初高中數(shù)學(xué)銜接資料整理教材課件

初高中數(shù)學(xué)銜接教材現(xiàn)有初高中數(shù)學(xué)知識(shí)存在以下“脫節(jié)”立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運(yùn)算還在用。因式分解初中一般只限于二次項(xiàng)且系數(shù)為“1”的分解，對(duì)系數(shù)不為“1”的涉及不多，而且對(duì)三次或高次多項(xiàng)式因式分解幾乎不作要求，但高中教材許多化簡(jiǎn)求值都要用到,如解方程、不等式等。二次根式中對(duì)分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函數(shù)、不等式常用的解題技巧。初中教材對(duì)二次函數(shù)要求較低，學(xué)生處于了解水平，但二次函數(shù)卻是高中貫穿始終的重要內(nèi)容。配方、作簡(jiǎn)圖、求值域、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、求最大、最小值，研究閉區(qū)間上函數(shù)最值等等是高中數(shù)學(xué)必須掌握的基本題型與常用方法。二次函數(shù)、二次不等式與二次方程的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）在初中不作要求，此類題目?jī)H限于簡(jiǎn)單常規(guī)運(yùn)算和難度不大的應(yīng)用題型，而在高中二次函數(shù)、二次不等式與二次方程相互轉(zhuǎn)化被視為重要內(nèi)容，高中教材卻未安排專門(mén)的講授。圖像的對(duì)稱、平移變換，初中只作簡(jiǎn)單介紹，而在高中講授函數(shù)后，對(duì)其圖像的上、下；左、右平移，兩個(gè)函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)，軸、直線的對(duì)稱問(wèn)題必須掌握。含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中這部分內(nèi)容視為重難點(diǎn)。方程、不等式、函數(shù)的綜合考查常成為高考綜合題。幾何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行線分線段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都沒(méi)有學(xué)習(xí)，而高中都要涉及。另外，像配方法、換元法、待定系數(shù)法初中教學(xué)大大弱化，不利于高中知識(shí)的講授。初高中數(shù)學(xué)銜接教材1目錄數(shù)與式的運(yùn)算絕對(duì)值乘法公式二次根式1.1.４

分式1．2 分解因式一元二次方程根的判別式2.1.22．22.2.12.2.2根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）二次函數(shù)二次函數(shù)

y＝ax2＋bx＋c的圖像和性質(zhì)

二次函數(shù)的三種表示方式2.2.3 二次函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用方程與不等式二元二次方程組解法一元二次不等式解法3．1 相似形3.1.1．平行線分線段成比例定理3.1.2

相似形三角形三角形的“四心”幾種特殊的三角形圓3.3.1

直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系１目錄數(shù)與式的運(yùn)算2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）二次函23.3.2

點(diǎn)的軌跡1.1

數(shù)與式的運(yùn)算1.１.1．絕對(duì)值絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值仍是零．即a

0,a,|a

|

0, a

0,a,a

0.絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：

a

b

表示在數(shù)軸上，數(shù)a

和數(shù)b

之間的距離．例

1解不等式：

x

1

x

3

＞4．解法一：由x

1

0

，得x

1；由x

3

0

，得x

3

；①若x

1，不等式可變?yōu)?x

1)

(x

3)

4

，即2x

4

＞4，解得

x＜0，又

x＜1，∴x＜0；②若1

x

2

，不等式可變?yōu)?x

1)

(x

3)

4

，即

1＞4，∴不存在滿足條件的

x；③若x

3

，不等式可變?yōu)?x

1)

(x

3)

4

，即2x

4

＞4，解得

x＞4．又

x≥3，\點(diǎn)

B之間的距離|PB|，即|PB|＝|x－3|．所以，不等式‘由|AB|＝2，可知點(diǎn)

P

在點(diǎn)

C(坐標(biāo)為

0)的左側(cè)、或點(diǎn)

P在點(diǎn)

D(坐標(biāo)為

4)的右側(cè)．x＜0，或

x＞4．練 習(xí)1．填空：（1）若

x

5

，則

x=

；若

x

4

，則

x=

.（2）如果

a

b

5

，且a

1，則

b＝

；若1

c

2

，則

c＝

.２3.3.2點(diǎn)的軌跡1.1數(shù)與式的運(yùn)算絕對(duì)值的代數(shù)意義：正3３2．選擇題：下 列 敘的是（）（A）若

a

b

，則a

b（C）若a

b

，則

a

b述 正 確（B）若

a

b

，則a

b（D）若

a

b

，則a

b3．化簡(jiǎn)：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．1.1.2.

