定義

積分表達(dá)式也可以作為在積分運(yùn)算下的定義，這就是分配函數(shù)的定義方法。

據(jù)此定義又可以推出：⒋

若是奇函數(shù)，則，因此是偶函數(shù)，即：若令，代入積分定義式就有：此式即可作為在積分運(yùn)算下的定義式。二.通過積分

這就是卷積運(yùn)算下的定義。⒌根據(jù)積分下的定義有：若，則可推出因此，若有,則這就是卷積運(yùn)算下的定義。若，則可推三.單位沖激偶及其他奇異函數(shù)

理想微分器的單位沖激響應(yīng)應(yīng)該是的微分，記為

，從卷積運(yùn)算或LTI系統(tǒng)分析的角度應(yīng)該有：

所以稱為單位沖激偶（Unitdoublet）微分器三.單位沖激偶及其他奇異函數(shù)理想微分器的單位沖激⒈當(dāng)時(shí)，有：

⒉考察當(dāng)時(shí)，有，此積分可作為在積分意義下的定義。由此定義出發(fā)可以推出：⒈當(dāng)時(shí)，有：⒉考察由此定義出發(fā)可以推出：⒊若是一個(gè)偶函數(shù)，則。由此可推得是奇函數(shù)，即：⒋考察⒊若是一個(gè)偶函數(shù)，則。由此可推得⒌若，進(jìn)而有：因此，若有，則按此定義方法推廣下去，有：⒌若，進(jìn)而有：按此定義方法推廣下去，有：在積分運(yùn)算下有：例如：在積分運(yùn)算下有：例如：

是理想積分器的單位沖激響應(yīng)。四.的積分

用類似方法也可以定義的積分。若用，則有：因此：稱為單位斜坡函數(shù)（Unitrampfunction）是理想積分器的單位沖激響應(yīng)。四.的積分

事實(shí)上，的各次積分已經(jīng)是常規(guī)函數(shù)了，當(dāng)然可以按常規(guī)函數(shù)定義的方法去描述。事實(shí)上，的各次積分已經(jīng)是常規(guī)函數(shù)了，⒉LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析——卷積和與卷積積分⒊LTI系統(tǒng)的描述方法：①用描述系統(tǒng)（也可用述）；②用LCCDE連同零初始條件描述LTI系統(tǒng)；

2.6

小結(jié)（Summary）本章主要討論了以下內(nèi)容：⒈信號(hào)的時(shí)域分解:⒉LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析——卷積和與卷積積分2.6小結(jié)⒌奇異函數(shù)。③用方框圖描述系統(tǒng)（等價(jià)于LCCDE描述）。

記憶性、因果性、穩(wěn)定性、可逆性與

的關(guān)系；系統(tǒng)級(jí)聯(lián)、并聯(lián)時(shí)，與各子系統(tǒng)的關(guān)系。⒋LTI系統(tǒng)的特性與的關(guān)系：⒌奇異函數(shù)。③用方框圖描述系統(tǒng)（等價(jià)于LCCDE描述）第2章線性時(shí)不變系統(tǒng)LinearTime-InvariantSystems第2章線性時(shí)不變系統(tǒng)LinearTime-InvariaLTI系統(tǒng)的框圖結(jié)構(gòu)表示。本章主要內(nèi)容：

信號(hào)的時(shí)域分解——用表示離散時(shí)間信號(hào)；用表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)。LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析——卷積積分與卷積和。LTI系統(tǒng)的微分方程及差分方程表示。

奇異函數(shù)。LTI系統(tǒng)的框圖結(jié)構(gòu)表示。本章主要內(nèi)容：信號(hào)的時(shí)域分解2.0

引言(Introduction)基本思想：如果能把任意輸入信號(hào)分解成基本信號(hào)的線性組合，那么只要得到了LTI系統(tǒng)對(duì)基本信號(hào)的響應(yīng)，就可以利用系統(tǒng)的線性特性，將系統(tǒng)對(duì)任意輸入信號(hào)產(chǎn)生的響應(yīng)表示成系統(tǒng)對(duì)基本信號(hào)的響應(yīng)的線性組合。

由于LTI系統(tǒng)滿足齊次性和可加性，并且具有時(shí)不變性的特點(diǎn)，因而為建立信號(hào)與系統(tǒng)分析的理論與方法奠定了基礎(chǔ)。2.0引言(Introduction)基本思想：如果問題的實(shí)質(zhì)：1.

