化工傳遞過程基礎(chǔ)2課件

化工傳遞過程基礎(chǔ)

化工傳遞過程基礎(chǔ)

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第五章邊界層流動(dòng)

N—S方程式反映了流體流動(dòng)規(guī)律，但其解只在某些特殊情況下才能獲得，對很小Re的爬流結(jié)果正確，而對Re很大的勢流導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果，對此1904年P(guān)randtl提出邊界層學(xué)說后才得以解釋。yu0

第一節(jié)邊界層的概念1、流動(dòng)現(xiàn)象當(dāng)流體遇到壁面時(shí)，由于流體內(nèi)部粘性力的作用，流速將從壁面處的0逐漸uxδ增加到u0。即在整個(gè)流層中，沿垂直于流動(dòng)方向產(chǎn)生了速度梯度。2、提出論點(diǎn)Prandtl提出的論點(diǎn)是：假定ux速度梯度全部集中在緊靠壁面的一薄層流體中，該薄層稱為邊界層，在邊界層以外流速不再變化。為此將流動(dòng)劃分為兩個(gè)區(qū)域：邊界層（粘性效應(yīng)起作用，存在明顯速度梯度的區(qū)域）和主流區(qū)。3、應(yīng)用邊界層理論為許多試驗(yàn)所證實(shí)，一些復(fù)雜的傳遞現(xiàn)象可獲得解決。4、邊界層的形成和發(fā)展

形成：壁面的粘附作用；流體具有粘性。

發(fā)展：邊界層在一定距離內(nèi)變化，然后趨于穩(wěn)定。

2

在發(fā)展過程，邊界層內(nèi)的流動(dòng)可能由層流轉(zhuǎn)化為湍流，即由層流邊界層轉(zhuǎn)為湍流邊界層，但在靠近壁面處仍然存在一層層流內(nèi)層。開始轉(zhuǎn)變的距離稱為臨界距離xc

，轉(zhuǎn)變點(diǎn)取決于臨界Rec=5×105。u0yu0

xcu0

ux

層流邊界層過渡區(qū)湍流邊界層

x

在管內(nèi)流動(dòng)時(shí)，管內(nèi)壁面形成邊界層，而且逐漸加厚，在離進(jìn)口某一段距離Le處邊界層在管中心匯合，此后的流動(dòng)稱為充分發(fā)展了的流動(dòng)。從管入口到匯合處的距離稱為進(jìn)口段長度，以Le表示，用于流體物理量的測量時(shí)，要求測點(diǎn)超過Le才結(jié)果準(zhǔn)確。層流時(shí)Le=0.05d×Re；湍流時(shí)Le＞50d。

u0umax湍流核心LeLe

35、邊界層厚度的定義一般取流速達(dá)到u0的99%處距離壁面的垂直距離（y方向）為邊界層厚度δ，即：δ雖然很小，但對流體的流動(dòng)阻力，傳熱、傳質(zhì)過程的速率有重要影響，其大小與流體流動(dòng)時(shí)的湍動(dòng)程度有關(guān)。第二節(jié)Prandtl邊界層方程式不可壓縮流體沿壁面作穩(wěn)態(tài)（層流邊界層）流動(dòng)時(shí)，可看作二維流動(dòng)過程，若流動(dòng)方向x，與壁面垂直方向y，則Naver—Stokes方程式及連續(xù)性方程式為：5、邊界層厚度的定義41、Prandtl邊界層方程式的推導(dǎo)

采用數(shù)量級分析法：當(dāng)流體流動(dòng)的Re很大時(shí)，δ＜＜x，甚至可以忽略不計(jì)。因此對式中各項(xiàng)進(jìn)行數(shù)量級分析，使方程式簡化。（采用O代表數(shù)量級）（1）取x為距離的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)量級，用O（1）表示，記x=O（1）；（2）取u0為速度的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)量級，用O（1）表示，記u0=O（1）及ux=O（1）；（3）取δ的數(shù)量級為O（δ），記δ=O（δ）及y=O（δ）；（4）由二維連續(xù)性方程式知：（5）其余數(shù)量級：1、Prandtl邊界層方程式的推導(dǎo)5根據(jù)以上討論，對Naver—Stokes方程式中各項(xiàng)數(shù)量級之間的關(guān)系標(biāo)注為：