乘法公式我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了下列一些乘法公式：平方差公式完全平方公式(a

b)(a

b)

a

2

b

2

；(a

b)2

a2

2ab

b2．我們還可以通過(guò)證明得到下列一些乘法公式：立方和公式立方差公式三數(shù)和平方公式兩數(shù)和立方公式兩數(shù)差立方公式(a

b)(a2

ab

b2

)

a3

b3

；(a

b)(a2

ab

b2

)

a3

b3

；(a

b

c)2

a2

b2

c2

2(ab

bc

ac)

；(a

b)3

a3

3a2b

3ab2

b3

；(a

b)3

a3

3a2b

3ab2

b3

．對(duì)上面列出的五個(gè)公式，有興趣的同學(xué)可以自己去證明．例

1 計(jì)算：(x

1)(x

1)(x

2

x

1)(x

2

x

1)

．解法一：原式=(x2

1)

(x2

1)2

x2

=(x2

1)(x4

x2

1)=

x61．解法二：原式=(x

1)(x2

x

1)(x

1)(x2

x

1)=(x3

1)(x3

1)=

x61．例

2 已知a

b

c

4

，

ab

bc

ac

4

，求a2

b2

c2

的值．解：

a2

b2

c2

(a

b

c)2

2(ab

bc

ac)

8

．練 習(xí)1．填空：2 21 1 1（1） a

b

(b

1a)

（）；9 4（2）(4m

2 3)2

16m2

4m

()

；)

．（3）(a

2b

c)2

a

2

4b2

c2

(2．選擇題：是

一

個(gè)

完

全

平

方

式

，則 k 等

于（（1

）

若 x2

1mx

k2）（A）

m2（B）

1m24（C）

1m23（D）1

m216３2．選擇題：的是（）述 正 確3．化簡(jiǎn)：|x－5|－|2x4４a2

b2

2a

4b

8a ， b 為 何 實(shí) 數(shù) ， 的 值（（ 2 ） 不 論）（A）總是正數(shù)（C）可以是零（B）總是負(fù)數(shù)（D）可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)1.1.3．二次根式一般地，形如

a

(a

0)

的代數(shù)式叫做二次根式．根號(hào)下含有字母、且不能夠開(kāi)得盡方的式子稱為無(wú)理式.

例如

3a

a2

b

2b

，

a2

b2

等是無(wú)理式，而2x2

2

x

1

，

x2

2xy

y2

，

a2

等是有理式．21．分母（子）有理化把分母（子）中的根號(hào)化去，叫做分母（子）有理化．為了進(jìn)行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如

2

與2，3a與a，3

與

x

，

a

x

b

y

與a6

與

3

6

，2

3

3

2

與2

3

3

2

，等等． 一般地，a

xx

b

y

，

a

x

b

與a

x

b

互為有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過(guò)程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過(guò)程在二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算過(guò)程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式

a

b

ab

(a

0,b

0)

；而對(duì)于二次根式的除法，通常先寫(xiě)成分式的形式，然后通過(guò)分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類似，應(yīng)在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類二次根式．2．二次根式

a2

的意義a

0,a2

a

a,a,a

0.例

1

將下列式子化為最簡(jiǎn)二次根式：（3）4x6y(x

0)

．（2）a2b(a

0)

；3b

；b

ab(a

0)

；（1）12b；解：

（1）

12b

2（2）a2b

a（3）4x6y

2

x3y

2x3 y

(x

0)．例

2 計(jì)算：

3

(3

3)

．解法一：3(3

3)

＝ 33

3＝４a2b22a4b8a ， b 為 5１3

(3

3)(3

3)(3

3)＝

33

39

3＝63(3

1)＝31

．解法二： 3(3

3)＝233

3＝33(3

1)＝13

1＝3

1(31)(

3

1)＝231

．例

3 試比較下列各組數(shù)的大小：（1）

12

11

和

11

10

； （2）26

4和2

2－

6.解：（1）∵

12

1112

11

(12

11)(12

11)

112

11，111

10

111

10

(11

12

1110)(11

10)

111

1011

10，又12

11

11

10

，∴12

11＜11

10

．,（2）∵22－6

22－6

(22－6)(22+

6)

