風(fēng)險(xiǎn)理論第十一講課件

長(zhǎng)期風(fēng)險(xiǎn)模型調(diào)節(jié)系數(shù)1長(zhǎng)期風(fēng)險(xiǎn)模型調(diào)節(jié)系數(shù)1Cramer－Lunderberg破產(chǎn)論當(dāng)初始準(zhǔn)備金u充分大時(shí)，保險(xiǎn)公司在經(jīng)營“小索賠”情形的保險(xiǎn)業(yè)務(wù)時(shí)，破產(chǎn)不易發(fā)生。所謂“小索賠”的含義由下述假定給出：假定：對(duì)單個(gè)索賠量分布C，為其矩母函數(shù)。（1）C的矩母函數(shù)至少在包含原點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)存在（2）方程存在正解，記此解為R,并稱R為調(diào)節(jié)系數(shù)(adjustmentcoefficent)。

（1）2Cramer－Lunderberg破產(chǎn)論當(dāng)初始準(zhǔn)備金u充分大幾點(diǎn)注記1、由于MC(r)是一個(gè)下凸函數(shù)，故R若存在，則唯一。Ry＝lMC（r）y＝l+cr3幾點(diǎn)注記1、由于MC(r)是一個(gè)下凸函數(shù)，故R若存在，則唯定理1設(shè)泊松盈余過程中理賠額變量X的矩母函數(shù)的定義域?yàn)?0,g),g≤∞。在假設(shè)c>lp1,方程(1)有唯一的正根R∈(0,g),

。證明：令下面證明g(r)具有以下性質(zhì):4定理1設(shè)泊松盈余過程中理賠額變量X的矩母函數(shù)的定義域?yàn)?事實(shí)上若r<∞，則由MX(r)的定義知從而有若r＝∞，則由有5事實(shí)上若r<∞，則由MX(r)的定義知最后有即g(r)是下凸函數(shù)，結(jié)論得證。6最后有即g(r)是下凸函數(shù)，結(jié)論得證。62、調(diào)節(jié)系數(shù)的含義。由公式（1）有72、調(diào)節(jié)系數(shù)的含義。73、將代入方程（1）有這個(gè)調(diào)節(jié)系數(shù)方程與泊松盈余過程的泊松參數(shù)無關(guān)，在使用上有其方便之處。

（2）83、將代入方程（1）有這例1:設(shè)復(fù)合泊松分布的個(gè)體理賠額C服從參數(shù)為a的指數(shù)分布，試求相應(yīng)的調(diào)節(jié)系數(shù)。解:由于9例1:設(shè)復(fù)合泊松分布的個(gè)體理賠額C服從參數(shù)為a的指數(shù)分布，試1、方程(1)和(2)往往很難得到調(diào)節(jié)系數(shù)的顯式解。在不能獲得R的精確值時(shí)，對(duì)R的可能取值范圍作出估計(jì)也是很有意義的。

2、調(diào)節(jié)系數(shù)滿足不等式R的求解101、方程(1)和(2)往往很難得到調(diào)節(jié)系數(shù)的顯式解。在不能獲從而11從而113、若個(gè)體理賠額有上界M，即C≤M，則有證明:首先證明不等式事實(shí)上，從ex的泰勒展開式知，對(duì)于任何0≤x≤M，有123、若個(gè)體理賠額有上界M，即C≤M，則有證明:首先證明不等式根據(jù)方程（1）13根據(jù)方程（1）13因此有14因此有14：例2設(shè)C～(5000,0.8;15000,0.2)附加系數(shù)q＝0.2，試估計(jì)R。解：q=0.2,代入方程得15：例2設(shè)C～(5000,0.8;15000,0.2由于根據(jù)R的上界估計(jì)式有請(qǐng)同學(xué)們估計(jì)R的下界。16由于根據(jù)R的上界估計(jì)式有請(qǐng)同學(xué)們估計(jì)R的下界。16使用Matlab軟件計(jì)算調(diào)節(jié)系數(shù)的近似解為R＝3.69×10－5。17使用Matlab軟件計(jì)算調(diào)節(jié)系數(shù)的近似解為17例3：假設(shè)個(gè)體索賠分布X服從參數(shù)為a，b的伽瑪分布，其密度函數(shù)為設(shè)安全附加系數(shù)為q，求調(diào)節(jié)系數(shù)R。