研究信號(hào)的分解：即以什么樣的信號(hào)作為構(gòu)成任意信號(hào)的基本信號(hào)單元，如何用基本信號(hào)單元的線性組合來構(gòu)成任意信號(hào)；2.

如何得到LTI系統(tǒng)對(duì)基本單元信號(hào)的響應(yīng)。

作為基本單元的信號(hào)應(yīng)滿足以下要求：1.

本身盡可能簡單，并且用它的線性組合能夠表示（構(gòu)成）盡可能廣泛的其它信號(hào)；2.

LTI系統(tǒng)對(duì)這種信號(hào)的響應(yīng)易于求得。問題的實(shí)質(zhì)：1.研究信號(hào)的分解：即以什么樣的信號(hào)作為構(gòu)成任如果解決了信號(hào)分解的問題，即：若有則

將信號(hào)分解可以在時(shí)域進(jìn)行，也可以在頻域或變換域進(jìn)行，相應(yīng)地就產(chǎn)生了對(duì)LTI系統(tǒng)的時(shí)域分析法、頻域分析法和變換域分析法。分析方法：如果解決了信號(hào)分解的問題，即：若有則將信號(hào)分解可以在時(shí)域

離散時(shí)間信號(hào)中,最簡單的是,可以由它的線性組合構(gòu)成，即：2.1

離散時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積和一.用單位脈沖表示離散時(shí)間信號(hào)

對(duì)任何離散時(shí)間信號(hào),如果每次從其中取出一個(gè)點(diǎn)，就可以將信號(hào)拆開來，每次取出的一個(gè)點(diǎn)都可以表示為不同加權(quán)、不同位置的單位脈沖。（Discrete-TimeLTISystems:TheConvolutionSum）離散時(shí)間信號(hào)中,最簡單的是,可以由它的線性組合線性時(shí)不變系統(tǒng)課件二.卷積和（Convolutionsum）

于是有：表明：任何信號(hào)都可以被分解成移位加權(quán)的單位脈沖信號(hào)的線性組合。

如果一個(gè)線性系統(tǒng)對(duì)的響應(yīng)是，由線性特性就有系統(tǒng)對(duì)任何輸入的響應(yīng)為：若系統(tǒng)具有時(shí)不變性，即：若，則二.卷積和（Convolutionsum）于是有：表明因此，只要得到了LTI系統(tǒng)對(duì)的響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)(impulseresponse)，就可以得到LTI系統(tǒng)對(duì)任何輸入信號(hào)的響應(yīng)：

這表明：一個(gè)LTI系統(tǒng)可以完全由它的單位脈沖響應(yīng)來表征。這種求得系統(tǒng)響應(yīng)的運(yùn)算關(guān)系稱為卷積和（Theconvolutionsum）。因此，只要得到了LTI系統(tǒng)對(duì)的響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)(i三.卷積和的計(jì)算計(jì)算方法：有圖解法、列表法、解析法（包括數(shù)值解法）。運(yùn)算過程：

將一個(gè)信號(hào)不動(dòng)，另一個(gè)信號(hào)經(jīng)反轉(zhuǎn)后成為,再隨參變量移位。在每個(gè)值的情況下，將

與

對(duì)應(yīng)點(diǎn)相乘，再把乘積的各點(diǎn)值累加，即得到

時(shí)刻的。例1：

三.卷積和的計(jì)算計(jì)算方法：有圖解法、列表法、解析法（包括數(shù)......例2：

例2：①

時(shí)，②

時(shí)，③

時(shí)，④

時(shí)，⑤

時(shí)，①時(shí)，②

通過圖形幫助確定反轉(zhuǎn)移位信號(hào)的區(qū)間表示，對(duì)于確定卷積和計(jì)算的區(qū)段及各區(qū)段求和的上下限是很有用的。

例3.

