高等數(shù)學(xué)-概率22隨機(jī)變量的分布課件

第二章隨機(jī)變量第二節(jié)隨機(jī)變量的分布第二章隨機(jī)變量1

設(shè)X是一個離散型隨機(jī)變量，它可能取的值是

x1,x2,…,xn,…

為了描述隨機(jī)變量

X

，我們不僅需要知道隨機(jī)變量X取哪些值，而且還應(yīng)知道X取每個值的概率.一、離散型隨機(jī)變量的分布設(shè)X是一個離散型隨機(jī)變量，它可能取的值是x1,x2,2

這樣，我們就掌握了X這個隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律.從中任取3個球取到的白球數(shù)X是一個隨機(jī)變量X可能取的值是0,1,2取每個值的概率為例1

且這樣，我們就掌握了X這個隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律.從中任取33

定義1：設(shè)xk(k=1,2,…,n,…)是離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值，稱

k=1,2,…,n,…

為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或概率函數(shù).或可寫為1、離散型隨機(jī)變量的概率分布

稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列定義1：設(shè)xk(k=1,2,…,n,…)是離散4

k=1,2,…

（1）（2）用這兩條性質(zhì)判斷一個二元序列是否是概率分布2、概率分布的基本性質(zhì)

k=1,2,…（1）（2）用這兩條性質(zhì)判斷2、概率分53、舉例

例1.一批產(chǎn)品的廢品率為5％，從中任意抽取一個進(jìn)行檢驗，用隨機(jī)變量來描述廢品出現(xiàn)的情況，即寫出的分布。

3、舉例例1.一批產(chǎn)品的廢品率為5％，從中任意抽取一個進(jìn)行6常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布之一(I)兩點分布

設(shè)E是一個只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)試驗,用Ω={1,2}表示其樣本空間.P(1)=p,P(2)=1-pX()=1,=1

0,=2兩點分布或0－1分布常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布之一(I)兩點分布設(shè)E是7例2.

產(chǎn)品有一、二、三等品及廢品4種，其一、二、三等品率和廢品率分別為60％、10％、20％、10％，任取一個產(chǎn)品檢驗其質(zhì)量，用隨機(jī)變量描述檢驗結(jié)果并畫出其概率函數(shù)圖。

例2.產(chǎn)品有一、二、三等品及廢品4種，其一、二、三等品率和8例3.用隨機(jī)變量去描述擲一顆骰子的試驗情況。

例3.用隨機(jī)變量去描述擲一顆骰子的試驗情況。9例4.社會上定期發(fā)行一種獎券，每券1元，中獎率為。某人每次購買1張獎券，如果沒有中獎，下次再繼續(xù)購買1張，直到中獎為止。求該人購買次數(shù)的分布。

例4.社會上定期發(fā)行一種獎券，每券1元，中獎率為。某人每10例5.盒內(nèi)裝有外形與功率均相同的15個燈泡，其中10個螺口，5個卡口，燈口向下放著?，F(xiàn)在需用1個螺口燈泡，從盒中任取一個，如果取到卡口燈泡就不再放回去。求在取到螺口燈泡之前已取出的卡口燈泡數(shù)的分布。

例5.盒內(nèi)裝有外形與功率均相同的15個燈泡，其中10個螺口，11小結(jié)：求分布列問題

（1）先求隨機(jī)變量的所有可能取值；（2）再求取每個值的概率。小結(jié)：求分布列問題（1）先求隨機(jī)變量的所有可能取值；（2）12思考.將一顆骰子拋擲兩次，以表示兩次所得點數(shù)之和，以表示兩次拋擲得到的小的點數(shù)。試求，的分布列。

思考.將一顆骰子拋擲兩次，以表示兩次所得點數(shù)之和，以13二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)

