拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課件

§2.4.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（1）X§2.4.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（1）X1定義：在平面內(nèi),與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線.拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程準(zhǔn)線方程焦點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)y2=2px(p>0)x2=-2py(p>0)一、溫故知新定義：在平面內(nèi),與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的2范圍1、由拋物線y2=2px（p>0）有所以拋物線的范圍為二、探索新知如何研究拋物線y2=2px（p>0）的幾何性質(zhì)?拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時(shí)，︱y︱也增大，這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸。范圍1、由拋物線y2=2px（p>0）有所以拋物線的范圍3對(duì)稱性2、關(guān)于x軸對(duì)稱即點(diǎn)(x,-y)也在拋物線上,故拋物線y2=2px(p>0)關(guān)于x軸對(duì)稱.則(-y)2=2px若點(diǎn)(x,y)在拋物線上,即滿足y2=2px，對(duì)稱性2、關(guān)于x軸即點(diǎn)(x,-y)也在拋物線上,故拋4頂點(diǎn)3、定義：拋物線與它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。y2=2px(p>0)中，令y=0,則x=0.即：拋物線y2=2px(p>0)的頂點(diǎn)（0，0）.注:這與橢圓有四個(gè)頂點(diǎn),雙曲線有兩個(gè)頂點(diǎn)不同。頂點(diǎn)3、定義：拋物線與它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的5離心率4、P(x,y)拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離之比，叫做拋物線的離心率。由定義知，拋物線y2=2px(p>0)的離心率為e=1.

下面請(qǐng)大家得出其余三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的幾何性質(zhì)。離心率4、P(x,y)拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距6（二）歸納：拋物線的幾何性質(zhì)圖形方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍頂點(diǎn)對(duì)稱軸elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤

0x∈R(0,0)x軸y軸1（二）歸納：拋物線的幾何性質(zhì)圖形方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍頂點(diǎn)對(duì)7特點(diǎn)：1.拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無(wú)限延伸,但它沒(méi)有漸近線;2.拋物線只有一條對(duì)稱軸,沒(méi)有對(duì)稱中心;3.拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線;4.拋物線的離心率是確定的,為1;思考：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對(duì)拋物線開(kāi)口的影響.P(x,y)P越大,開(kāi)口越開(kāi)闊特點(diǎn)：1.拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無(wú)限延伸,但8補(bǔ)充（1）通徑：通過(guò)焦點(diǎn)且垂直對(duì)稱軸的直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的通徑。|PF|=x0+p/2xOyFP通徑的長(zhǎng)度：2PP越大,開(kāi)口越開(kāi)闊（2）焦半徑：連接拋物線任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的線段叫做拋物線的焦半徑。焦半徑公式：（標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的幾何意義）利用拋物線的頂點(diǎn)、通徑的兩個(gè)端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫(huà)出反映拋物線基本特征的草圖。補(bǔ)充（1）通徑：通過(guò)焦點(diǎn)且垂直對(duì)稱軸的直線，|PF|=x0+9

因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（２，），解:所以設(shè)方程為：又因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上：所以：因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：

例１：已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（２，），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.三、典例精析坐標(biāo)軸當(dāng)焦點(diǎn)在x(y)軸上,開(kāi)口方向不定時(shí),設(shè)為y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免討論因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)10練習(xí)一：1、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上，那么拋物線通徑長(zhǎng)是