當(dāng)a＝2，b＝1，l＝0.1，q＝0.2時(shí)，使用Matlab軟件計(jì)算得到R＝0.1133。程序語句：solve('1+(1+0.2)*2*x=(1/(1-x))^2')18例3：假設(shè)個(gè)體索賠分布X服從參數(shù)為a，b的伽瑪分布，其密度函注：對(duì)于大多數(shù)調(diào)節(jié)系數(shù)方程，通常使用數(shù)值法求解獲得調(diào)節(jié)系數(shù)。19注：對(duì)于大多數(shù)調(diào)節(jié)系數(shù)方程，通常使用數(shù)值法求解獲得調(diào)節(jié)系數(shù)。Cramer定理2：存在正常數(shù)C，使得證明思路：記表示初始盈余為u，保險(xiǎn)公司永不破產(chǎn)的概率，也稱為生存概率首先，根據(jù)首次索賠發(fā)生時(shí)刻T1和首次索賠額的大小，對(duì)生存概率應(yīng)用全概率公式，得20Cramer定理2：存在正常數(shù)C，使得證明思路：記表示初始盈破產(chǎn)概率的精確表達(dá)式定理3：證明見教材。定理4：破產(chǎn)概率與調(diào)節(jié)系數(shù)21破產(chǎn)概率的精確表達(dá)式破產(chǎn)概率與調(diào)節(jié)系數(shù)21例4：假設(shè)個(gè)別理賠額的分布為指數(shù)分布，參數(shù)為a，計(jì)算破產(chǎn)概率。解：當(dāng)個(gè)別理賠額的分布是指數(shù)分布時(shí)，下面考慮U(T)的分布，假如破產(chǎn)發(fā)生在時(shí)刻，令u’表示破產(chǎn)時(shí)刻前一個(gè)瞬間的盈余U(T－)，因?yàn)橄乱粋€(gè)瞬間時(shí)刻破產(chǎn)發(fā)生，所以破產(chǎn)時(shí)刻發(fā)生的理賠額必然大于u’，對(duì)于任意的y，若－U(T)>y發(fā)生，則破產(chǎn)時(shí)刻的理賠額必大于u’+y,由此事件－U(T)>y的條件概率為

22例4：假設(shè)個(gè)別理賠額的分布為指數(shù)分布，參數(shù)為a，計(jì)算破產(chǎn)概率所以在T<∞條件下，－U(T)仍為參數(shù)a的指數(shù)分布

根據(jù)定理323所以在T<∞條件下，－U(T)仍為參數(shù)a的指數(shù)分布根據(jù)定理例5:對(duì)泊松盈余過程，為使破產(chǎn)概率低于a（例如a=0.01），保險(xiǎn)人的安全附加系數(shù)q至少應(yīng)定為多少。解：由調(diào)節(jié)系數(shù)的定義因此24例5:對(duì)泊松盈余過程例6：已知破產(chǎn)概率為，求R的值

25例6：已知破產(chǎn)概率為解：由于代入得26解：由于26例7：設(shè)盈余過程中理賠過程是復(fù)合泊松過程，個(gè)別理賠額C的密度函數(shù)

又設(shè)調(diào)節(jié)系數(shù)R滿足方程

則安全附加系數(shù)q等于

27例7：設(shè)盈余過程中理賠過程是復(fù)合泊松過程，個(gè)別理賠額C的密度解：由C的密度函數(shù)可得

故其矩母函數(shù)為

由調(diào)節(jié)系數(shù)方程和28解：由C的密度函數(shù)可得故其矩母函數(shù)為由調(diào)節(jié)系數(shù)方程和28對(duì)比知因此29對(duì)比知因此29在一般情況下，破產(chǎn)概率的精確值很難計(jì)算，下面定理給出了近似表達(dá)式定理5(Cramer近似)：定理6（Tijms的近似）其中其中30在一般情況下，破產(chǎn)概率的精確值很難計(jì)算，下面定理給出了近似表例8：個(gè)別理賠額的分布服從gamma分布，安全系數(shù)等于2，計(jì)算Tijms的近似破產(chǎn)概率。解：X的矩母函數(shù)等于