列表法分析卷積和的過程，可以發(fā)現(xiàn)有如下特點(diǎn)：①與的所有各點(diǎn)都要遍乘一次；

②在遍乘后，各點(diǎn)相加時(shí)，根據(jù)

，參與相加的各點(diǎn)都具有與的宗量之和為的特點(diǎn)。

通過圖形幫助確定反轉(zhuǎn)移位信號(hào)的區(qū)間表示，對(duì)于確定卷積優(yōu)點(diǎn)：缺點(diǎn)：計(jì)算非常簡單。①只適用于兩個(gè)有限長序列的卷積和；②一般情況下，無法寫出的封閉表達(dá)式。優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算非常簡單。卷積和：對(duì)位相乘法卷和計(jì)算有解析法、圖解法和變換法對(duì)位乘加法：當(dāng)兩個(gè)序列都是有限長序列時(shí)，可使用“對(duì)位乘加法”計(jì)算卷和。此方法實(shí)際上是用對(duì)位排列運(yùn)算巧妙地取代翻轉(zhuǎn)平移運(yùn)算。該方法首先把兩序列的樣本值右端對(duì)齊地排列，然后把逐個(gè)樣本值對(duì)應(yīng)相乘但不要進(jìn)位，最后把同一列上的乘積值對(duì)位求和，就得到所需卷和。

卷積和：對(duì)位相乘法卷和計(jì)算有解析法、圖解法和變換法卷積和：對(duì)位相乘法計(jì)算，其中卷積和：對(duì)位相乘法計(jì)算，對(duì)位相乘法需注意的問題

卷積后的序列起止點(diǎn)需注意上題中兩個(gè)序列的起始點(diǎn)不同，卷積后起點(diǎn)為1，不是0。對(duì)位相乘法需注意的問題卷積后的序列起止點(diǎn)需注意對(duì)位相乘法需注意的問題參與卷積運(yùn)算的序列中間有若干信號(hào)值為零，需補(bǔ)零處理對(duì)位相乘法需注意的問題參與卷積運(yùn)算的序列中間有若干信號(hào)值為零對(duì)位相乘法需注意的問題此外，對(duì)有限長序列的卷積運(yùn)算可通過z變換求解或者將序列表示為兩個(gè)有限個(gè)樣值序列移位加權(quán)和形式，直接用卷積的性質(zhì)求解對(duì)位相乘法需注意的問題此外，對(duì)有限長序列的卷積運(yùn)算直接利用有限長序列求解卷積

卷積后的序列起止點(diǎn)需注意直接利用有限長序列求解卷積卷積后的序列起止點(diǎn)需注意利用z變換求解

利用z變換求解

與離散時(shí)間信號(hào)分解的思想相一致，連續(xù)時(shí)間信號(hào)應(yīng)該可以分解成一系列移位加權(quán)的單位沖激信號(hào)的線性組合。至少單位階躍與單位沖激之間有這種關(guān)系：

對(duì)一般信號(hào)，可以將其分成很多寬度的區(qū)段，用一個(gè)階梯信號(hào)近似表示。當(dāng)時(shí)，有（Continuous-TimeLTISystems:Theconvolutionintegral）一.用沖激信號(hào)表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)2.2

連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)：卷積積分與離散時(shí)間信號(hào)分解的思想相一致，連續(xù)時(shí)間信號(hào)應(yīng)該可以分引用，即：則有：引用，即：則有：當(dāng)時(shí)，

第個(gè)矩形可表示為：這些矩形疊加起來就成為階梯形信號(hào)，即：表明：任何連續(xù)時(shí)間信號(hào)都可以被分解成移位加權(quán)的單位沖激信號(hào)的線性組合。于是：當(dāng)時(shí)，第個(gè)矩形可表示為：二.卷積積分（Theconvolutionintegral）

與離散時(shí)間系統(tǒng)的分析類似，如果一個(gè)線性系統(tǒng)對(duì)的響應(yīng)為，則該系統(tǒng)對(duì)的響應(yīng)可表示為：

表明:LTI系統(tǒng)可以完全由它的單位沖激響應(yīng)來表征。這種求得系統(tǒng)響應(yīng)的運(yùn)算關(guān)系稱為卷積積分（Theconvolutionintegral）。

若系統(tǒng)是時(shí)不變的，即：若，則有:

于是系統(tǒng)對(duì)任意輸入的響應(yīng)可表示為：二.卷積積分（Theconvolutionintegr三.卷積積分的計(jì)算

卷積積分的計(jì)算與卷積和很類似，也有圖解法、解析法和數(shù)值解法。運(yùn)算過程的實(shí)質(zhì)也是：參與卷積的兩個(gè)信號(hào)中，一個(gè)不動(dòng)，另一個(gè)反轉(zhuǎn)后隨參變量移動(dòng)。對(duì)每一個(gè)的值，將和對(duì)應(yīng)相乘，再計(jì)算相乘后曲線所包圍的面積。通過圖形幫助確定積分區(qū)間和積分上下限是很有用的。三.卷積積分的計(jì)算卷積積分的計(jì)算與卷積和很類似，也例1:

例1:例2:

例2:①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)

時(shí)，③當(dāng)

時(shí)，④當(dāng)

時(shí)，⑤當(dāng)

時(shí)，①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)例題：信號(hào)與系統(tǒng)例題：信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)例：計(jì)算解：信號(hào)與系統(tǒng)例：計(jì)算解：信號(hào)與系統(tǒng)例：計(jì)算解：因果信號(hào)與一個(gè)有限長信號(hào)卷積，可利用解析法直接計(jì)算信號(hào)與系統(tǒng)例：計(jì)算解：信號(hào)與系統(tǒng)例題：計(jì)算注意此處的處理方式信號(hào)與系統(tǒng)例題：計(jì)算注意此處的處理方式信號(hào)與系統(tǒng)簡化方法利用卷積性質(zhì)：信號(hào)與系統(tǒng)簡化方法利用卷積性質(zhì)：舉例已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)和激勵(lì)信號(hào)分別為：，，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為？信號(hào)與系統(tǒng)舉例已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)和激勵(lì)信號(hào)分別為：信號(hào)與系統(tǒng)卷積計(jì)算的圖解法卷積計(jì)算的運(yùn)算步驟：變量更換：把信號(hào)的時(shí)間變量更換成，得和；翻轉(zhuǎn)：把信號(hào)翻轉(zhuǎn)成；平移：把翻轉(zhuǎn)后的信號(hào)右移成；加權(quán)積分：把信號(hào)用加權(quán)后，對(duì)時(shí)間變量進(jìn)行積分，得。信號(hào)與系統(tǒng)卷積計(jì)算的圖解法卷積計(jì)算的運(yùn)算步驟：2.3

線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)

（PropertiesofLinearTime-InvariantSystems）一.卷積積分與卷積和的性質(zhì)1.交換律：2.3線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)

（Propertiesof結(jié)論：

一個(gè)單位沖激響應(yīng)是h(t)的LTI系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)x(t)所產(chǎn)生的響應(yīng)，與一個(gè)單位沖激響應(yīng)是x(t)的LTI系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)h(t)所產(chǎn)生的響應(yīng)相同。結(jié)論：2.分配律：2.分配律：結(jié)論：兩個(gè)LTI系統(tǒng)并聯(lián)，其總的單位脈沖(沖激)響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位脈沖(沖激)響應(yīng)之和。3.

結(jié)合律:結(jié)論：兩個(gè)LTI系統(tǒng)并聯(lián)，其總的單位脈沖(沖激)響應(yīng)等于各子

兩個(gè)LTI系統(tǒng)級(jí)聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)總的單位沖激(脈沖)響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位沖激(脈沖)響應(yīng)的卷積。

由于卷積運(yùn)算滿足交換律，因此，系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的先后次序可以調(diào)換。結(jié)論：兩個(gè)LTI系統(tǒng)級(jí)聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)總的單位沖激(脈沖)響應(yīng)等于各子產(chǎn)生以上結(jié)論的前提條件：①系統(tǒng)必須是LTI系統(tǒng)；②所有涉及到的卷積運(yùn)算必須收斂。產(chǎn)生以上結(jié)論的前提條件：①系統(tǒng)必須是LTI系統(tǒng)；如：平方乘2乘2平方若交換級(jí)聯(lián)次序，即成為：