21 22+

622+

6又4＞2

2，∴6＋4＞6＋2

2，∴26

4＜22－

6.例

4 化簡(jiǎn)：(

3

2)2004

(3

2)2005．解：(

3

＝(3

2)2004

(2)2004

(3

3

2)20052)2004

(＝

(320042)

(3

2)3

2)＝12004

(2)(3

3

2)＝

3

2

．例

5 化簡(jiǎn)：（1）

9

4

5

；x2（2） x2

1

2(0

x

1)

．解：（1）原式

5

45

4

(5)2

22

5

22

(2

5)2

2

5

5

2

．（2）原式=

(x

1)2

x

1

，x x∵

0

x

1，１3(33)(33)(33)＝36１∴

1

1

x

，x3

3

2,y

3

2所以，原式＝

1

x

．x2

，求3x2

5xy

3y2

的值

．例

6 已知x

解： ∵

x

y3

23

2

3

3

2

3

22

(

3

2)2

(

3

2)2

10

，xy

3

2

3

3

2

3

22

1

，∴

3x2

5xy

3y2

3(x

y)211xy

310211

289．練 習(xí)1．填空：（1）

11

33

＝；（2）若

(5

x)(

x

3)2

(

x

3)

5

x

，則x

的取值范圍是_

_ ；（3）424

654

396

2

150

；（4）若x

5

，則2x

1

x

1

x

1

x1

x

1

x

1 x

1

x

1．2．選擇題：等

式xxx

2 x

2成立的條件是（）（A）

x

2（C）

x

2（D）

0

x

23．若b

a21

1

a2a

1

（B）

x

0，求a

b

的值．4．比較大?。?－

3

5－

4（填“＞”，或“＜”）．1.1.４．分式B1．分式的意義形如

A

的式子，若

B中含有字母，且B

0

，則稱

A為分式．當(dāng)

M≠0

時(shí)，分B式

A

具有下列性質(zhì)：BA

A

M

；B B

MA

A

M

．B B

M１∴11x，332,y37上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì)．2．繁分式ac

d2mn

p像

b

，

m

n

p

這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例

1B若

5x

4

A

x(x

2) x x

2，求常數(shù)

A,

B

的值．解：

∵

A

B

A(x

2)

Bx

(A

B)x

2A

5x

4x x

2 x(x

2) x(x

2) x(x

2)，∴

A

B

5,2

A

4,解得 A

2,

B

3

．例

2 （1）試證：1 1n(n

1) n n

1

1

（其中

n是正整數(shù)）；1 11（2）計(jì)算：

1

2 2

3 9

10；（3）證明：對(duì)任意大于

1

的正整數(shù)n，

有1 112

3 3

4n(n

1)

2

1

．（1）證明：∵

1

1

(n1)

n

1n n

1 n(n

1) n(n

1)，∴1 1

1

n(n

1) n n

1（其中

n是正整數(shù)）成立．（2）解：由（1）可知1 111

2 2

39

10

(1

1)

(

1

1)

(1

1

)10 102 2 3 9 10

1

1＝9

．（3）證明：∵1 1 12

3 3

4 n(

n

1)

12 3 3 4 n n

1＝(

1

1)

(1

1

)

(

1

)1＝

12 n

1，又

n≥2，且

n是正整數(shù)，

1 ∴ 一定為正數(shù)，n＋1∴1 1 12

3 3

4 n(

n

1)

1＜ ．2例

3 設(shè)e

c

，且

e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求

e的值．a(chǎn)１上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì)．2．繁分式cd2mn8２解：在

2c2－5ac＋2a2＝0

兩邊同除以

a2，得2e2－5e＋2＝0，∴(2e－1)(e－2)＝0，1∴e＝ ＜1，舍去；或

e＝2．2∴e＝2．練 習(xí)1．填空題：對(duì)任意的正整數(shù)