概率函數(shù)可以完全地描述一個離散型隨機(jī)變量，但連續(xù)型隨機(jī)變量是無法用分布列來描述的。因為：

（1）連續(xù)型隨機(jī)變量X的所有可能取值充滿一個區(qū)間,不可列；

（2）X取某一個具體的值的概率為零，意義不大。二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)概率函數(shù)可以完全地描述一個離散14例如：某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過，一位乘客對該汽車的通車時間一無所知，則該乘客的候車時間是一個連續(xù)型隨機(jī)變量X。（1）X的取值充滿區(qū)間[0,5].（2）P{X=2.859}=0，無太大意義.（3）考慮P{a<X≤b}=P{X≤b}－P{X≤a}例如：某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過，一位乘客對該汽車15對于連續(xù)型隨機(jī)變量X：P{x1<X≤x2}對于離散型隨機(jī)變量X：P{X=xk

}

=P{X≤xk

}－P{X≤xk-1}。

=P{xk-1<X≤xk

}

=P{X≤x2}－P{X≤x1}。無論離散型r.v.還是連續(xù)型r.v.，都可以用形如P{X≤x}的概率來統(tǒng)一描述，這就是隨機(jī)變量的分布函數(shù)對于連續(xù)型隨機(jī)變量X：對于離散型隨機(jī)變量X：161、分布函數(shù)定義

2、分布函數(shù)的性質(zhì)

設(shè)X()是一個隨機(jī)變量（離散型或連續(xù)型），稱函數(shù)

F(x):=P{X≤x},-∞<x<∞

為隨機(jī)變量X的分布函數(shù).（1）有界性：0≤F(x)≤1,-∞<x<∞；（2）單調(diào)性：F(x)是x的單調(diào)不減函數(shù)，即若x1<x2，則F(x1)≤F(x2)；（3）1、分布函數(shù)定義2、分布函數(shù)的性質(zhì)17（4）右連續(xù)性：F(x＋0)＝F(x)，x為任意實數(shù)；（5）利用分布函數(shù)計算概率：P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}－P{X≤x1}＝F(x2)－F(x1)。F(x)至多有可列個間斷點，并且在間斷點處也右連續(xù)P{X≥x0}

P{X>x0}=1－F(x0)=1－F(x0－0)（4）右連續(xù)性：（5）利用分布函數(shù)計算概率：183、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)例1、求0－1分布的分布函數(shù)，并畫出圖形。

已知概率函數(shù)3、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)例1、求0－1分布的分布函數(shù)，并19例2、求擲一枚骰子所得的點數(shù)的分布函數(shù)，并畫出圖形。

例2、求擲一枚骰子所得的點數(shù)的分布函數(shù)，并畫出圖形20例3、求已知離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)如下，求的概率函數(shù)。例3、求已知離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)如下，求21離散型r.v.的分布函數(shù)與概率函數(shù)的關(guān)系（1）從概率函數(shù)求分布函數(shù)離散型r.v.的分布函數(shù)與概率函數(shù)的關(guān)系（1）從概率函數(shù)求分22離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)圖是階梯曲線，在一切有正概率的點xk

都有一個跳躍，躍度為P{X=xk

}對F(x)任何連續(xù)點x，P{X＝x

}＝0。這一點對連續(xù)型隨機(jī)變量也是成立的。離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)圖是階梯曲線，在一切有正概率的點x23（2）從分布函數(shù)求概率函數(shù)=P{X=xk

}pk

=F(xk)－F(xk

-0)

k=0，1，2，……離散型r.v.X在其分布函數(shù)F(x)的所有跳躍間斷點處取值，而其概率則是跳躍的幅度。（2）從分布函數(shù)求概率函數(shù)=P{X=xk}pk=F(xk24三、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布

雖然分布函數(shù)可以統(tǒng)一地描述離散型和連續(xù)型兩類隨機(jī)變量的概率規(guī)律，但是就離散型隨機(jī)變量而言，用概率函數(shù)描述更為直觀和方便。那么，對連續(xù)型隨機(jī)變量，能不能也找到一種更加方便和直觀的描述方式呢？這就是連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度。三、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布雖然分布函數(shù)可以統(tǒng)一地描述離散型和25高爾頓釘板試驗高26下面是我們用某大學(xué)大學(xué)生的身高的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。紅線是擬合的密度曲線

可見，概率P{a<X≤b

}就是區(qū)間[a,b]上，紅色曲線f(x)之下的曲邊梯形的面積。下面是我們用某大學(xué)大學(xué)生的身高的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。紅線是271、定義