又如：若，雖然系統(tǒng)都是LTI系統(tǒng)。當(dāng)時(shí)，如果交換級(jí)聯(lián)次序，則由于

不收斂，因而也是不允許的。顯然與原來是不等價(jià)的。因?yàn)橄到y(tǒng)不是LTI系統(tǒng)。如：平方乘2乘2平方若交換級(jí)聯(lián)次序，即成為：又如：若4.卷積運(yùn)算還有如下性質(zhì)：②若，則卷積積分滿足微分、積分及時(shí)移特性：①若，則4.卷積運(yùn)算還有如下性質(zhì)：②若②若，則卷積和滿足差分、求和及時(shí)移特性：①若，則恰當(dāng)?shù)乩镁矸e的性質(zhì)可以簡化卷積的計(jì)算：②若，則卷積和滿足差分、求和及將微分一次有:例如：2.2中的例2根據(jù)微分特性有:*將微分一次有:例如：2.2中的例2根據(jù)微分特性有:*利用積分特性即可得:利用積分特性即可得:信號(hào)與系統(tǒng)卷積計(jì)算的圖解法例題例：用圖解法計(jì)算，其中解：卷積結(jié)果如圖

信號(hào)與系統(tǒng)卷積計(jì)算的圖解法例題例：用圖解法計(jì)算Matlab求解舉例：信號(hào)與系統(tǒng)Matlab求解舉例：信號(hào)與系統(tǒng)Matlab求解舉例：信號(hào)與系統(tǒng)Matlab求解舉例：信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)例題：如圖所示系統(tǒng)由四個(gè)子系統(tǒng)組成，各子系統(tǒng)沖激響應(yīng)分別為積分器，單位延遲器和倒相器，求系統(tǒng)沖激響應(yīng)。

信號(hào)與系統(tǒng)例題：如圖所示系統(tǒng)由四個(gè)子系統(tǒng)組成，各子系統(tǒng)沖激信號(hào)與系統(tǒng)例題：解：根據(jù)卷積運(yùn)算的性質(zhì)有：信號(hào)與系統(tǒng)例題：解：根據(jù)卷積運(yùn)算的性質(zhì)有：信號(hào)與系統(tǒng)卷積的性質(zhì)匯總微積分性質(zhì)：微分性質(zhì)：卷積運(yùn)算與微分運(yùn)算可交換；積分性質(zhì)：卷積運(yùn)算與積分運(yùn)算可交換；N階導(dǎo)數(shù)性質(zhì)：特殊地信號(hào)與系統(tǒng)卷積的性質(zhì)匯總微積分性質(zhì)：舉例已知兩信號(hào)求信號(hào)與系統(tǒng)舉例已知兩信號(hào)信號(hào)與系統(tǒng)卷積微積分性質(zhì)使用注意卷積微積分性質(zhì)中，被微分的信號(hào)需要滿足條件即該信號(hào)中不能包含有直流分量，此時(shí)不能直接應(yīng)用該性質(zhì)求解卷積，需將直流分量的卷積分離出來單獨(dú)計(jì)算。信號(hào)與系統(tǒng)卷積微積分性質(zhì)使用注意卷積微積分性質(zhì)中，被微分的信號(hào)需要滿足舉例計(jì)算卷積：信號(hào)與系統(tǒng)舉例計(jì)算卷積：信號(hào)與系統(tǒng)舉例一般的直流信號(hào)卷積指數(shù)衰減信號(hào)為：信號(hào)與系統(tǒng)舉例一般的直流信號(hào)卷積指數(shù)衰減信號(hào)為：信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)例題：計(jì)算（1）；

信號(hào)與系統(tǒng)例題：計(jì)算（1）信號(hào)與系統(tǒng)例題：計(jì)算信號(hào)與系統(tǒng)例題：計(jì)算信號(hào)與系統(tǒng)卷積的性質(zhì)匯總信號(hào)與延遲沖激信號(hào)的卷積等于延遲信號(hào)信號(hào)與階躍信號(hào)的卷積等于信號(hào)積分

信號(hào)與系統(tǒng)卷積的性質(zhì)匯總信號(hào)與延遲沖激信號(hào)的卷積等于延遲信號(hào)信號(hào)與系統(tǒng)卷積的性質(zhì)匯總信號(hào)與沖激偶的卷積等于信號(hào)微分信號(hào)與沖激的m階導(dǎo)數(shù)的卷積等于信號(hào)的m階導(dǎo)數(shù)信號(hào)與系統(tǒng)卷積的性質(zhì)匯總信號(hào)與沖激偶的卷積等于信號(hào)微分信號(hào)與系統(tǒng)例題計(jì)算矩形脈沖的自卷積。解：