n，1n(n

2)1(

1n n

2)；2．選擇題：若2x

y

2x

y

3，則xy＝（）（A）１（B）

54（C）

45（D）

65x

y3．正數(shù)x,

y

滿足x2

y2

2xy

，求

x

y

的值．1 1 1 14．計(jì)算

...1

2 2

3 3

4 99

100．習(xí)題

1．1

A 組1．解不等式：(2) x

3

x

2

7

；(1) x

1

3

；(3) x1

x1

6

．２．已知x

y

1，求x3

y3

3xy

的值．3．填空：（1）(2

3)18(2

3)19

＝

；（2）若

(1

a)2

(1

a)2

2

，則a

的取值范圍是

；（3）1 1 1 1 1

1

2 2

3 3

4

4

5

5

6．B 組1．填空：112 3（1）

a

，

b

，則3a2

ab3a2

5ab

2b2

；（2）若x2

xy

2y2

0

，則x2

3xy

y2x2

y2

；２解：在2c2－5ac＋2a2＝0兩邊同除以a2，得9３2．已知：

x

1

,

y

1

，求2 3yy的值．x

y x

yC 組1．選擇題：（ 1）若a

b

2

ab

b

a，則（（C）

a

b

0（）（A）

a

b2）（B）

a

b計(jì)算a

1a（D）

b

a

0等于（）（A）

a（B）

a（C）

a（D）

a2．解方程2(x2

1

)

3(x

1)

1

0

．1x21 113．計(jì)算：

1

3 2

4 3

5 9

11x

．4．試證：對(duì)任意的正整數(shù)

n，有1 111

2

3 2

3

4n(

n

1)(

n

2)1＜ ．41.1.1．絕對(duì)值1．（1）

5

；

4（2）

4

；

1或3

2．D3．3x－181.1.2．乘法公式（3）

4ab

2ac

4bc1．（1）

1

a

1

b3 22．（1）D（2）

1

,

12

4（2）A1.1.3．二次根式（2）

3

x

5 （3）

86（4）5

．1．（1）3

22．C3．14．＞1.1.4．分式1．122．B3． 2

14．

99100習(xí)題

1．1A

組1．（1）

x

2

或x

4 （2）－4＜x＜3 （3）x＜－3，或

x＞32．13．（1）

2

3（2）1

a

1（3）6

1B

組521．（1）

3 （2） ，或－7152．4．３2．已知：x1,y1，求yy的值．x101．（1）C （2）C1 222．x

1,x

24．提示：1 1C

組3．

36551]

1

[ n(n1)(n

2) 2

n(n

1) (n

1)(n

2)1．2 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法，另外還應(yīng)了解求根法及待定系數(shù)法．1．十字相乘法例

1 分解因式：（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3）

x2

(a

b)xy

aby2

； （4）

xy

1

x

y

．解：（1）如圖

1．2－1，將二次項(xiàng)

x2

分解成圖中的兩個(gè)

x的積，再將常數(shù)項(xiàng)2

分解成－1

與－2

的乘積，而圖中的對(duì)角線上的兩個(gè)數(shù)乘積的和為－3x，就是x－3x＋2

2

中的一次項(xiàng)，所以，有x－3x＋2

2＝(x－1)(x－2)．說(shuō)明：今后在分解與本例類似的二次三項(xiàng)式時(shí)，可以直接將圖

1．2－1

中的兩個(gè)

x用

1

來(lái)表示（如圖

1．2－2

所示）．４－1－2xx圖

1．2－1－1－211圖

1．2－2－2611圖

1．2－3－ay－byxx圖

1．2－41．（1）C （2）C1 222．x1,x11（2）由圖

1．2－3，得x＋4x－2

12＝(x－2)(x＋6)．（3）由圖

1．2－4，得x2

(a

b)xy

aby2

＝(x

ay)(x

by)（4）

xy

1

x

y

＝xy＋(x－y)－1＝(x－1)

(y+1)

（如圖

1．2－5

所示）．提取公因式法與分組分解法例

2 分解因式：（1）

x3

9

3x2

3x

； （2）

2x2

xy

y2

4x

5

y

6

．解：

（1）

x3

9

3x2

3x

=(x3

3x2

)

(3x

9)

=

x2

(x

3)

3(x

3)=(x

3)(x2

3)

．或x3

9

3x2

3x

＝(x3

3x2

3x

1)

8＝(x

1)3

8

＝(x

1)3

23＝[(x

1)

2][(x

1)

2

(x

1)

2

22]＝(x

3)(x2

3)．（2）

2x2

xy

y2

4x

5

y

6

=

2x2

(

y

4)x

y2

5

y

6=

2x2

(

y

4)x

(

y

2)(

y

3)

=(2x

y

2)(x

y

3)

．或2x2

xy

y2

4x

5

y

6

=(2x2

xy

y2

)

(4x

5

y)