（1）（1）（δ）（1/δ）（1）

（δ2）（1）（1/δ2）由于：因此方程式簡化為：同理：

（1）（δ）（δ）（1）（δ）（δ2）（δ）（1/δ）由此數(shù)量級分析可得到的結(jié)論是：①第二個(gè)方程式與第一個(gè)方程式相比，可以略去；②根據(jù)以上討論，對Naver—Stokes方程式中各項(xiàng)數(shù)量級之6因此根據(jù)數(shù)量級分析得出的Prandtl邊界層方程式為：以及連續(xù)性方程式：滿足的邊界條件：①y=0，ux=0，uy=0；②y=∞（δ），ux=u02、Prandtl邊界層方程式的數(shù)學(xué)解

將代入到邊界層方程式得：Blasuis采用相似變換法將其轉(zhuǎn)變?yōu)槌Ｎ⒎址匠?，進(jìn)行積分求解。（1）尋找變量通過相似變換用無因次變量代替x、y：因此根據(jù)數(shù)量級分析得出的7過程：①通過因次分析，引入變量經(jīng)分析以質(zhì)量M、時(shí)間θ及x、y、z方向上的長度Lx，Ly，Lz為基本因次，代入：根據(jù)因次一致性原則，解得：過程：①通過因次分析，引入變量8即：式中：②引入流函數(shù)ψ，找出ψ與的關(guān)系：即：9（2）引入變量和ψ，對各項(xiàng)進(jìn)行變換：（2）引入變量和ψ，對10（3）代入到得：（4）解方程式：Blasuis應(yīng)用級數(shù)銜接法，在η=0附近按Taler級數(shù)將f（η）展開，方程的邊界條件為：①②

③（3）代入到11在η=0附近按Taler級數(shù)將f（η）展開：由邊界條件②：y=0，η=0，f（0）=0，∴c0=0由邊界條件①：y=0，η=0，f‘（0）=0，∴c1=0代入并且整理：在η=0附近按Taler級數(shù)將f（η）展開：12為使上式成立，各項(xiàng)系數(shù)等于零，即：

c3=0，c4=0，c6=0，c7=0，

∴式中：A0=1，A1=1，A2=11，……，c2由η→∞時(shí)的邊界條件確定，其求解結(jié)果為：實(shí)際計(jì)算時(shí)可通過查取表4-1進(jìn)行。

為使上式成立，各項(xiàng)系數(shù)等于零，即：133、Prandtl邊界層方程式的應(yīng)用（1）邊界層中的速度分布ux，uy：（2）邊界層厚度δ：（3）曳力系數(shù)CD：設(shè)平壁寬度b，長度L，流體受到的總阻力為：3、Prandtl邊界層方程式的應(yīng)用14其中：第三節(jié)Karman邊界層積分動(dòng)量方程式1、Karman邊界層積分動(dòng)量方程式的推導(dǎo)

方法：對Prandtl邊界層方程從y=0到y(tǒng)=δ進(jìn)行積分，然后根據(jù)速度分布求解。其中：15Prandtl邊界層方程式左側(cè)積分：其中：①②③Prandtl邊界層方程式左側(cè)積分：16Prandtl邊界層方程式右側(cè)積分：因此Karman邊界層積分動(dòng)量方程式：若已知ux～y的關(guān)系，通過對Karman邊界層動(dòng)量方程式積分，可得速度分布等。2、流體沿平版壁面流動(dòng)時(shí)層流邊界層的近似解（1）速度分布：不可壓縮流體作穩(wěn)態(tài)二維流動(dòng)時(shí)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)測定層流邊界層內(nèi)速度分布與拋物線形狀相似，即：其中系數(shù)ai由相應(yīng)的邊界條件確定，見87-89頁。Prandtl邊界層方程式右側(cè)積分：17設(shè)速度分布方程式為：根據(jù)邊界條件：①②③④得層流邊界層內(nèi)速度分布方程式：設(shè)速度分布方程式為：18（2）邊界層厚度：將邊界層內(nèi)速度分布方程代入Karman邊界層動(dòng)量方程式中當(dāng)x=0時(shí)，δ=0，故c1=0（2）邊界層厚度：將邊界層內(nèi)速度分布方程代入Karman邊界19（3）曳力系數(shù)CD：設(shè)平壁寬度b，長度L，流體受到的總阻力為：其它情況下的速度分布、邊界層厚度、曳力系數(shù)見表4-2中。（3）曳力系數(shù)CD：設(shè)平壁寬度b，長度L，流體受到的總阻力為20第四節(jié)邊界層分離當(dāng)流體繞過圓柱或球體等流動(dòng)時(shí)，Re很小時(shí)阻力由粘性力引起；Re較大時(shí)摩擦阻力和形體阻力都有影響，而形體阻力取決于邊界層分離。1、現(xiàn)象分析流體流過平行置于流場中的薄平板時(shí)，沿流動(dòng)方向邊界層外的速度、壓力保持不變，即dp/dx=0；但當(dāng)流過曲面時(shí)，邊界層外的流速、壓力沿流動(dòng)方向發(fā)生不斷變化，由Benulii方程式：2、結(jié)論對邊界層外的加速過程，邊界層內(nèi)外為減壓過程，壓力梯度為負(fù)；而對邊界層外的減速過程，邊界層內(nèi)外均為加壓過程，壓力梯度為正。3、影響流體流過曲面時(shí)，夾在主流和固體表面間的邊界層，在加速減壓階段，雖受到粘性力的作用而減小，但仍能向下游流動(dòng)；而在減速加壓階段，同時(shí)受到粘性力和逆向壓力的作用，緊貼壁面的流體速度迅速下降，當(dāng)?shù)竭_(dá)S點(diǎn)時(shí)所有的動(dòng)能耗盡，出現(xiàn)停滯。但后面的流體繼續(xù)流動(dòng)，在慣性力的作用下，使邊界層流體脫離了固體壁面，該現(xiàn)象稱為邊界層分離。第四節(jié)21邊界層開始與固體表面分離的點(diǎn)S稱為分離點(diǎn)，其上4、邊界層分離的結(jié)果