調(diào)節(jié)系數(shù)方程為解得R＝1/4。由計(jì)算得31例8：個(gè)別理賠額的分布服從gamma分布，解：X的矩母函數(shù)等因此，Tijms的近似破產(chǎn)概率為由計(jì)算出所以32因此，Tijms的近似破產(chǎn)概率為由離散情形的終極破產(chǎn)概率離散情形Cramer定理：當(dāng)u>0時(shí)其中調(diào)節(jié)系數(shù)為滿足下面方程的解33離散情形的終極破產(chǎn)概率離散情形Cramer定理：當(dāng)u>0時(shí)其注：34注：34例9:考慮一個(gè)離散時(shí)間的盈余過程Un，令Gn=Un-Un-1,假設(shè)(1)G1,……Gn獨(dú)立同分布(2)P(Gn=-1)=P(Gn=0)=1/6,P(Gn=1)=2/3求調(diào)節(jié)系數(shù)。35例9:考慮一個(gè)離散時(shí)間的盈余過程Un，令Gn=Un-Un-1解36解363737長(zhǎng)期風(fēng)險(xiǎn)模型調(diào)節(jié)系數(shù)38長(zhǎng)期風(fēng)險(xiǎn)模型調(diào)節(jié)系數(shù)1Cramer－Lunderberg破產(chǎn)論當(dāng)初始準(zhǔn)備金u充分大時(shí)，保險(xiǎn)公司在經(jīng)營“小索賠”情形的保險(xiǎn)業(yè)務(wù)時(shí)，破產(chǎn)不易發(fā)生。所謂“小索賠”的含義由下述假定給出：假定：對(duì)單個(gè)索賠量分布C，為其矩母函數(shù)。（1）C的矩母函數(shù)至少在包含原點(diǎn)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)存在（2）方程存在正解，記此解為R,并稱R為調(diào)節(jié)系數(shù)(adjustmentcoefficent)。

（1）39Cramer－Lunderberg破產(chǎn)論當(dāng)初始準(zhǔn)備金u充分大幾點(diǎn)注記1、由于MC(r)是一個(gè)下凸函數(shù)，故R若存在，則唯一。Ry＝lMC（r）y＝l+cr40幾點(diǎn)注記1、由于MC(r)是一個(gè)下凸函數(shù)，故R若存在，則唯定理1設(shè)泊松盈余過程中理賠額變量X的矩母函數(shù)的定義域?yàn)?0,g),g≤∞。在假設(shè)c>lp1,方程(1)有唯一的正根R∈(0,g),

。證明：令下面證明g(r)具有以下性質(zhì):41定理1設(shè)泊松盈余過程中理賠額變量X的矩母函數(shù)的定義域?yàn)?事實(shí)上若r<∞，則由MX(r)的定義知從而有若r＝∞，則由有42事實(shí)上若r<∞，則由MX(r)的定義知最后有即g(r)是下凸函數(shù)，結(jié)論得證。43最后有即g(r)是下凸函數(shù)，結(jié)論得證。62、調(diào)節(jié)系數(shù)的含義。由公式（1）有442、調(diào)節(jié)系數(shù)的含義。73、將代入方程（1）有這個(gè)調(diào)節(jié)系數(shù)方程與泊松盈余過程的泊松參數(shù)無關(guān)，在使用上有其方便之處。

（2）453、將代入方程（1）有這例1:設(shè)復(fù)合泊松分布的個(gè)體理賠額C服從參數(shù)為a的指數(shù)分布，試求相應(yīng)的調(diào)節(jié)系數(shù)。解:由于46例1:設(shè)復(fù)合泊松分布的個(gè)體理賠額C服從參數(shù)為a的指數(shù)分布，試1、方程(1)和(2)往往很難得到調(diào)節(jié)系數(shù)的顯式解。在不能獲得R的精確值時(shí)，對(duì)R的可能取值范圍作出估計(jì)也是很有意義的。