6=(2x

y)(x

y)

(4x

5

y)

6=(2x

y

2)(x

y

3)

．關(guān)于

x的二次三項(xiàng)式

ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．1 2若關(guān)于

x的方程

ax2

bx

c

0(a

0)

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是

x

、

x

，則二次三項(xiàng)式ax2

bx

c(a

0)

就可分解為a(x

x

)(x

x

)

.1 2例

3 把下列關(guān)于

x的二次多項(xiàng)式分解因式：（1）

x2

2x

1； （2）

x2

4xy

4

y2

．解：

（1）令x2

2x

1=0，則解得x

1

2，x

1

2

，1 2∴

x2

2x

1=

x

(1

2)

x

(1

2)

=(x1

2)(x

1

2)

．５－11xy圖

1．2－5（2）由圖1．2－3，得x2(ab)xy12（2）令x2

4xy

4

y2

=0，則解得x

(2

2

2)

y

，

x

(2

2

2)

y

，1 1∴

x2

4xy

4

y2

=[x

2(1

2)

y][x

2(1

2)y]

．練 習(xí)1．選擇題：（）（C）

x

3y（D）

x

5y多項(xiàng)式2x2

xy

15

y2

的一個(gè)因式為（A）

2x

5

y （B）

x

3y2．分解因式：（1）x2＋6x＋8；（2）8a3－b3；（3）x2－2x－1；（4）

4(x

y

1)

y(

y

2x)

．習(xí)題

1．21．分解因式：（1）a3

1；（2）

4x413x2

9；（3）

b2

c2

2ab

2ac

2bc

；（4）

3x2

5xy

2

y2

x

9

y

4

．2．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：（1）

x2

5x

3；（2）

x2

22x

3；（3）

3x2

4xy

y2

； （4）(x2

2x)2

7(x2

2x)

12

．3．

ABC

三邊a

，

b

，

c

滿足a2

b2

c2

ab

bc

ca

，試判定ABC

的形狀．4．分解因式：x＋x－2

(a－a)．21.2

分解因式1．B2．（1）(x＋2)(x＋4)（3）(x1

2)(x

11．（1）

a

1a2

a

1（3）

b

c

b

c

2a

（2）(2a

b)(4a2

2ab

b2

)2) （4）(2

y)(2x

y

2)

．習(xí)題

1．2（2）

2x

32x

3x

1x

1（4）

3y

y

4x

2

y

1６（2）令x24xy4y2=0，則解得x132 2

2．（1）

x

5

13

x

5

13

；（2）

x

2

5

x

2

5

；3 3

（3）

3

x

2

7

y

x

2

7

y

；（4）

x

3(x

1)(x

1

5)(x

1

5)

．3．等邊三角形4．(x

a

1)(x

a)2.1 一元二次方程2.1.1

根的判別式我們知道，對(duì)于一元二次方程

ax＋bx＋c＝0（a≠02

），用配方法可以將其變形為2a 4a

2(x

b

)2

b

4ac

．2①因?yàn)?/p>

a≠0，所以，4a2＞0．于是（1）當(dāng)

b2－4ac＞0

時(shí)，方程①的右端是一個(gè)正數(shù)，因此，原方程有兩個(gè)不

相等的實(shí)數(shù)根x1，22a＝b

b2

4ac；（2）當(dāng)

b2－4ac＝0

時(shí)，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個(gè)等的實(shí)數(shù)根1 22ax＝x＝－b

；（3）當(dāng)

b2－4ac＜0

時(shí)，方程①的右端是一個(gè)負(fù)數(shù)，而方程①的左邊(x

b

)22a一定大于或等于零，因此，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．由此可知，一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情況可以由

b2－4ac來(lái)判定，我們把

b2－4ac叫做一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判別式，通常用符號(hào)“Δ”來(lái)表示．綜上所述，對(duì)于一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有（1）當(dāng)Δ＞0

時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，22a＝b

b2

4ac；（2）當(dāng)Δ＝0

時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根1 22ax＝x＝－b

；（3）當(dāng)Δ＜0

時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．例

1 判定下列關(guān)于

x的方程的根的情況（其中

a為常數(shù)），如果方程有實(shí)７2 2 2．（1）x514數(shù)根，寫(xiě)出方程的實(shí)數(shù)根．（1）x2－3x＋3＝0；（3）

x2－ax＋(a－1)＝0；（2）x2－ax－1＝0；（4）x2－2x＋a＝0．解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．（2）該方程的根的判別式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1

