人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)三角形知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)典型例題

第七章三角形【知識(shí)要點(diǎn)】一．認(rèn)識(shí)三角形1．關(guān)于三角形的概念及其按角的分類定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。2．三角形的分類：①三角形按內(nèi)角的大小分為三類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。②三角形按邊分為兩類：等腰三角形和不等邊三角形。2．關(guān)于三角形三條邊的關(guān)系（判斷三條線段能否構(gòu)成三角形的方法、比較線段的長(zhǎng)短）根據(jù)公理“兩點(diǎn)之間，線段最短”可得：三角形任意兩邊之和大于第三邊。三角形任意兩邊之差小于第三邊。3．和三角形有關(guān)的線段：三角形的角平分線、中線和高三角形的角平分線：三角形的一個(gè)角的平分線和對(duì)邊相交形成的線段；三角形的中線：連接三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的線段，三角形任意一條中線將三角形分成面積相等的兩個(gè)部分；三角形的高：過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)做對(duì)邊的垂線，這條垂線段叫做三角形的高。注意：①三角形的角平分線、中線和高都是線段，不是直線，也不是射線；②任意一個(gè)三角形都有三條角平分線，三條中線和三條高；③任意一個(gè)三角形的三條角平分線、三條中線都在三角形的內(nèi)部。但三角形的高卻有不同的位置：銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部；直角三角形有一條高在三角形的內(nèi)部，另兩條高恰好是它兩條直角邊；鈍角三角形一條高在三角形的內(nèi)部，另兩條高在三角形的外部。④一個(gè)三角形中，三條中線交于一點(diǎn)，三條角平分線交于一點(diǎn)，三條高所在的直線交于一點(diǎn)。（三角形的三條高（或三條高所在的直線）交和一點(diǎn)，銳角三角形高的交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部，直角三角形高的交點(diǎn)是直角頂點(diǎn)，鈍角三角形高（所在的直線）的交點(diǎn)在三角形的外部。）4．三角形的內(nèi)角和外角（1）三角形的內(nèi)角和：180°引申：①直角三角形的兩個(gè)銳角互余；②一個(gè)三角形中至多有一個(gè)直角或一個(gè)鈍角；③一個(gè)三角中至少有兩個(gè)內(nèi)角是銳角。（2）三角形的外角和：360°（3）三角形外角的性質(zhì)：①三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；——常用來(lái)求角度②三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角?！Ｓ脕?lái)比較角的大小多邊形的內(nèi)角和外角多邊形的內(nèi)角和和外角和（識(shí)記）正n邊形34568101215內(nèi)角和180°360°540°720°1080°1440°1800°2340°外角和360°360°360°360°360°360°360°360°每一個(gè)內(nèi)角60°90°108°120°135°144°150°158°每一個(gè)外角120°90°72°60°45°36°30°22°（1）多邊形的內(nèi)角和：（2）180°（2）多邊形的外角和：360°引申：（1）從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)能作（3）條對(duì)角線；（2）多邊形有條對(duì)角線。（3）從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)能將n邊形分成（2）個(gè)三角形；※6．鑲嵌（1）同一種正三邊形、正四邊形、正六邊形可以進(jìn)行平面鑲嵌；（2）正三角形和正四邊形、正三角形和正六邊形……可以進(jìn)行平面鑲嵌；（1）同一種任意三角形、任意四邊形可以進(jìn)行鑲嵌?！镜湫屠}】三角形的分類例題1：具備下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（B）。A：∠∠∠CB：∠∠∠CC：∠90°-∠BD：∠∠90例題2：等腰三角形一腰上的高和另一腰的夾角為30°，則頂角的度數(shù)為(D)．

A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120°如圖，∠1+∠2+∠3+∠4等于多少度；（280°）練習(xí)：1、如圖，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(A)A、∠B>∠B、∠∠=180°－∠AC、∠∠<180°D、∠>∠B2、若一個(gè)三角形的一個(gè)外角小于和它相鄰的內(nèi)角，則這個(gè)三角形是(C).A、直角三角形B、銳角三角形C、鈍角三角形D、無(wú)法確定三角形的內(nèi)角和、外角和相關(guān)的計(jì)算和證明例題1：若三角形的三個(gè)外角的比為3：4：5，則這個(gè)三角形為（B）．A．銳角三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．鈍角三角形例題2：已知等腰三角形的一個(gè)外角為150°，則它的底角為.練習(xí)：1、如圖，若∠100°，∠45°，∠38°，則∠等于(A)A.125°B.115°C.110°D.105°_3題圖__3題圖_150_50_3_2_1_2題圖_140_80_1_1題圖_F_E_A_C_B_D3、如圖，則∠1,∠2,∠3,4、已知等腰三角形的一個(gè)外角是120°，則它是(C)A.等腰直角三角形B.一般的等腰三角形C.等邊三角形D.等腰鈍角三角形5、如果三角形的一個(gè)外角和和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和為180°，那么和這個(gè)外角相鄰的內(nèi)角的度數(shù)為(C)A.30°B.60°C.90°D.120°6、已知三角形的三個(gè)外角的度數(shù)比為2∶3∶4，則它的最大內(nèi)角的度數(shù)(D).A.90°B.110°C.100°D.120°例7.