產(chǎn)生倒流和大量旋渦，形成極不規(guī)則的湍流區(qū)，使得能量損失急劇加大。5、形成邊界層分離的必要條件

流體具有粘性；存在逆向壓力梯度。邊界層分離是形成旋渦的重要來源，旋渦導(dǎo)致形體阻力，為產(chǎn)生局部阻力的主要原因。6、應(yīng)用用于計(jì)算局部阻力，工程上為減小阻力采取相應(yīng)措施。u0加速減壓

減速加壓

邊界層開始與固體表面分離的點(diǎn)S稱為分離點(diǎn)，其上22第六章湍流湍流是指Re≥4000（圓形直管內(nèi)）的流動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)間碰撞混合程度劇烈，阻力要大于層流。研究湍流的內(nèi)容是：導(dǎo)致發(fā)生原因，特征，流動(dòng)規(guī)律。

第一節(jié)湍流的特點(diǎn)、形成、表征一、湍流的特點(diǎn)湍流是在高Re數(shù)下發(fā)生的流動(dòng)過程，特點(diǎn)流體向前流動(dòng)時(shí)伴隨不規(guī)則的脈動(dòng)，混合劇烈，流動(dòng)參數(shù)隨時(shí)發(fā)生變化。其基本特征是質(zhì)點(diǎn)的脈動(dòng)。脈動(dòng)的結(jié)果導(dǎo)致：①流動(dòng)阻力加大；②速度分布均勻（但在近壁處存在層流內(nèi)層）。二、湍流的形成形成湍流具備的條件：①旋渦的形成；②旋渦的運(yùn)動(dòng)。1、旋渦的形成（1）流體具有粘性，相鄰流層間構(gòu)成力偶，是產(chǎn)生旋渦的基本因素；（2）流層的波動(dòng)（或產(chǎn)生邊界層分離），在橫向壓力和剪應(yīng)力的雙重作用下導(dǎo)致了旋渦的形成。第六章23

－＋－

＋－＋2、旋渦的運(yùn)動(dòng)由于旋渦的形成，使附近流層的速度分布改變，產(chǎn)生了壓力差，促使旋渦脫離原來的流層進(jìn)入鄰近的流層，各流層間旋渦的不斷交換形成了旋渦。三、湍流的表征1、時(shí)均量、脈動(dòng)量和瞬時(shí)量ux湍流中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)極不規(guī)則，為非穩(wěn)定流動(dòng)，采用統(tǒng)計(jì)方法或取平均值的方法進(jìn)行處理。用測速儀測出某段時(shí)間內(nèi)流體瞬時(shí)速度ux隨時(shí)間變化關(guān)系如圖，ux隨時(shí)間雖變化頻繁，但總是圍繞“平均值”在波動(dòng)。0θ（1）時(shí)均量取0～θ內(nèi)ux的時(shí)間平均值，稱為時(shí)均速度：

化工傳遞過程基礎(chǔ)2課件24（2）脈動(dòng)量實(shí)際速度和時(shí)均速度之差稱為脈動(dòng)速度（其值可正可負(fù)）：且：（3）瞬時(shí)量瞬時(shí)速度等于時(shí)均速度與脈動(dòng)速度之和。區(qū)別：瞬時(shí)量指某時(shí)刻運(yùn)動(dòng)參數(shù)的真實(shí)值；時(shí)均量指某時(shí)段內(nèi)瞬時(shí)量的平均值；脈動(dòng)量指某時(shí)刻運(yùn)動(dòng)參數(shù)的真實(shí)值與時(shí)均值的差值（可正可負(fù)）。2、湍動(dòng)強(qiáng)度（湍流的激烈程度）