2 2a

a2

4 a

a2

4， x2

．（3）由于該方程的根的判別式為Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，所以，①當(dāng)

a＝2

時(shí)，Δ＝0，所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝1；②當(dāng)

a≠2

時(shí)，Δ＞0，

所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1＝1，x2＝a－1．（3）由于該方程的根的判別式為Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，所以①當(dāng)Δ＞0，即

4(1－a)

＞0，即

a＜1

時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1

11

a

， x2

11

a

；②當(dāng)Δ＝0，即

a＝1

時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x＝x＝1；21③當(dāng)Δ＜0，即

a＞1

時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．說(shuō)明：在第

3，4

小題中，方程的根的判別式的符號(hào)隨著

a的取值的變化而變化，于是，在解題過(guò)程中，需要對(duì)

a的取值情況進(jìn)行討論，這一方法叫做分類討論．分類討論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的方法，在今后的解題中會(huì)經(jīng)常地運(yùn)用這一方法來(lái)解決問(wèn)題．2.1.2 根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）若一元二次方程ax＋bx＋c＝02

（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：21 2 1 2ba如果

ax＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根分別是

x，x，那么

x＋x＝

，x·x1 2a＝

c

．這一關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理．21 2＋px＋q＝0，若

x，x

是其特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為

1

的一元二次方程

x兩根，由韋達(dá)定理可知８數(shù)根，寫(xiě)出方程的實(shí)數(shù)根．（2）x2－ax－1＝0；解：（1）15即x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，1 2所以，方程

x＋px＋q＝0

可化為

x－(x＋x)程

x2 2 2＋px＋q＝0

的兩根，出

k的值，再由方程解出另一個(gè)根．但由于我們學(xué)習(xí)了韋達(dá)定理，又可以利用韋達(dá)定理來(lái)解題，即由于已知了方程的一個(gè)根及方程的二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，于是可以利用兩根之積求出方程的另一個(gè)根，再由兩根之和求出

k的值．解法一：∵2

是方程的一個(gè)根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7．21 235所以，方程就為

5x－7x－6＝0，解得

x＝2，x＝－

．1 2 1 2所以，方程的另的平方和比兩個(gè)根的積大

21

得到關(guān)于

m的方程，從而解得m的值．但在解題中需要特別注意的是，由于所給的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，因此，其根的判別式應(yīng)大于零．解：設(shè)

x1，x2

是方程的兩根，由韋達(dá)定理，得2x＋x＝－2(m－2)，x·x＝m＋4．12 22 1 2∵x

＋x

－x·x＝21，21 2 1 2∴(x＋x)－3

x·x＝21，即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化簡(jiǎn)，得

m2－16m－17＝0，解得 m＝－1，或

m＝17．當(dāng)

m＝－1

時(shí)，方程為

x＋6x＋5＝0，Δ＞0，滿足題意；2當(dāng)

m＝17

時(shí)，方程為

x＋32

0x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合題意，舍去．綜上，m＝17．說(shuō)明：（1）在本題的解題過(guò)程中，也可以先研究滿足方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根所對(duì)應(yīng)的

m的范圍，然后再由“兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大

21”求出

m的值，取滿足條件的

m的值即可．（1）在今后的解題過(guò)程中，如果僅僅由韋達(dá)定理解題時(shí)，還要考慮到根的判別式Δ是否大于或大于零．因?yàn)?，韋達(dá)定理成立的前提是一元大方向個(gè)數(shù)分別為

x，y，利用二元方程求解出這兩個(gè)數(shù)．也可以利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化出一元二次方程來(lái)求解．解法一：設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是

x，y，則 x＋y＝4，xy＝－12．①②由①，得 y＝4－x，代入②，得x(4－x)＝－12，即 x2－4x－12＝0，９即x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，p＝－(x1＋x2)16１０

y

6,∴x1＝－2，x2＝6．∴

x1

2, 或x2

6,

y

2.