信號(hào)與系統(tǒng)例題計(jì)算矩形脈沖的自卷積。信號(hào)與系統(tǒng)例題：計(jì)算矩形脈沖與指數(shù)信號(hào)的卷積。

信號(hào)與系統(tǒng)例題：計(jì)算矩形脈沖信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例加入椒鹽噪聲的圖像空間域去噪，可利用卷積實(shí)現(xiàn)信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例加入椒鹽噪聲的圖像空間域去噪，可利用信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例信號(hào)與系統(tǒng)卷積的應(yīng)用舉例二.LTI系統(tǒng)的性質(zhì)1.記憶性：

LTI系統(tǒng)可以由它的單位沖激/脈沖響應(yīng)來表征，因而其特性（記憶性、可逆性、因果性、穩(wěn)定性）都應(yīng)在其單位沖激/脈沖響應(yīng)中有所體現(xiàn)。則在任何時(shí)刻，都只能和時(shí)刻的輸入有關(guān)，和式中只能有時(shí)的一項(xiàng)為非零，因此必須有：

根據(jù)，如果系統(tǒng)是無記憶的，即：二.LTI系統(tǒng)的性質(zhì)1.記憶性：LTI系統(tǒng)可所以，無記憶系統(tǒng)的單位脈沖/沖激響應(yīng)為：當(dāng)時(shí)系統(tǒng)是恒等系統(tǒng)。

如果LTI系統(tǒng)的單位沖激/脈沖響應(yīng)不滿足上述要求，則系統(tǒng)是記憶的。2.可逆性：

如果LTI系統(tǒng)是可逆的，一定存在一個(gè)逆系統(tǒng)，且逆系統(tǒng)也是LTI系統(tǒng)，它們級(jí)聯(lián)起來構(gòu)成一個(gè)恒等系統(tǒng)。此時(shí)，所以，無記憶系統(tǒng)的單位脈沖/沖激響應(yīng)為：當(dāng)時(shí)系統(tǒng)是恒因此有：例如：延時(shí)器是可逆的LTI系統(tǒng)，，其逆系統(tǒng)是，顯然有：

累加器是可逆的LTI系統(tǒng)，其，其逆系統(tǒng)是，顯然也有：因此有：例如：延時(shí)器是可逆的LTI系統(tǒng)，3.因果性：

由，當(dāng)LTI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)時(shí)，在任何時(shí)刻，都只能取決于時(shí)刻及其以前的輸入，即和式中所有的項(xiàng)都必須為零，即：或:

對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)有:這是LTI系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件。但差分器是不可逆的。3.因果性：由，當(dāng)

根據(jù)穩(wěn)定性的定義，由，若有界，則;若系統(tǒng)穩(wěn)定，則要求必有界，由可知，必須有:對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，相應(yīng)有:

這是LTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。4.穩(wěn)定性：根據(jù)穩(wěn)定性的定義，由5.LTI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：

在工程實(shí)際中，也常用單位階躍響應(yīng)來描述LTI系統(tǒng)。單位階躍響應(yīng)就是系統(tǒng)對(duì)或所產(chǎn)生的響應(yīng)。因此有:LTI系統(tǒng)的特性也可以用它的單位階躍響應(yīng)來描述。

5.LTI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：在工程實(shí)際中，也常用單位2.4用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)

在工程實(shí)際中有相當(dāng)普遍的一類系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型可以用線性常系數(shù)微分方程或線性常系數(shù)差分方程來描述。分析這類LTI系統(tǒng)，就是要求解線性常系數(shù)微分方程或差分方程。一.線性常系數(shù)微分方程（LinearConstant-CoefficientDifferentialEquation）均為常數(shù)(CausalLTISystemsDescribedbyDifferentialandDifferenceEquations)2.4用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)在工程實(shí)

求解該微分方程，通常是求出通解和一個(gè)特解

，則。特解是與輸入同類型的函數(shù)，通解是齊次方程的解，即的解。欲求得齊次解，可根據(jù)齊次方程建立一個(gè)特征方程：求出其特征根。在特征根均為單階根時(shí)，可得出齊次解的形式為：其中是待定的常數(shù)。求解該微分方程，通常是求出通解和一個(gè)