如果存在一非負(fù)實函數(shù)f(x)，，使隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)可以表示成則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)稱為X的概率分布密度函數(shù)，簡稱概率密度。記作X～f(x)1、定義如果存在一非負(fù)實函數(shù)f(x)，282、概率密度函數(shù)的性質(zhì)（1）f(x)≥0；（2）；（3）區(qū)間概率P{a<X≤b}

這兩條性質(zhì)是判斷一個函數(shù)f(x)是否某r.v.X的概率密度的充要條件。（4）在f(x)的連續(xù)點x處，有（5）連續(xù)型r.v.X取單點值的概率為0，即（6）P{a≤X≤b}=P{a≤X<b}=P{a<X<b}

對，P{X=a}=0。=P{a<X≤b}2、概率密度函數(shù)的性質(zhì)（1）f(x)≥0；（2）29

要注意的是，密度函數(shù)

f(x)在某點a處的高度，并不反映X取值a的概率。但是，這個高度越大，則X取a附近的值的概率就越大。也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度。這就很直觀的描述了連續(xù)型隨機(jī)變量的概率規(guī)律。

f(x)

x

o要注意的是，密度函數(shù)f(x)在某點a處的高度，并不30例1、在區(qū)間[4,10]上任意拋擲一個質(zhì)點，用表示這個質(zhì)點與原點的距離，則是一個隨機(jī)變量。如果這個質(zhì)點落在[4,10]上任一子區(qū)間內(nèi)的概率與這個區(qū)間的長度成正比，求的分布函數(shù)和概率密度。3、舉例例1、在區(qū)間[4,10]上任意拋擲一個質(zhì)點，用表示這個質(zhì)點與31常見的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布之一均勻分布如果隨機(jī)變量的概率密度為則稱服從區(qū)間[a,b]上的均勻分布，記作～U[a,b]。常見的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布之一均勻分布如果隨機(jī)變量32例2、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為F(x)=A+Barctanx，（1）確定常數(shù)A，B；（2）求的概率密度函數(shù)f(x)；（3）求。例2、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為33例3、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為，求：（1）常數(shù)A；（2）的分布函數(shù)F(x)；（3）落入?yún)^(qū)間的概率。例3、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為34例4、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為

且，求常數(shù)a，b。例4、設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為35復(fù)習(xí)與總結(jié)(1)F(x)=P{X≤x}求概率:

P{a<X≤b}=F(b)-F(a)；(2)離散型r.v.X，常用分布列描述

F(x)與分布列的關(guān)系（略）求概率:

P{a<X≤b}復(fù)習(xí)與總結(jié)(1)F(x)=P{X≤x}求概率:36(3)連續(xù)型r.v.X，常用概率密度f(x)描述

F(x)和f(x)的關(guān)系：求概率:

P{a<X≤b}(3)連續(xù)型r.v.X，常用概率密度f(x)描述37

第二章隨機(jī)變量第二節(jié)隨機(jī)變量的分布第二章隨機(jī)變量38

設(shè)X是一個離散型隨機(jī)變量，它可能取的值是

x1,x2,…,xn,…

為了描述隨機(jī)變量

X

，我們不僅需要知道隨機(jī)變量X取哪些值，而且還應(yīng)知道X取每個值的概率.一、離散型隨機(jī)變量的分布設(shè)X是一個離散型隨機(jī)變量，它可能取的值是x1,x2,39

這樣，我們就掌握了X這個隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律.從中任取3個球取到的白球數(shù)X是一個隨機(jī)變量X可能取的值是0,1,2取每個值的概率為例1

且這樣，我們就掌握了X這個隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律.從中任取340

定義1：設(shè)xk(k=1,2,…,n,…)是離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值，稱

k=1,2,…,n,…

為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或概率函數(shù).或可寫為1、離散型隨機(jī)變量的概率分布

稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列定義1：設(shè)xk(k=1,2,…,n,…)是離散41

k=1,2,…

（1）（2）用這兩條性質(zhì)判斷一個二元序列是否是概率分布2、概率分布的基本性質(zhì)

k=1,2,…（1）（2）用這兩條性質(zhì)判斷2、概率分423、舉例

例1.一批產(chǎn)品的廢品率為5％，從中任意抽取一個進(jìn)行檢驗，用隨機(jī)變量來描述廢品出現(xiàn)的情況，即寫出的分布。

3、舉例例1.一批產(chǎn)品的廢品率為5％，從中任意抽取一個進(jìn)行43常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布之一(I)兩點分布

設(shè)E是一個只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)試驗,用Ω={1,2}表示其樣本空間.P(1)=p,P(2)=1-pX()=1,=1

0,=2兩點分布或0－1分布常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布之一(I)兩點分布設(shè)E是44例2.