1

21 2因此，這兩個(gè)數(shù)是－2

和

6．解法二：由韋達(dá)定理可知，這兩個(gè)數(shù)是方程x2－4x－12＝0的兩個(gè)根．解這個(gè)方程，得x1＝－2，x2＝6．所以，這兩個(gè)數(shù)是－2

和

6．說(shuō)明：從上面的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二（直接利用韋達(dá)定理來(lái)解題）要比解法一簡(jiǎn)捷．2例

5 若

x

和

x

分別是一元二次方程

2x＋5x－3＝0

的兩根．1 2（1）求|

x1－x2|的值；（2）求

1x

2 x

2

1的值；1 23 3（3）x

＋x

．12解：∵x

和

x

分別是一元二次方程

2x2＋5x－3＝0

的兩根，∴1 22x

x

5，1

22xx

3）2 2 21 2 1 2 1

23

2294x

2 x

2(

5)2

2

(

3)25

31

1

x1

x2

(x1

x2)

2x1x2

2 2

4x2

x

2 (xx

)2(

)

37

．93 32 2 21 2 1 2 1 1

2 2 1 2 1 2 1

2（3）x

＋x

＝(x＋x)(

x

－xx＋x

)＝(x＋x)[

(

x＋x)

－3xx]2 2 2 8＝(－

5

)×[(－

5

)2－3×(

3

)]＝－

215

．1 2說(shuō)明：一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值是一個(gè)重要的量，今后我們經(jīng)常會(huì)遇到求這一個(gè)量的問(wèn)題，為了解題簡(jiǎn)便，我們可以探討出其一般規(guī)律：2設(shè)

x

和

x

分別是一元二次方程

ax＋bx＋c＝0（a≠0），則22a，x

b

b

4ac

，21 2∴|x－x|＝

bb2

4ac

b

b2

4ac

2b2

4ac2a 2a 2ab2

4ac

．|

a

| |a

|于是有下面的結(jié)論：1 2若

x

和

x

分別是一元二次方程

ax21 2|a

|＋bx＋c＝0（a≠0），則|

x－x|＝ （其中Δ＝b2－4ac）．１０y6,∴x1＝－2，x2＝6．y2.17１１今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值時(shí)，可以直接利用上面的結(jié)論．例

6 若關(guān)于

x的一元二次方程

x2－x＋a－4＝0

的一根大于零、另一根小于零，求實(shí)數(shù)

a的取值范圍．解：設(shè)

x1，x2

是方程的兩根，則①②x1x2＝a－4＜0，且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0．由①得 a＜4，由②得 a＜417

．∴a的取值范圍是

a＜4．練 習(xí)1．選擇題：（1）方程x2

2

3kx

3k

2

0

的習(xí)題

2.1A 組選擇題:已知關(guān)于

x的方程

x＋kx－2＝02

的一個(gè)根是

1，則它的另一個(gè)根是（

）（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2下列四個(gè)說(shuō)法：①方程

x2＋2x－7＝0

的兩根之和為－2，兩根之積為－7；②方程

x2－2x＋7＝0

的兩根之和為－2，兩根之積為

7；③方程

3

x2－7＝0

的兩根之和為

0，兩根之積為

7

；3④方程

3

x2＋2x＝0

的兩根之和為－2，兩根之積為

0．其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（A）1

個(gè) （B）2

個(gè) （C）3

個(gè)（ ）（D）4

個(gè)（3）關(guān)于

x的一元二次方程

ax2－5x＋a2＋a＝0

的一個(gè)根是

0，則

a的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－12．填空:（1）方程

kx2＋4x－1＝0

的兩根之和為－2，則

k＝

．（2）方程

2x2－x－4＝0

的兩根為α，β，則α2＋β2＝

．（3）已知關(guān)于

x的方程

x2－ax－3a＝0

的一個(gè)根是－2，則它的另一個(gè)根是

．2121 2（4）方程

2x＋2x－1＝0

的兩根為

x

和

x，則|

x－x|＝

．１１今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值時(shí)，可以直接利用18１２試判定當(dāng)

m取何值時(shí)，關(guān)于

x的一元二次方程

m2x2－(2m＋1)

x＋1＝0

有兩

個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？沒(méi)有實(shí)數(shù)根？求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程

x2－7x－1＝0

各根的相反數(shù)．B 組1．選擇題:若關(guān)于

x的方程

x2

＋(k2

－1)

x＋k＋1＝0

的兩根互為相反數(shù)，則

k的值為（）（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）02．填空:若

m，n是方程

x2＋2005x－1＝0

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則

m2n＋mn2－mn的值等

于

．如果

a，b是方程

x2＋x－1＝0

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么代數(shù)式

a3＋a2b＋ab2＋b3

的值是

．3．已知關(guān)于

x的方程

x2－kx－2＝0．4．－1 提示：(x－3)1

(

x－32

)＝x1

x－32

(x＋x)＋921習(xí)題

2．12．（1）2006 提示：∵m＋n＝－2005，mn＝－1，∴m2n＋mn2－mn＝mn(m＋n－1)＝－1×(－2005－1)＝2006．（2）－3 提示；∵a＋b＝－1，ab＝－1，∴a3＋a2b＋ab2＋b3＝a2(a＋b)＋b2(a＋b)＝(a＋b)(

a2＋b2)＝(a＋b)[(

a＋b)