要確定系數(shù)，需要有一組條件，稱為附加條件。僅僅從確定待定系數(shù)的角度來看，這一組附加條件可以是任意的，包括附加條件的值以及給出附加條件的時(shí)刻都可以是任意的。當(dāng)微分方程描述的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)時(shí)，必須滿足系統(tǒng)零輸入—零輸出的特性。也就是系統(tǒng)在沒有輸入，即時(shí)，。此時(shí)，微分方程就蛻變成齊次方程，因而描述線性系統(tǒng)的微分方程其齊次解必須為零，這就要求所有的都為零。要確定系數(shù)，需要有一組條件，稱為附加條件。僅僅從確

可以證明：當(dāng)這組零附加條件在信號(hào)加入的時(shí)刻給出時(shí)，LCCDE描述的系統(tǒng)不僅是線性的，也是因果的和時(shí)不變的。

也就是要求確定待定系數(shù)所需的一組附加條件的值必須全部為零，即：LCCDE具有一組零附加條件時(shí)，才能描述線性系統(tǒng)。

在信號(hào)加入的時(shí)刻給出的零附加條件稱為零初始條件?？梢宰C明：當(dāng)這組零附加條件在信號(hào)加入的時(shí)刻給出時(shí)，LCC結(jié)論：LCCDE具有一組全部為零的初始條件可以描述一個(gè)LTI因果系統(tǒng)。這組條件是：

如果一個(gè)因果的LTI系統(tǒng)由LCCDE描述，且方程具有零初始條件，就稱該系統(tǒng)初始是靜止的或最初是松弛的。如果LCCDE具有一組不全為零的初始條件，則可以證明它所描述的系統(tǒng)是增量線性的。結(jié)論：LCCDE具有一組全部為零的初始條件可以描述一個(gè)LTI信號(hào)與系統(tǒng)系統(tǒng)響應(yīng)的一般表示系統(tǒng)響應(yīng)的表示式：系統(tǒng)的響應(yīng)還可分解為暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)信號(hào)與系統(tǒng)系統(tǒng)響應(yīng)的一般表示系統(tǒng)響應(yīng)的表示式：信號(hào)與系統(tǒng)例題1：描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為：信號(hào)與系統(tǒng)例題1：描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為：信號(hào)與系統(tǒng)例題1：信號(hào)與系統(tǒng)例題1：信號(hào)與系統(tǒng)例題2：描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為：信號(hào)與系統(tǒng)例題2：描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為：信號(hào)與系統(tǒng)例題2信號(hào)與系統(tǒng)例題2信號(hào)與系統(tǒng)例題3：描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為：信號(hào)與系統(tǒng)例題3：描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為：信號(hào)與系統(tǒng)例題3：信號(hào)與系統(tǒng)例題3：二.線性常系數(shù)差分方程:(LinearConstant-CoefficientDifferenceEquation)

一般的線性常系數(shù)差分方程可表示為：與微分方程一樣，它的解法也可以通過求出一個(gè)特解和通解，即齊次解來進(jìn)行，其過程與解微分方程類似。

要確定齊次解中的待定常數(shù)，也需要有一組附加條件。同樣地，當(dāng)LCCDE具有一組全部為零的初始條件時(shí)，所描述的系統(tǒng)是線性、因果、時(shí)不變的。二.線性常系數(shù)差分方程:一般的線性常系數(shù)差分方程可表示對(duì)于差分方程，可以將其改寫為：

可以看出：要求出，不僅要知道所有的，還要知道，這就是一組初始條件，由此可以得出。進(jìn)一步，又可以通過和，求得，依次類推可求出所有時(shí)的解。若將差分方程改寫為：對(duì)于差分方程，可以將其改寫為：可以看出：要求出，則可由求得，進(jìn)而由可求得，依次可推出時(shí)的解。由于這種差分方程可以通過遞推求解，因而稱為遞歸方程（recursiveequation）。當(dāng)時(shí)，差分方程變?yōu)椋簞t可由求得，進(jìn)而此時(shí),求解方程不再需要迭代運(yùn)算，因而稱為非遞歸方程（nonrecursiveequation）顯然，此時(shí)方程就是一個(gè)卷積和的形式，相當(dāng)于此時(shí)，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)是有限長的,因而把這種方程描述的LTI系統(tǒng)稱為FIR（Finite