湍動(dòng)強(qiáng)度I=脈動(dòng)速度/時(shí)均速度用代替則：（2）脈動(dòng)量實(shí)際速度和時(shí)均速度之差稱為脈動(dòng)速度25第二節(jié)流體湍流時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程式引入瞬時(shí)速度等于時(shí)均速度與脈動(dòng)速度之和，且各脈動(dòng)速度的時(shí)均值為零，可將流體的湍流流動(dòng)理解為按時(shí)均速度在流動(dòng)，使得問題簡化。但因湍流的本質(zhì)是質(zhì)點(diǎn)的脈動(dòng)，因此必須考慮脈動(dòng)。Reynold將瞬時(shí)速度等于時(shí)均速度與脈動(dòng)速度的方程代入到以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)微分方程式中，然后取時(shí)均值，導(dǎo)出相應(yīng)的湍流運(yùn)動(dòng)方程式，過程稱為雷諾轉(zhuǎn)換。一、Reynold方程式1、時(shí)均值的有關(guān)運(yùn)算法則：設(shè)f1和f2代表湍流運(yùn)動(dòng)時(shí)的兩個(gè)物理量，而且：則有：（1）（2）（3）（4）第二節(jié)流體湍流時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程式26（5）（6）2、對不可壓縮流體的連續(xù)性方程式進(jìn)行雷諾轉(zhuǎn)換(2、6）：即湍流時(shí)的時(shí)均速度仍然滿足連續(xù)性方程式。（5）273、對以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)微分方程式進(jìn)行雷諾轉(zhuǎn)換（x方向）：由于湍流時(shí)包括脈動(dòng)量，對兩側(cè)各項(xiàng)時(shí)均化，運(yùn)用法則（2）、（6）、（5）得：3、對以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)微分方程式進(jìn)行雷諾轉(zhuǎn)換（x方向）：28將含脈動(dòng)量的各項(xiàng)移到右側(cè)，展開左側(cè)第一項(xiàng)，得：左側(cè)第一項(xiàng)而且：即為不可壓縮流體穩(wěn)態(tài)湍流時(shí)的時(shí)均運(yùn)動(dòng)方程式（x方向），稱為雷諾方程式。在y、z方向可得到類似的方程式。將含脈動(dòng)量的各項(xiàng)移到右側(cè)，展開左側(cè)第一項(xiàng)，得：29二、雷諾應(yīng)力上述方程式多出3項(xiàng)，因此可推知；湍流時(shí)所產(chǎn)生的應(yīng)力除和層流相同的部分外，還存在一部分附加應(yīng)力。即一個(gè)法向附加應(yīng)力和兩個(gè)切向附加應(yīng)力，稱為雷諾應(yīng)力或表觀應(yīng)力。湍流時(shí)雷諾應(yīng)力較粘性應(yīng)力大得多。在x方向的雷諾應(yīng)力，總的時(shí)均應(yīng)力可表示為：二、雷諾應(yīng)力30而在三維流動(dòng)時(shí)，諸雷諾應(yīng)力的應(yīng)力矩陣表示為：由上面看出，一般雷諾應(yīng)力前均加一個(gè)負(fù)號，為什么？

分析獲得：在層流內(nèi)層，僅粘性應(yīng)力起作用，雷諾應(yīng)力不存在；在湍流區(qū)，主要雷諾應(yīng)力起作用，粘性應(yīng)力很??；在過渡層，粘性應(yīng)力和雷諾應(yīng)力同時(shí)起作用。而在三維流動(dòng)時(shí)，諸雷諾應(yīng)力的應(yīng)力矩陣表示為：31第三節(jié)渦流粘度與Plandtl混合長一、湍流應(yīng)力1877年Boussinesq提出假設(shè)，類似于粘性應(yīng)力，雷諾應(yīng)力可表示為：二、Plandtl混合長1925年，Plandtl據(jù)層流和湍流之間動(dòng)量傳遞機(jī)理的類似性，將分子動(dòng)量傳遞過程中平均自由程的概念用于湍流，提出了混合長的假設(shè)。即：脈動(dòng)過程流體微團(tuán)保持原x方向時(shí)均流速（動(dòng)量）不變時(shí)的脈動(dòng)垂直距離，稱混合長。假定混合長足夠小，則：若由下向上脈動(dòng)：，若由上向下脈動(dòng)：第三節(jié)渦流粘度與Plandtl混合32根據(jù)質(zhì)量守恒定律，y方向的脈動(dòng)必引起x方向的脈動(dòng)，假定：則：故雷諾應(yīng)力比較可得：第四節(jié)圓管中的穩(wěn)態(tài)湍流流動(dòng)（注：在以后的討論中將上下標(biāo)略去，表示一維流動(dòng)，速度均指時(shí)均速度）一、通用速度分布方程式（x方向）根據(jù)質(zhì)量守恒定律，y方向的脈動(dòng)必引起x方向的脈動(dòng)，假定：331、層流內(nèi)層