2－2ab]＝(－1)×[(－1)2－2×(－1)]＝－3．3．（1）∵Δ＝(－k)2－4×1×(－2)＝k2＋8＞0，∴方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）∵x1＋x2＝k，x1x2＝－2，∴2k＞－2，即

k＞－1．4．（1）|

x1－x2|＝|a

|b2

4ac x

x，

1 2

＝

21 23 3；（2）x

＋x

＝a3b 3abc

b32a．5．∵|

x1－x2|＝

16

4m

2

4

m

2

，∴m＝3．把

m＝3

代入方程，Δ＞0，滿

足題意，∴m＝3．C

組1．（1）B（2）A１２試判定當(dāng)m取何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程m2x2－19１３（3）C 提整數(shù)的實(shí)數(shù)

k的整數(shù)值為－2，－3

和－5．1 2 1

28（3）當(dāng)

k＝－2

時(shí)，x＋x＝1，① xx＝1，

②①2÷②，得

x1

x2

＋2＝8，即

1

6

，∴2

61

0

，x2 x1∴

3

22．4．（1）Δ＝

2(m

1)2

2

0

；24m12

12 1 2（2）∵xx＝－ ≤0，∴x≤0，x≥0，或

x≥0，x≤0．①若

x1≤0，x2≥0，則

x2＝－x1＋2，∴x1＋x2＝2，∴m－2＝2，∴m＝4．此1 2時(shí)，方程為

x2－2x－4＝0，∴

x

1

5

，

x

1

5

．②若

x1≥0，x2≤0，則－x2＝x1＋2，∴x1＋x2＝－2，∴m－2＝－2，212∴m＝0．此時(shí)，方程為

x＋2＝0，∴x＝0，x＝－2．5．設(shè)方程的兩根為

x1，x2，則

x1＋x2＝－1，x1x2＝a，

由一根大于

1、另一根小于

1，得(x1－1)(

x2－1)2.2.1

二次函數(shù)

y＝ax＋bx＋c的圖像和性2

質(zhì)問(wèn)題

1 函數(shù)

y＝ax2

與

y＝x2

的圖象之間存在怎樣的關(guān)？為了研究這一問(wèn)題，我們可以先畫(huà)出

y＝2x，y＝2

1

x，y＝－2x22

的圖象，通2過(guò)這些函數(shù)圖象與函數(shù)

y＝x2

的圖象之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)

y＝ax2

與

y＝x2

的圖象之間所存在的關(guān)系．先畫(huà)出函數(shù)

y＝x，y＝2x22

的圖象．先列表：x…－3－2－10123…x2…9410149…2x2…188202818從表中不難看出，要得到

2x2

的值，只要把相應(yīng)的

x2

的值擴(kuò)大兩倍就可以了．再描點(diǎn)、連線，就分別得到了函數(shù)

y＝x2，y＝2x2

的圖象（如圖

2－1

所示），從圖

2－1

我們可以得到這兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系：函數(shù)

y＝2x2

的圖象可以由函數(shù)

y＝x2

的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)

變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍得到．同學(xué)們也可以象之間的關(guān)系．通過(guò)上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)

y＝ax2(a≠0)的圖象可以由

y＝x2

的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

a倍得到．在二次函數(shù)

y＝ax2(a≠0)中，二次項(xiàng)系數(shù)

a決定了圖象的開(kāi)口方向和在同一個(gè)坐標(biāo)系中的開(kāi)口的大小．y＝x2y＝2x2圖

2.2-1xOy１３（3）C 提整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值為－2，－3和－5．20問(wèn)題

2 函數(shù)

y＝a(x＋h)2＋k與

y＝ax2

的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？同樣地，我們可以利用幾個(gè)特殊的函數(shù)圖象之間的關(guān)系