ImpulseResponse）系統(tǒng)。將遞歸方程描述的系統(tǒng)稱為IIR（InfiniteImpulseResponse）系統(tǒng),此時(shí)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是一個(gè)無限長的序列。

此時(shí),求解方程不再需要迭代運(yùn)算，因而稱為非遞歸方程（no

FIR系統(tǒng)與IIR系統(tǒng)是離散時(shí)間LTI系統(tǒng)中兩類很重要的系統(tǒng)，它們的特性、結(jié)構(gòu)以及設(shè)計(jì)方法都存在很大的差異。

由于無論微分方程還是差分方程的特解都具有與輸入相同的函數(shù)形式，即特解是由輸入信號(hào)完全決定的，因而特解所對(duì)應(yīng)的這一部分響應(yīng)稱為受迫響應(yīng)或強(qiáng)迫響應(yīng)。齊次解所對(duì)應(yīng)的部分由于與輸入信號(hào)無關(guān)，也稱為系統(tǒng)的自然響應(yīng)。FIR系統(tǒng)與IIR系統(tǒng)是離散時(shí)間LTI系統(tǒng)中兩類很重要的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)邊界值零狀態(tài)響應(yīng)邊界值零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)邊界值零狀態(tài)響應(yīng)邊界值

增量線性系統(tǒng)的響應(yīng)分為零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)。零輸入響應(yīng)由于與輸入信號(hào)無關(guān)，因此它屬于自然響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)既與輸入信號(hào)有關(guān)，也與系統(tǒng)特性有關(guān)，因而它包含了受迫響應(yīng)，也包含有一部分自然響應(yīng)。三.由微分和差分方程描述的LTI系統(tǒng)的方框圖表示

（Block-DiagramRespresentationoftheLTISystemdescribedbyLCCDE）增量線性系統(tǒng)的響應(yīng)分為零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)。零輸

由LCCDE描述的系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型是由一些基本運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)的，如果能用一種圖形表示方程的運(yùn)算關(guān)系，就會(huì)更加形象直觀；另一方面,分析系統(tǒng)很重要的目的是為了設(shè)計(jì)或?qū)崿F(xiàn)一個(gè)系統(tǒng),用圖形表示系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,將對(duì)系統(tǒng)的特性仿真、硬件或軟件實(shí)現(xiàn)具有重要意義。

不同的結(jié)構(gòu)也會(huì)在設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)一個(gè)系統(tǒng)時(shí)帶來不同的影響：如系統(tǒng)的成本、靈敏度、誤差及調(diào)試難度等方面都會(huì)有差異。

由LCCDE描述的系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型是由一些基本運(yùn)算1.由差分方程描述的LTI系統(tǒng)的方框圖表示：

由可看出：方程中包括三種基本運(yùn)算：乘系數(shù)、相加、移位（延遲）。可用以下符號(hào)表示：D若令,則1.由差分方程描述的LTI系統(tǒng)的方框圖表示：由直接Ⅰ型據(jù)此可得方框圖：DDDDDD直接Ⅰ型據(jù)此可得方框圖：DDDDDD

將其級(jí)聯(lián)起來,就成為LCCDE描述的系統(tǒng)，它具有與差分方程完全相同的運(yùn)算功能。顯然,它可以看成是兩個(gè)級(jí)聯(lián)的系統(tǒng)，可以調(diào)換其級(jí)聯(lián)的次序,并將移位單元合并，于是得到：直接Ⅱ型DDD將其級(jí)聯(lián)起來,就成為LCCDE描述的系統(tǒng)，它具有與差分

由看出它也包括三種基本運(yùn)算：微分、相加、乘系數(shù)。但由于微分器不僅在工程實(shí)現(xiàn)上有困難，而且對(duì)誤差及噪聲極為靈敏，因此，工程上通常使用積分器而不用微分器。將微分方程兩邊同時(shí)積分

N次，即可得到一個(gè)積分方程：

2.由微分方程描述的LTI系統(tǒng)的方框圖表示：由看出它也包