.2、已知點(diǎn)A（-2，3）與拋物線的焦點(diǎn)的距離是5，則P=

。4練習(xí)一：1、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)在直線11四、歸納總結(jié)拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無(wú)限延伸，但沒(méi)有漸近線；拋物線只有一條對(duì)稱軸,沒(méi)有對(duì)稱中心;拋物線的離心率是確定的，等于１；拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線；拋物線的通徑為2P,2p越大，拋物線的張口越大.1、范圍：2、對(duì)稱性：3、頂點(diǎn)：4、離心率：5、通徑：四、歸納總結(jié)拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無(wú)限延伸12§2.4.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（2）X§2.4.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（2）X13一、直線與拋物線位置關(guān)系種類xyO1、相離；2、相切；3、相交（一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)）與雙曲線的情況一樣一、直線與拋物線位置關(guān)系種類xyO1、相離；2、相切；3、相14xyO二、判斷方法探討1、直線與拋物線相離，無(wú)交點(diǎn)。例：判斷直線y=x+2與拋物線y2=4x的位置關(guān)系計(jì)算結(jié)果：得到一元二次方程，需計(jì)算判別式。相離。xyO二、判斷方法探討1、直線與拋物線相離，無(wú)交點(diǎn)。例：判斷15xyO2、直線與拋物線相切，交與一點(diǎn)。例：判斷直線y=x+1與拋物線y2=4x的位置關(guān)系計(jì)算結(jié)果：得到一元二次方程，需計(jì)算判別式。相切。二、判斷方法探討xyO2、直線與拋物線相切，交與一點(diǎn)。例：判斷直線y=16xyO3、直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，相交與一點(diǎn)。例：判斷直線y=6與拋物線y2=4x的位置關(guān)系計(jì)算結(jié)果：得到一元一次方程，容易解出交點(diǎn)坐標(biāo)二、判斷方法探討xyO3、直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，相交與一點(diǎn)。例：判斷直線17xyO例：判斷直線y=x-1與拋物線y2=4x的位置關(guān)系計(jì)算結(jié)果：得到一元二次方程，需計(jì)算判別式。相交。4、直線與拋物線的對(duì)稱軸不平行，相交與兩點(diǎn)。二、判斷方法探討xyO例：判斷直線y=x-1與計(jì)算結(jié)果：得到一元二次18三、判斷直線與拋物線位置關(guān)系的操作程序（一）把直線方程代入拋物線方程得到一元一次方程得到一元二次方程直線與拋物線的對(duì)稱軸平行（重合）相交（一個(gè)交點(diǎn)）計(jì)算判別式>0=0<0相交相切相離三、判斷直線與拋物線位置關(guān)系的操作程序（一）把直線方程代入拋19幾何畫(huà)板演示幾何畫(huà)板演示20①①①①21①①①①①①22①①23拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課件24xyOFABB’A’例2.斜率為1的直線L經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng).y2=4x解法一:由已知得拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),所以直線AB的方程為y=x-1xyOFABB’A’例2.斜率為1的直線L經(jīng)過(guò)拋物線25xyOFABB’A’例2.斜率為1的直線L經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng).y2=4x解法二:由題意可知,xyOFABB’A’例2.斜率為1的直線L經(jīng)過(guò)拋物線26分析：運(yùn)用拋物線的定義和平面幾何知識(shí)來(lái)證比較簡(jiǎn)捷．變式：過(guò)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F任作一條直線m，交這拋物線于A、B兩點(diǎn)，求證：以AB為直徑的圓和這拋物線的準(zhǔn)線相切．分析：運(yùn)用拋物線的定義和平面幾何知識(shí)來(lái)證比較簡(jiǎn)捷．變式：27證明：如圖．

所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EH⊥l，因而圓E和準(zhǔn)線l相切．設(shè)AB的中點(diǎn)為E，過(guò)A、E、B分別向準(zhǔn)線l引垂線AD，EH，BC，垂足為D、H、C，則｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜=2｜EH｜證明：如圖．所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EH⊥l28課堂練習(xí):1.過(guò)拋物線的焦點(diǎn),作傾斜角為的直線,則被拋物線截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)________2.垂直于x軸的直線交拋物線y2=4x于A、B,且|AB|=4,求直線AB的方程.y2=8xX=3課堂練習(xí):y2=8xX=329