產(chǎn)品有一、二、三等品及廢品4種，其一、二、三等品率和廢品率分別為60％、10％、20％、10％，任取一個產(chǎn)品檢驗其質(zhì)量，用隨機(jī)變量描述檢驗結(jié)果并畫出其概率函數(shù)圖。

例2.產(chǎn)品有一、二、三等品及廢品4種，其一、二、三等品率和45例3.用隨機(jī)變量去描述擲一顆骰子的試驗情況。

例3.用隨機(jī)變量去描述擲一顆骰子的試驗情況。46例4.社會上定期發(fā)行一種獎券，每券1元，中獎率為。某人每次購買1張獎券，如果沒有中獎，下次再繼續(xù)購買1張，直到中獎為止。求該人購買次數(shù)的分布。

例4.社會上定期發(fā)行一種獎券，每券1元，中獎率為。某人每47例5.盒內(nèi)裝有外形與功率均相同的15個燈泡，其中10個螺口，5個卡口，燈口向下放著。現(xiàn)在需用1個螺口燈泡，從盒中任取一個，如果取到卡口燈泡就不再放回去。求在取到螺口燈泡之前已取出的卡口燈泡數(shù)的分布。

例5.盒內(nèi)裝有外形與功率均相同的15個燈泡，其中10個螺口，48小結(jié)：求分布列問題

（1）先求隨機(jī)變量的所有可能取值；（2）再求取每個值的概率。小結(jié)：求分布列問題（1）先求隨機(jī)變量的所有可能取值；（2）49思考.將一顆骰子拋擲兩次，以表示兩次所得點數(shù)之和，以表示兩次拋擲得到的小的點數(shù)。試求，的分布列。

思考.將一顆骰子拋擲兩次，以表示兩次所得點數(shù)之和，以50二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)

概率函數(shù)可以完全地描述一個離散型隨機(jī)變量，但連續(xù)型隨機(jī)變量是無法用分布列來描述的。因為：

（1）連續(xù)型隨機(jī)變量X的所有可能取值充滿一個區(qū)間,不可列；

（2）X取某一個具體的值的概率為零，意義不大。二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)概率函數(shù)可以完全地描述一個離散51例如：某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過，一位乘客對該汽車的通車時間一無所知，則該乘客的候車時間是一個連續(xù)型隨機(jī)變量X。（1）X的取值充滿區(qū)間[0,5].（2）P{X=2.859}=0，無太大意義.（3）考慮P{a<X≤b}=P{X≤b}－P{X≤a}例如：某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過，一位乘客對該汽車52對于連續(xù)型隨機(jī)變量X：P{x1<X≤x2}對于離散型隨機(jī)變量X：P{X=xk

}

=P{X≤xk

}－P{X≤xk-1}。

=P{xk-1<X≤xk

}

=P{X≤x2}－P{X≤x1}。無論離散型r.v.還是連續(xù)型r.v.，都可以用形如P{X≤x}的概率來統(tǒng)一描述，這就是隨機(jī)變量的分布函數(shù)對于連續(xù)型隨機(jī)變量X：對于離散型隨機(jī)變量X：531、分布函數(shù)定義

2、分布函數(shù)的性質(zhì)

設(shè)X()是一個隨機(jī)變量（離散型或連續(xù)型），稱函數(shù)