2、調(diào)節(jié)系數(shù)滿足不等式R的求解471、方程(1)和(2)往往很難得到調(diào)節(jié)系數(shù)的顯式解。在不能獲從而48從而113、若個(gè)體理賠額有上界M，即C≤M，則有證明:首先證明不等式事實(shí)上，從ex的泰勒展開式知，對(duì)于任何0≤x≤M，有493、若個(gè)體理賠額有上界M，即C≤M，則有證明:首先證明不等式根據(jù)方程（1）50根據(jù)方程（1）13因此有51因此有14：例2設(shè)C～(5000,0.8;15000,0.2)附加系數(shù)q＝0.2，試估計(jì)R。解：q=0.2,代入方程得52：例2設(shè)C～(5000,0.8;15000,0.2由于根據(jù)R的上界估計(jì)式有請(qǐng)同學(xué)們估計(jì)R的下界。53由于根據(jù)R的上界估計(jì)式有請(qǐng)同學(xué)們估計(jì)R的下界。16使用Matlab軟件計(jì)算調(diào)節(jié)系數(shù)的近似解為R＝3.69×10－5。54使用Matlab軟件計(jì)算調(diào)節(jié)系數(shù)的近似解為17例3：假設(shè)個(gè)體索賠分布X服從參數(shù)為a，b的伽瑪分布，其密度函數(shù)為設(shè)安全附加系數(shù)為q，求調(diào)節(jié)系數(shù)R。

當(dāng)a＝2，b＝1，l＝0.1，q＝0.2時(shí)，使用Matlab軟件計(jì)算得到R＝0.1133。程序語句：solve('1+(1+0.2)*2*x=(1/(1-x))^2')55例3：假設(shè)個(gè)體索賠分布X服從參數(shù)為a，b的伽瑪分布，其密度函注：對(duì)于大多數(shù)調(diào)節(jié)系數(shù)方程，通常使用數(shù)值法求解獲得調(diào)節(jié)系數(shù)。56注：對(duì)于大多數(shù)調(diào)節(jié)系數(shù)方程，通常使用數(shù)值法求解獲得調(diào)節(jié)系數(shù)。Cramer定理2：存在正常數(shù)C，使得證明思路：記表示初始盈余為u，保險(xiǎn)公司永不破產(chǎn)的概率，也稱為生存概率首先，根據(jù)首次索賠發(fā)生時(shí)刻T1和首次索賠額的大小，對(duì)生存概率應(yīng)用全概率公式，得57Cramer定理2：存在正常數(shù)C，使得證明思路：記表示初始盈破產(chǎn)概率的精確表達(dá)式定理3：證明見教材。定理4：破產(chǎn)概率與調(diào)節(jié)系數(shù)58破產(chǎn)概率的精確表達(dá)式破產(chǎn)概率與調(diào)節(jié)系數(shù)21例4：假設(shè)個(gè)別理賠額的分布為指數(shù)分布，參數(shù)為a，計(jì)算破產(chǎn)概率。解：當(dāng)個(gè)別理賠額的分布是指數(shù)分布時(shí)，下面考慮U(T)的分布，假如破產(chǎn)發(fā)生在時(shí)刻，令u’表示破產(chǎn)時(shí)刻前一個(gè)瞬間的盈余U(T－)，因?yàn)橄乱粋€(gè)瞬間時(shí)刻破產(chǎn)發(fā)生，所以破產(chǎn)時(shí)刻發(fā)生的理賠額必然大于u’，對(duì)于任意的y，若－U(T)>y發(fā)生，則破產(chǎn)時(shí)刻的理賠額必大于u’+y,由此事件－U(T)>y的條件概率為

59例4：假設(shè)個(gè)別理賠額的分布為指數(shù)分布，參數(shù)為a，計(jì)算破產(chǎn)概率所以在T<∞條件下，－U(T)仍為參數(shù)a的指數(shù)分布

根據(jù)定理360所以在T<∞條件下，－U(T)仍為參數(shù)a的指數(shù)分布根據(jù)定理例5:對(duì)泊松盈余過程，為使破產(chǎn)概率低于a（例如a=0.01），保險(xiǎn)人的安全附加系數(shù)q至少應(yīng)定為多少。解：由調(diào)節(jié)系數(shù)的定義因此61例5:對(duì)泊松盈余過程例6：已知破產(chǎn)概率為，求R的值

62例6：已知破產(chǎn)概率為解：由于代入得63解：由于26例7：設(shè)盈余過程中理賠過程是復(fù)合泊松過程，個(gè)別理賠額C的密度函數(shù)

又設(shè)調(diào)節(jié)系數(shù)R滿足方程

則安全附加系數(shù)q等于

64例7：設(shè)盈余過程中理賠過程是復(fù)合泊松過程，個(gè)別理賠額C的密度解：由C的密度函數(shù)可得

故其矩母函數(shù)為

由調(diào)節(jié)系數(shù)方程和65解：由C的密度函數(shù)可得故其矩母函數(shù)為