點(diǎn)評(píng)：本題用了分類討論的方法.若先用數(shù)形結(jié)合，找出符合條件的直線的條數(shù)，就不會(huì)造成漏解。點(diǎn)評(píng)：本題用了分類討論的方法.若先用數(shù)形結(jié)合，找30§2.4.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（3）X§2.4.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（3）X31拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課件32拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課件33拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課件34xyBAFO解：因?yàn)橹本€AB過(guò)定點(diǎn)F且不與x軸平行,設(shè)直線AB的方程為xyBAFO解：因?yàn)橹本€AB過(guò)定點(diǎn)F且不與x軸平35xyBAFOxyBAFO36xyBAFOxyBAFO37拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課件38例3、已知拋物線y2=2x,過(guò)Q(2,1)作直線與拋物線交于A、B，求AB中點(diǎn)的軌跡方程..F解：例3、已知拋物線y2=2x,過(guò)Q(2,1)作直線與拋物線交于39例4.已知拋物線y=x2,動(dòng)弦AB的長(zhǎng)為2，求AB中點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值。.xoyFABMCND解：例4.已知拋物線y=x2,動(dòng)弦AB的長(zhǎng)為2，求AB中點(diǎn)縱坐標(biāo)40拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課件41§2.4.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（1）X§2.4.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（1）X42定義：在平面內(nèi),與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線.拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程準(zhǔn)線方程焦點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)y2=2px(p>0)x2=-2py(p>0)一、溫故知新定義：在平面內(nèi),與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)的43范圍1、由拋物線y2=2px（p>0）有所以拋物線的范圍為二、探索新知如何研究拋物線y2=2px（p>0）的幾何性質(zhì)?拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時(shí)，︱y︱也增大，這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸。范圍1、由拋物線y2=2px（p>0）有所以拋物線的范圍44對(duì)稱性2、關(guān)于x軸對(duì)稱即點(diǎn)(x,-y)也在拋物線上,故拋物線y2=2px(p>0)關(guān)于x軸對(duì)稱.則(-y)2=2px若點(diǎn)(x,y)在拋物線上,即滿足y2=2px，對(duì)稱性2、關(guān)于x軸即點(diǎn)(x,-y)也在拋物線上,故拋45頂點(diǎn)3、定義：拋物線與它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。y2=2px(p>0)中，令y=0,則x=0.即：拋物線y2=2px(p>0)的頂點(diǎn)（0，0）.注:這與橢圓有四個(gè)頂點(diǎn),雙曲線有兩個(gè)頂點(diǎn)不同。頂點(diǎn)3、定義：拋物線與它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的46離心率4、P(x,y)拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離之比，叫做拋物線的離心率。由定義知，拋物線y2=2px(p>0)的離心率為e=1.

下面請(qǐng)大家得出其余三種標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的幾何性質(zhì)。離心率4、P(x,y)拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距47（二）歸納：拋物線的幾何性質(zhì)圖形方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍頂點(diǎn)對(duì)稱軸elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤

0x∈R(0,0)x軸y軸1（二）歸納：拋物線的幾何性質(zhì)圖形方程焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍頂點(diǎn)對(duì)48特點(diǎn)：1.拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無(wú)限延伸,但它沒(méi)有漸近線;2.拋物線只有一條對(duì)稱軸,沒(méi)有對(duì)稱中心;3.拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線;4.拋物線的離心率是確定的,為1;思考：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對(duì)拋物線開(kāi)口的影響.P(x,y)P越大,開(kāi)口越開(kāi)闊特點(diǎn)：1.拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無(wú)限延伸,但49補(bǔ)充（1）通徑：通過(guò)焦點(diǎn)且垂直對(duì)稱軸的直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的通徑。|PF|=x0+p/2xOyFP通徑的長(zhǎng)度：2PP越大,開(kāi)口越開(kāi)闊（2）焦半徑：連接拋物線任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的線段叫做拋物線的焦半徑。焦半徑公式：（標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的幾何意義）利用拋物線的頂點(diǎn)、通徑的兩個(gè)端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫(huà)出反映拋物線基本特征的草圖。補(bǔ)充（1）通徑：通過(guò)焦點(diǎn)且垂直對(duì)稱軸的直線，|PF|=x0+50

因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（２，），解:所以設(shè)方程為：又因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上：所以：因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：