令：常數(shù)，在0～y范圍內(nèi)積分：采用無因次形式表達(dá)時(shí)，

令稱為摩擦速度（m/s）分別稱為無因次速度、無因次距離。因而：即為層流內(nèi)層通用速度分布方程

式：1、層流內(nèi)層342、湍流中心Plandtl根據(jù)混合長的學(xué)說，假設(shè)：常數(shù)；在管徑范圍內(nèi)因此：積分：即為湍流中心通用速度分布方程式：2、湍流中心35Nikurade采用實(shí)驗(yàn)方法在半對數(shù)坐標(biāo)上對上述關(guān)系進(jìn)行了描繪，得到：所以：由實(shí)驗(yàn)結(jié)果（圖5-9）可看到，當(dāng)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合；當(dāng)也與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合；但當(dāng)時(shí)兩式均不適用，其原因是存在一個(gè)過渡區(qū)。Karmen等建議在Re=4000～3200000范圍內(nèi)，將光滑管中的流動(dòng)劃分為三個(gè)區(qū)域：（1）層流區(qū)：（2）過渡區(qū)：（3）湍流區(qū)：Nikurade采用實(shí)驗(yàn)方法在半對數(shù)坐標(biāo)上對上36由此可以得到：（1）層流內(nèi)層厚度：

過渡區(qū)厚度：

湍流中心厚度：（2）圓管中心流速

或者：由此可以得到：37二、光滑管中的平均速度和流動(dòng)阻力根據(jù)Fanning摩擦系數(shù)的定義：代入：即為光滑管中Fanning摩擦系數(shù)f的半經(jīng)驗(yàn)公式，其它的有Blasius方程式等，注意此處：二、光滑管中的平均速度和流動(dòng)阻力38化工傳遞過程基礎(chǔ)2課件39三、粗糙管中的速度分布和流動(dòng)阻力Nikurade對粗糙管（e/d＞0）的流動(dòng)阻力進(jìn)行了研究，得出的結(jié)論是：1、層流區(qū)：e/d對流動(dòng)阻力無影響；2、過渡區(qū)：e/d對流動(dòng)阻力基本無關(guān)；3、湍流區(qū)：從某一Re開始，e/d對流動(dòng)阻力產(chǎn)生影響；甚至當(dāng)Re達(dá)到一定程度后，流動(dòng)阻力完全取決于e/d而與Re無關(guān)，因而將湍流區(qū)分為三種狀態(tài)。（1）水力光滑狀態(tài)：（2）過渡狀態(tài)：（3）完全粗糙狀態(tài)：三、粗糙管中的速度分布和流動(dòng)阻力40化工傳遞過程基礎(chǔ)2課件41化工傳遞過程基礎(chǔ)2課件42化工傳遞過程基礎(chǔ)2課件43化工傳遞過程基礎(chǔ)

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第五章邊界層流動(dòng)

N—S方程式反映了流體流動(dòng)規(guī)律，但其解只在某些特殊情況下才能獲得，對很小Re的爬流結(jié)果正確，而對Re很大的勢流導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果，對此1904年P(guān)randtl提出邊界層學(xué)說后才得以解釋。yu0

第一節(jié)邊界層的概念1、流動(dòng)現(xiàn)象當(dāng)流體遇到壁面時(shí)，由于流體內(nèi)部粘性力的作用，流速將從壁面處的0逐漸uxδ增加到u0。即在整個(gè)流層中，沿垂直于流動(dòng)方向產(chǎn)生了速度梯度。2、提出論點(diǎn)Prandtl提出的論點(diǎn)是：假定ux速度梯度全部集中在緊靠壁面的一薄層流體中，該薄層稱為邊界層，在邊界層以外流速不再變化。為此將流動(dòng)劃分為兩個(gè)區(qū)域：邊界層（粘性效應(yīng)起作用，存在明顯速度梯度的區(qū)域）和主流區(qū)。3、應(yīng)用邊界層理論為許多試驗(yàn)所證實(shí)，一些復(fù)雜的傳遞現(xiàn)象可獲得解決。4、邊界層的形成和發(fā)展