如圖（1）所示，△中，的平分線交于點(diǎn)，求證：.

（1）

（2）

（3）變式1：如圖（2）所示，△中，內(nèi)角和外角的平分線交于點(diǎn)，求證：.變式2：如圖（3）所示，△中，外角的平分線交于點(diǎn)，求證：.分析：本題已知△的內(nèi)角平分線和外角平分線，從而想到可利用三角形角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理以及外角和內(nèi)角的關(guān)系證題。解答：如圖（1），∵在△中，又∵的平分線交于點(diǎn)，

∴

變式1：∵是△的一個(gè)外角，∴

∵平分，平分，且是△的外角，∴，即

∴變式2：在△中，

在△中，

∵平分，且三點(diǎn)共線，

∴，同理可證

∴∴例5.

已知：如圖，在△中，，分別是邊上的高，相交于，求的度數(shù)。分析：由已知可求，在△中，故先求和。解答：∵∴設(shè)，則∴，解得∴∵為邊上的高，∴∴在中，同理∴在△中，例題1：若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和和外角和相等，則這個(gè)多邊形是（A）三角形B．六邊形C．五邊形D．四邊形例題2：下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（A）A．邊數(shù)越多，多邊形的外角和越大B．多邊形每增加一條邊，內(nèi)角和就增加180°C．正多邊形的每一個(gè)外角隨著邊數(shù)的增加而減小D．六邊形的每一個(gè)內(nèi)角都是120°例題3：一個(gè)多邊形內(nèi)角和和其中一個(gè)外角的總和為1360°這個(gè)多邊形的邊數(shù)為9.例題4：一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都是24°，則此多邊形的內(nèi)角和（B）A．2160°B．2340°C．2700°D．2880°練習(xí)：1．一個(gè)多邊形內(nèi)角和是10800，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（B）A、6B、7C、8D、92．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，它是（C）A、四邊形B、五邊形C、六邊形D、八邊形3．一個(gè)多邊形的邊數(shù)增加一倍，它的內(nèi)角和增加(A)A.180°B.360°C.(2)·180°D.n·1804、若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和和外角和相加是1800°，則此多邊形是(B)A、八邊形B、十邊形C、十二邊形D、十四邊形5、正方形每個(gè)內(nèi)角都是_90°，每個(gè)外角都是90°。6、多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于150°，則從此多邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出的對(duì)角線有9條。7、正六邊形共有9條對(duì)角線，內(nèi)角和等于720°，每一個(gè)內(nèi)角等于120°。8、內(nèi)角和是1620°的多邊形的邊數(shù)是_11。9、如果一個(gè)多邊形的每一外角都是24°，那么它是15邊形。10、將一個(gè)三角形截去一個(gè)角后，所形成的一個(gè)新的多邊形的內(nèi)角和180°或360°_。11、一個(gè)多邊形的內(nèi)角和和外角和之比是5∶2，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為8。12、一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后,所得的新多邊形的內(nèi)角和為2520°,則原多邊形有_15或16或17條邊。13.已知一個(gè)十邊形中九個(gè)內(nèi)角的和的度數(shù)是12900，那么這個(gè)十邊形的另一個(gè)內(nèi)角為150度.考點(diǎn)六：鑲嵌例題1：裝飾大世界出售下列形狀的地磚：\o\(○,1)正方形；\o\(○,2)長(zhǎng)方形；\o\(○,3)正五邊形；\o\(○,4)正六邊形。若只選購(gòu)其中某一種地磚鑲嵌地面，可供選用的地磚有（B）A.\o\(○,1)\o\(○,2)\o\(○,3)B.\o\(○,1)\o\(○,2)\o\(○,4)C.\o\(○,2)\o\(○,3)\o\(○,4)D.\o\(○,1)\o\(○,3)\o\(○,4)例題2：邊長(zhǎng)相等的下列兩種正多邊形的組合，不能作平面鑲嵌的是(B)A.正方形和正三角形B.正五邊形和正三角形C.正六邊形和正三角形D.正八邊形和正方形練習(xí)：1.下列正多邊中，能鋪滿地面的是（B）A、正方形B、正五邊形C、等邊三角形D、正六邊形2.下列正多邊形的組合中，不能夠鋪滿地面的是(D).A.正六邊形和正三角形B.正三角形和正方形C.正八邊形和正方形D.正五邊形和正八邊形3.用正三角形和正十二邊形鑲嵌，可能情況有(B)種.A、1B、2C、3D、44.某裝飾公司出售下列形狀的地磚：①正方形；②長(zhǎng)方形；③正五邊形；④正六邊形.若只選購(gòu)其中某一種地磚鑲嵌地面，可供選用的地磚共有(C)種.A、1B、2C、3D、45.小李家裝修地面，已有正三角形形狀的地磚，現(xiàn)打算購(gòu)買另一種不同形狀的正多邊形地磚，和正三角形地磚在同一頂點(diǎn)處作平面鑲嵌，則小李不應(yīng)購(gòu)買的地磚形狀