例１：已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（２，），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.三、典例精析坐標(biāo)軸當(dāng)焦點(diǎn)在x(y)軸上,開(kāi)口方向不定時(shí),設(shè)為y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免討論因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)51練習(xí)一：1、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上，那么拋物線通徑長(zhǎng)是

.2、已知點(diǎn)A（-2，3）與拋物線的焦點(diǎn)的距離是5，則P=

。4練習(xí)一：1、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)在直線52四、歸納總結(jié)拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無(wú)限延伸，但沒(méi)有漸近線；拋物線只有一條對(duì)稱軸,沒(méi)有對(duì)稱中心;拋物線的離心率是確定的，等于１；拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，一條準(zhǔn)線；拋物線的通徑為2P,2p越大，拋物線的張口越大.1、范圍：2、對(duì)稱性：3、頂點(diǎn)：4、離心率：5、通徑：四、歸納總結(jié)拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無(wú)限延伸53§2.4.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（2）X§2.4.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（2）X54一、直線與拋物線位置關(guān)系種類xyO1、相離；2、相切；3、相交（一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)）與雙曲線的情況一樣一、直線與拋物線位置關(guān)系種類xyO1、相離；2、相切；3、相55xyO二、判斷方法探討1、直線與拋物線相離，無(wú)交點(diǎn)。例：判斷直線y=x+2與拋物線y2=4x的位置關(guān)系計(jì)算結(jié)果：得到一元二次方程，需計(jì)算判別式。相離。xyO二、判斷方法探討1、直線與拋物線相離，無(wú)交點(diǎn)。例：判斷56xyO2、直線與拋物線相切，交與一點(diǎn)。例：判斷直線y=x+1與拋物線y2=4x的位置關(guān)系計(jì)算結(jié)果：得到一元二次方程，需計(jì)算判別式。相切。二、判斷方法探討xyO2、直線與拋物線相切，交與一點(diǎn)。例：判斷直線y=57xyO3、直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，相交與一點(diǎn)。例：判斷直線y=6與拋物線y2=4x的位置關(guān)系計(jì)算結(jié)果：得到一元一次方程，容易解出交點(diǎn)坐標(biāo)二、判斷方法探討xyO3、直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，相交與一點(diǎn)。例：判斷直線58xyO例：判斷直線y=x-1與拋物線y2=4x的位置關(guān)系計(jì)算結(jié)果：得到一元二次方程，需計(jì)算判別式。相交。4、直線與拋物線的對(duì)稱軸不平行，相交與兩點(diǎn)。二、判斷方法探討xyO例：判斷直線y=x-1與計(jì)算結(jié)果：得到一元二次59三、判斷直線與拋物線位置關(guān)系的操作程序（一）把直線方程代入拋物線方程得到一元一次方程得到一元二次方程直線與拋物線的對(duì)稱軸平行（重合）相交（一個(gè)交點(diǎn)）計(jì)算判別式>0=0<0相交相切相離三、判斷直線與拋物線位置關(guān)系的操作程序（一）把直線方程代入拋60幾何畫(huà)板演示幾何畫(huà)板演示61①①①①62①①①①①①63①①64拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課件65xyOFABB’A’例2.斜率為1的直線L經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng).y2=4x解法一:由已知得拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),所以直線AB的方程為y=x-1xyOFABB’A’例2.斜率為1的直線L經(jīng)過(guò)拋物線66xyOFABB’A’例2.斜率為1的直線L經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng).y2=4x解法二:由題意可知,xyOFABB’A’例2.斜率為1的直線L經(jīng)過(guò)拋物線67分析：運(yùn)用拋物線的定義和平面幾何知識(shí)來(lái)證比較簡(jiǎn)捷．變式：過(guò)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)F任作一條直線m，交這拋物線于A、B兩點(diǎn)，求證：以AB為直徑的圓和這拋物線的準(zhǔn)線相切．分析：運(yùn)用拋物線的定義和平面幾何知識(shí)來(lái)證比較簡(jiǎn)捷．變式：68證明：如圖．