F(x):=P{X≤x},-∞<x<∞

為隨機(jī)變量X的分布函數(shù).（1）有界性：0≤F(x)≤1,-∞<x<∞；（2）單調(diào)性：F(x)是x的單調(diào)不減函數(shù)，即若x1<x2，則F(x1)≤F(x2)；（3）1、分布函數(shù)定義2、分布函數(shù)的性質(zhì)54（4）右連續(xù)性：F(x＋0)＝F(x)，x為任意實數(shù)；（5）利用分布函數(shù)計算概率：P{x1<X≤x2}=P{X≤x2}－P{X≤x1}＝F(x2)－F(x1)。F(x)至多有可列個間斷點，并且在間斷點處也右連續(xù)P{X≥x0}

P{X>x0}=1－F(x0)=1－F(x0－0)（4）右連續(xù)性：（5）利用分布函數(shù)計算概率：553、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)例1、求0－1分布的分布函數(shù)，并畫出圖形。

已知概率函數(shù)3、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)例1、求0－1分布的分布函數(shù)，并56例2、求擲一枚骰子所得的點數(shù)的分布函數(shù)，并畫出圖形。

例2、求擲一枚骰子所得的點數(shù)的分布函數(shù)，并畫出圖形57例3、求已知離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)如下，求的概率函數(shù)。例3、求已知離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)如下，求58離散型r.v.的分布函數(shù)與概率函數(shù)的關(guān)系（1）從概率函數(shù)求分布函數(shù)離散型r.v.的分布函數(shù)與概率函數(shù)的關(guān)系（1）從概率函數(shù)求分59離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)圖是階梯曲線，在一切有正概率的點xk

都有一個跳躍，躍度為P{X=xk

}對F(x)任何連續(xù)點x，P{X＝x

}＝0。這一點對連續(xù)型隨機(jī)變量也是成立的。離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)圖是階梯曲線，在一切有正概率的點x60（2）從分布函數(shù)求概率函數(shù)=P{X=xk

}pk

=F(xk)－F(xk

-0)

k=0，1，2，……離散型r.v.X在其分布函數(shù)F(x)的所有跳躍間斷點處取值，而其概率則是跳躍的幅度。（2）從分布函數(shù)求概率函數(shù)=P{X=xk}pk=F(xk61三、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布

雖然分布函數(shù)可以統(tǒng)一地描述離散型和連續(xù)型兩類隨機(jī)變量的概率規(guī)律，但是就離散型隨機(jī)變量而言，用概率函數(shù)描述更為直觀和方便。那么，對連續(xù)型隨機(jī)變量，能不能也找到一種更加方便和直觀的描述方式呢？這就是連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度。三、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布雖然分布函數(shù)可以統(tǒng)一地描述離散型和62高爾頓釘板試驗高63下面是我們用某大學(xué)大學(xué)生的身高的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。紅線是擬合的密度曲線

可見，概率P{a<X≤b

}就是區(qū)間[a,b]上，紅色曲線f(x)之下的曲邊梯形的面積。下面是我們用某大學(xué)大學(xué)生的身高的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。紅線是641、定義

如果存在一非負(fù)實函數(shù)f(x)，，使隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)可以表示成則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)稱為X的概率分布密度函數(shù)，簡稱概率密度。記作X～f(x)1、定義如果存在一非負(fù)實函數(shù)f(x)，652、概率密度函數(shù)的性質(zhì)（1）f(x)≥0；（2）；（3）區(qū)間概率P{a<X≤b}

這兩條性質(zhì)是判斷一個函數(shù)f(x)是否某r.v.X的概率密度的充要條件。（4）在f(x)的連續(xù)點x處，有（5）連續(xù)型r.v.X取單點值的概率為0，即（6）P{a≤X≤b}=P{a≤X<b}=P{a<X<b}

對，P{X=a}=0。=P{a<X≤b}2、概率密度函數(shù)的性質(zhì)（1）f(x)≥0；（2）66

要注意的是，密度函數(shù)

f(x)在某點a處的高度，并不反映X取值a的概率。但是，這個高度越大，則X取a附近的值的概率就越大。也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度。這就很直觀的描述了連續(xù)型隨機(jī)變量的概率規(guī)律。

f(x)

x

o要注意的是，密度函數(shù)f(x)在某點a處的高度，并不67例1、在區(qū)間[4,10]上任意拋擲一個質(zhì)點，用表示這個質(zhì)點與原點的距離，則