形成：壁面的粘附作用；流體具有粘性。

發(fā)展：邊界層在一定距離內(nèi)變化，然后趨于穩(wěn)定。

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在發(fā)展過程，邊界層內(nèi)的流動(dòng)可能由層流轉(zhuǎn)化為湍流，即由層流邊界層轉(zhuǎn)為湍流邊界層，但在靠近壁面處仍然存在一層層流內(nèi)層。開始轉(zhuǎn)變的距離稱為臨界距離xc

，轉(zhuǎn)變點(diǎn)取決于臨界Rec=5×105。u0yu0

xcu0

ux

層流邊界層過渡區(qū)湍流邊界層

x

在管內(nèi)流動(dòng)時(shí)，管內(nèi)壁面形成邊界層，而且逐漸加厚，在離進(jìn)口某一段距離Le處邊界層在管中心匯合，此后的流動(dòng)稱為充分發(fā)展了的流動(dòng)。從管入口到匯合處的距離稱為進(jìn)口段長度，以Le表示，用于流體物理量的測量時(shí)，要求測點(diǎn)超過Le才結(jié)果準(zhǔn)確。層流時(shí)Le=0.05d×Re；湍流時(shí)Le＞50d。

u0umax湍流核心LeLe

465、邊界層厚度的定義一般取流速達(dá)到u0的99%處距離壁面的垂直距離（y方向）為邊界層厚度δ，即：δ雖然很小，但對流體的流動(dòng)阻力，傳熱、傳質(zhì)過程的速率有重要影響，其大小與流體流動(dòng)時(shí)的湍動(dòng)程度有關(guān)。第二節(jié)Prandtl邊界層方程式不可壓縮流體沿壁面作穩(wěn)態(tài)（層流邊界層）流動(dòng)時(shí)，可看作二維流動(dòng)過程，若流動(dòng)方向x，與壁面垂直方向y，則Naver—Stokes方程式及連續(xù)性方程式為：5、邊界層厚度的定義471、Prandtl邊界層方程式的推導(dǎo)

采用數(shù)量級分析法：當(dāng)流體流動(dòng)的Re很大時(shí)，δ＜＜x，甚至可以忽略不計(jì)。因此對式中各項(xiàng)進(jìn)行數(shù)量級分析，使方程式簡化。（采用O代表數(shù)量級）（1）取x為距離的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)量級，用O（1）表示，記x=O（1）；（2）取u0為速度的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)量級，用O（1）表示，記u0=O（1）及ux=O（1）；（3）取δ的數(shù)量級為O（δ），記δ=O（δ）及y=O（δ）；（4）由二維連續(xù)性方程式知：（5）其余數(shù)量級：1、Prandtl邊界層方程式的推導(dǎo)48根據(jù)以上討論，對Naver—Stokes方程式中各項(xiàng)數(shù)量級之間的關(guān)系標(biāo)注為：

（1）（1）（δ）（1/δ）（1）

（δ2）（1）（1/δ2）由于：因此方程式簡化為：同理：

（1）（δ）（δ）（1）（δ）（δ2）（δ）（1/δ）由此數(shù)量級分析可得到的結(jié)論是：①第二個(gè)方程式與第一個(gè)方程式相比，可以略去；②根據(jù)以上討論，對Naver—Stokes方程式中各項(xiàng)數(shù)量級之49因此根據(jù)數(shù)量級分析得出的Prandtl邊界層方程式為：以及連續(xù)性方程式：滿足的邊界條件：①y=0，ux=0，uy=0；②y=∞（δ），ux=u02、Prandtl邊界層方程式的數(shù)學(xué)解

將代入到邊界層方程式得：Blasuis采用相似變換法將其轉(zhuǎn)變?yōu)槌Ｎ⒎址匠蹋M(jìn)行積分求解。（1）尋找變量通過相似變換用無因次變量代替x、y：因此根據(jù)數(shù)量級分析得出的50過程：①通過因次分析，引入變量經(jīng)分析以質(zhì)量M、時(shí)間θ及x、y、z方向上的長度Lx，Ly，Lz為基本因次，代入：根據(jù)因次一致性原則，解得：過程：①通過因次分析，引入變量51即：式中：②引入流函數(shù)ψ，找出ψ與的關(guān)系：即：52（2）引入變量和ψ，對各項(xiàng)進(jìn)行變換：（2）引入變量和ψ，對53（3）代入到得：（4）解方程式：Blasuis應(yīng)用級數(shù)銜接法，在η=0附近按Taler級數(shù)將f（η）展開，方程的邊界條件為：①②

