普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(全國卷Ⅲ)

一般高等學校招生全國一致考試理科數(shù)學(全國卷Ⅲ)(含答案)一般高等學校招生全國一致考試理科數(shù)學(全國卷Ⅲ)(含答案)一般高等學校招生全國一致考試理科數(shù)學(全國卷Ⅲ)(含答案)絕密★啟用前2021年一般高等學校招生全國一致考試理科數(shù)學本卷須知：1．答卷前，考生務勢必自己的姓名和準考據(jù)號填寫在答題卡上。2．回復選擇題時，選出每題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需變動，用橡皮擦潔凈后，再選涂其余答案標號?；貜头沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每題5分，共60分。在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項切合題目要求的。1．會合A{1,0,1,2}，B{x|x21}，那么AIBA．1,0,1B．0,1C．1,1D．0,1,22．假定z(1i)2i，那么z=A．1iB．1+iC．1iD．1+i3．?西游記??三國演義??水滸傳?和?紅樓夢?是中國古典文學珍寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學為認識本校學生閱讀四大名著的狀況，隨機檢查了

100位學生，此中閱讀過?西游記?或?紅樓夢?的學生共有

90位，閱讀過?紅樓夢?的學生共有

80位，閱讀過?西游記?且閱讀過?紅樓夢?的學生共有60位，那么該檢閱讀過?西游記?的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的預計值為A．B．C．D．4．〔1+2x2〕〔1+x〕4的睜開式中x3的系數(shù)為A．12B．16C．20D．245．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項和為15，且a5=3a3+4a1，那么a3=A．16B．8C．4D．26．曲線yaexxlnx在點〔1，ae〕處的切線方程為y=2x+b，那么A．a(chǎn)e，b1B．e，=1C．1Dae1b1a=b，．2x3的圖像大概為7．函數(shù)y在6,62x2xA．B．C．D．8．如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，那么A．BM=EN，且直線BM，EN是訂交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是訂交直線C．BM=EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線9．履行下面的程序框圖，假如輸入的為，那么輸出s的值等于A．21B．21C．21D．214567222210．雙曲線C：x2y2=1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標原點，假定PO=PF，那么△42PFO的面積為A．32B．32C．22D．324211．設fx是定義域為R的偶函數(shù)，且在0,+單一遞減，那么A．f〔log314B．f〔log314

32〕＞f〔22〕＞f〔23〕23〕＞f〔23〕＞f〔22〕C．f〔3〕＞f〔2〕＞f〔log31〕22234D．f〔2〕＞f〔3〕＞f〔log31〕2322412．設函數(shù)fx=sin〔x〕(＞0)，fx在0,2有且僅有5個零點，下述四個結論：5①fx在〔0,2〕有且僅有3個極大值點②fx在〔0,2〕有且僅有2個極小值點③fx在〔0,〕單一遞加101229④的取值范圍是[5，)10此中全部正確結論的編號是A．①④B．②③C．①②③D．①③④二、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分。13．a(chǎn)，b為單位向量，且a·b=0，假定c2a5b，那么cosa,c___________.14．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a1≠0，a23a1，那么S10___________.S515．設F1，F(xiàn)2為橢圓C:x2+y21的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限.假定△MF1F2為等腰三角形，20M的坐標為___________.16．學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型.如圖，該模型為長方體ABCDA1B1C1D1挖去四棱錐O—EFGH后所得的幾何體，此中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點，AB=BC=6cm,AA1=4cm，3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印消耗，制作該模型所需原料的質量為___________g.三、解答題：共70分。解允許寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都一定作答。第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答?！惨弧潮乜碱}：共60分。17．〔12分〕為認識甲、乙兩種離子在小鼠體內的殘留程度，進行以下試驗：將200只小鼠隨機分紅A，B兩組，每組100只，此中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積同樣、摩爾濃度同樣．經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內離子的百分比.依據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別獲得以下直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內的百分比不低于5.5〞，依據(jù)直方圖獲得〔〕的預計值為．PC1〕求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；2〕分別預計甲、乙離子殘留百分比的均勻值〔同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表〕．18．〔12分〕△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，asinACbsinA．21〕求B；2〕假定△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍．19．〔12分〕圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC構成的一個平面圖形，此中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖2.1〕證明：圖2中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC⊥平面BCGE；2〕求圖2中的二面角B-CG-A的大小.20．〔12分〕函數(shù)f(x)2x3ax2b.〔1〕議論f(x)的單一性；〔2〕能否存在a,b，使得f(x)在區(qū)間[0,1]的最小值為1且最大值為1？假定存在，求出a,b的全部值；假定不存在，說明原因.21．曲線C：y=x2，D為直線y=1上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B.22〔1〕證明：直線AB過定點：〔2〕假定以E(0，5)為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積.2〔二〕選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。假如多做，那么按所做的第一題計分。22．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]〔10分〕如圖，在極坐標系Ox中，A(2,0)，(2,)，C(2,)，D(2,)，弧?，?，?所在圓B4ABBCCD4的圓心分別是(1,0)，(1,)，(1,)，曲線M1是弧?AB，曲線M2??BCCD2〔1〕分別寫出M1，M2，M3的極坐標方程；〔2〕曲線M由M1，M2，M3構成，假定點P在M上，且|OP|3，求P的極坐標.23．[選修4-5：不等式選講]〔10分〕設x,y,zR，且xyz1.〔1〕求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；〔2〕假定(x2)2(y1)2(za)21成立，證明：a3或a1.32021年一般高等學校招生全國一致考試理科數(shù)學·參照答案一、選擇題1．A2．D3．C4．A5．C6．D7．B8．B9．C10．A11．C12．D二、填空題13．214．415．(3,15)16．3三、解答題17．解：〔1〕由得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．b=1–––．〔2〕甲離子殘留百分比的均勻值的預計值為2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．乙離子殘留百分比的均勻值的預計值為3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．18．解：〔1〕由題設及正弦定理得sinAsinACsinBsinA．2因為sinA0，所以sinACsinB．2由ABC180，可得sinACBBBBcos，故cos2sincos．22222因為cosB0，故sinB1222