③（3）代入到54在η=0附近按Taler級數(shù)將f（η）展開：由邊界條件②：y=0，η=0，f（0）=0，∴c0=0由邊界條件①：y=0，η=0，f‘（0）=0，∴c1=0代入并且整理：在η=0附近按Taler級數(shù)將f（η）展開：55為使上式成立，各項(xiàng)系數(shù)等于零，即：

c3=0，c4=0，c6=0，c7=0，

∴式中：A0=1，A1=1，A2=11，……，c2由η→∞時(shí)的邊界條件確定，其求解結(jié)果為：實(shí)際計(jì)算時(shí)可通過查取表4-1進(jìn)行。

為使上式成立，各項(xiàng)系數(shù)等于零，即：563、Prandtl邊界層方程式的應(yīng)用（1）邊界層中的速度分布ux，uy：（2）邊界層厚度δ：（3）曳力系數(shù)CD：設(shè)平壁寬度b，長度L，流體受到的總阻力為：3、Prandtl邊界層方程式的應(yīng)用57其中：第三節(jié)Karman邊界層積分動(dòng)量方程式1、Karman邊界層積分動(dòng)量方程式的推導(dǎo)

方法：對Prandtl邊界層方程從y=0到y(tǒng)=δ進(jìn)行積分，然后根據(jù)速度分布求解。其中：58Prandtl邊界層方程式左側(cè)積分：其中：①②③Prandtl邊界層方程式左側(cè)積分：59Prandtl邊界層方程式右側(cè)積分：因此Karman邊界層積分動(dòng)量方程式：若已知ux～y的關(guān)系，通過對Karman邊界層動(dòng)量方程式積分，可得速度分布等。2、流體沿平版壁面流動(dòng)時(shí)層流邊界層的近似解（1）速度分布：不可壓縮流體作穩(wěn)態(tài)二維流動(dòng)時(shí)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)測定層流邊界層內(nèi)速度分布與拋物線形狀相似，即：其中系數(shù)ai由相應(yīng)的邊界條件確定，見87-89頁。Prandtl邊界層方程式右側(cè)積分：60設(shè)速度分布方程式為：根據(jù)邊界條件：①②③④得層流邊界層內(nèi)速度分布方程式：設(shè)速度分布方程式為：61（2）邊界層厚度：將邊界層內(nèi)速度分布方程代入Karman邊界層動(dòng)量方程式中當(dāng)x=0時(shí)，δ=0，故c1=0（2）邊界層厚度：將邊界層內(nèi)速度分布方程代入Karman邊界62（3）曳力系數(shù)CD：設(shè)平壁寬度b，長度L，流體受到的總阻力為：其它情況下的速度分布、邊界層厚度、曳力系數(shù)見表4-2中。（3）曳力系數(shù)CD：設(shè)平壁寬度b，長度L，流體受到的總阻力為63第四節(jié)邊界層分離當(dāng)流體繞過圓柱或球體等流動(dòng)時(shí)，Re很小時(shí)阻力由粘性力引起；Re較大時(shí)摩擦阻力和形體阻力都有影響，而形體阻力取決于邊界層分離。1、現(xiàn)象分析流體流過平行置于流場中的薄平板時(shí)，沿流動(dòng)方向邊界層外的速度、壓力保持不變，即dp/dx=0；但當(dāng)流過曲面時(shí)，邊界層外的流速、壓力沿流動(dòng)方向發(fā)生不斷變化，由Benulii方程式：2、結(jié)論對邊界層外的加速過程，邊界層內(nèi)外為減壓過程，壓力梯度為負(fù)；而對邊界層外的減速過程，邊界層內(nèi)外均為加壓過程，壓力梯度為正。3、影響流體流過曲面時(shí)，夾在主流和固體表面間的邊界層，在加速減壓階段，雖受到粘性力的作用而減小，但仍能向下游流動(dòng)；而在減速加壓階段，同時(shí)受到粘性力和逆向壓力的作用，緊貼壁面的流體速度迅速下降，當(dāng)?shù)竭_(dá)S點(diǎn)時(shí)所有的動(dòng)能耗盡，出現(xiàn)停滯。但后面的流體繼續(xù)流動(dòng)，在慣性力的作用下，使邊界層流體脫離了固體壁面，該現(xiàn)象稱為邊界層分離。第四節(jié)64邊界層開始與固體表面分離的點(diǎn)S稱為分離點(diǎn)，其上4、邊界層分離的結(jié)果