，所以B=60°．〔2〕由題設及〔1〕知△ABC的面積S△ABC3a．4由正弦定理得acsinAsin120C31．sinCsinC2tanC2因為△ABC為銳角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°，由〔1〕知A+C=120°，所以30°<C<90°，故1a2，進而3S△ABC3．282所以，△面積的取值范圍是33．ABC,8219．解：〔1〕由得ADPBE，CGPBE，所以ADPCG，故AD，CG確立一個平面，進而A，C，G，D四點共面．由得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．又因為AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．2〕作EHBC，垂足為H．因為EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC．由，菱形BCGE的邊長為2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=3．uuur以H為坐標原點，HC

的方向為x軸的正方向，成立以下列圖的空間直角坐標系H–xyz，ACGuuuruuur3〕，=〔1，0，3〕，=〔2，–1，0〕．那么〔–1，1，0〕，〔1，0，0〕，〔2，0，設平面的法向量為n=〔，y，〕，那么ACGDxzuuurCGn0,x3z0,uuur即ACn0,2xy0.所以可取n=〔3，6，–3〕．又平面BCGE的法向量可取為m=〔0，1，0〕，所以cosn,mnm3．|n||m|2所以二面角B–CG–A的大小為30°．20.解：〔1〕f(x)6x22ax2x(3xa)．令f(x)a0，得x=0或x.3假定a>0，那么當x(,0)Ua,時，f(x)0；當x0,a時，f(x)0．故f(x)在33(,0),a,單一遞加，在0,a單一遞減；33假定a=0，f(x)在(,)單一遞加；假定a<0，那么當x,aU(0,)時，f(x)0；當xa,0時，f(x)0．故f(x)在33,a,(0,)單一遞加，在a,0單一遞減.33〔2〕知足題設條件的a，b存在.〔i〕當a≤0時，由〔1〕知，f(x)在[0，1]單一遞加，所以f(x)在區(qū)間[0，l]的最小值為f(0)=b，最大值為f(1)2ab.此時a，b知足題設條件當且僅當b1，2ab1，即a=0，b1．〔ii〕當a≥3時，由〔1〕知，f(x)在[0，1]單一遞減，所以f(x)在區(qū)間[0，1]的最大值為f(0)=b，最小值為f(1)2ab．此時a，b知足題設條件當且僅當2ab1，b=1，即a=4，b=1．〔iii〕當0<a<3時，由〔1〕知，f(x)在[0，1]的最小值為faa3b，最大值為b或2ab．327假定a3b1，b=1，那么a332，與0<a<3矛盾.27假定a3b1，2ab1，那么a33或a33或a=0，與0<<327a矛盾．綜上，當且僅當a=0，b1或a=4，b=1時，f(x)在[0，1]的最小值為-1，最大值為1．21．解：〔1〕設Dt,1,Ax1,y1，那么x122y1.2y11y'x2因為，所以切線的斜率為x1，故x1.DAtx1整理得2tx12y1+1=0.設Bx2,y2，同理可得2tx22y2+1=0.故直線AB的方程為2tx2y10.所以直線過定點(0,1.21〔2〕由〔1〕得直線的方程為ytxAB.2ytx12，可得x2由x22tx10.y2于是x1x22t,x1x21,y1y2tx1x212t21，|AB|1t2x1x21t2x124x1x22t21.x2設d1,d2分別為點D，E到直線AB的距離，那么d1t21,d22.t21所以，四邊形ADBE的面積S1|AB|d1d2t23t21.2設為線段的中點，那么Mt,t21.MAB2uuuuruuuruuuurt,t2uuurt22t0.解得t=0或t1.因為EMAB，而EM2，AB與向量(1,t)平行，所以t當t=0時，S=3；當t1時，S42.所以，四邊形ADBE的面積為3或42.22.解：〔1〕由題設可得，弧???AB,BC,CD所在圓的極坐標方程分別為2cos.所以M1的極坐標方程為2cos0π，M2的極坐標方程為4M3的極坐標方程為2cos3ππ.4〔2〕設P(,)，由題設及〔1〕知假定0π3，解得π，那么2cos；46假定π3π3，解得π2π4，那么2sin或；433假定3ππ，那么2cos3，解得5π4.6綜上，的極坐標為π或π或2π或5π.6336

2cos，2sin，2sinπ3π，4423．解：〔1〕因為[(x1)(y1)(z1)]2(x1)2(y1)2(z1)22[(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)