產(chǎn)生倒流和大量旋渦，形成極不規(guī)則的湍流區(qū)，使得能量損失急劇加大。5、形成邊界層分離的必要條件

流體具有粘性；存在逆向壓力梯度。邊界層分離是形成旋渦的重要來源，旋渦導(dǎo)致形體阻力，為產(chǎn)生局部阻力的主要原因。6、應(yīng)用用于計(jì)算局部阻力，工程上為減小阻力采取相應(yīng)措施。u0加速減壓

減速加壓

邊界層開始與固體表面分離的點(diǎn)S稱為分離點(diǎn)，其上65第六章湍流湍流是指Re≥4000（圓形直管內(nèi)）的流動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)間碰撞混合程度劇烈，阻力要大于層流。研究湍流的內(nèi)容是：導(dǎo)致發(fā)生原因，特征，流動(dòng)規(guī)律。

第一節(jié)湍流的特點(diǎn)、形成、表征一、湍流的特點(diǎn)湍流是在高Re數(shù)下發(fā)生的流動(dòng)過程，特點(diǎn)流體向前流動(dòng)時(shí)伴隨不規(guī)則的脈動(dòng)，混合劇烈，流動(dòng)參數(shù)隨時(shí)發(fā)生變化。其基本特征是質(zhì)點(diǎn)的脈動(dòng)。脈動(dòng)的結(jié)果導(dǎo)致：①流動(dòng)阻力加大；②速度分布均勻（但在近壁處存在層流內(nèi)層）。二、湍流的形成形成湍流具備的條件：①旋渦的形成；②旋渦的運(yùn)動(dòng)。1、旋渦的形成（1）流體具有粘性，相鄰流層間構(gòu)成力偶，是產(chǎn)生旋渦的基本因素；（2）流層的波動(dòng)（或產(chǎn)生邊界層分離），在橫向壓力和剪應(yīng)力的雙重作用下導(dǎo)致了旋渦的形成。第六章66

－＋－

＋－＋2、旋渦的運(yùn)動(dòng)由于旋渦的形成，使附近流層的速度分布改變，產(chǎn)生了壓力差，促使旋渦脫離原來的流層進(jìn)入鄰近的流層，各流層間旋渦的不斷交換形成了旋渦。三、湍流的表征1、時(shí)均量、脈動(dòng)量和瞬時(shí)量ux湍流中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)極不規(guī)則，為非穩(wěn)定流動(dòng)，采用統(tǒng)計(jì)方法或取平均值的方法進(jìn)行處理。用測速儀測出某段時(shí)間內(nèi)流體瞬時(shí)速度ux隨時(shí)間變化關(guān)系如圖，ux隨時(shí)間雖變化頻繁，但總是圍繞“平均值”在波動(dòng)。0θ（1）時(shí)均量取0～θ內(nèi)ux的時(shí)間平均值，稱為時(shí)均速度：

化工傳遞過程基礎(chǔ)2課件67（2）脈動(dòng)量實(shí)際速度和時(shí)均速度之差稱為脈動(dòng)速度（其值可正可負(fù)）：且：（3）瞬時(shí)量瞬時(shí)速度等于時(shí)均速度與脈動(dòng)速度之和。區(qū)別：瞬時(shí)量指某時(shí)刻運(yùn)動(dòng)參數(shù)的真實(shí)值；時(shí)均量指某時(shí)段內(nèi)瞬時(shí)量的平均值；脈動(dòng)量指某時(shí)刻運(yùn)動(dòng)參數(shù)的真實(shí)值與時(shí)均值的差值（可正可負(fù)）。2、湍動(dòng)強(qiáng)度（湍流的激烈程度）

湍動(dòng)強(qiáng)度I=脈動(dòng)速度/時(shí)均速度用代替則：（2）脈動(dòng)量實(shí)際速度和時(shí)均速度之差稱為脈動(dòng)速度68第二節(jié)流體湍流時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程式引入瞬時(shí)速度等于時(shí)均速度與脈動(dòng)速度之和，且各脈動(dòng)速度的時(shí)均值為零，可將流體的湍流流動(dòng)理解為按時(shí)均速度在流動(dòng)，使得問題簡化。但因湍流的本質(zhì)是質(zhì)點(diǎn)的脈動(dòng)，因此必須考慮脈動(dòng)。Reynold將瞬時(shí)速度等于時(shí)均速度與脈動(dòng)速度的方程代入到以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)微分方程式中，然后取時(shí)均值，導(dǎo)出相應(yīng)的湍流運(yùn)動(dòng)方程式，過程稱為雷諾轉(zhuǎn)換。一、Reynold方程式1、時(shí)均值的有關(guān)運(yùn)算法則：設(shè)f1和f2代表湍流運(yùn)動(dòng)時(shí)的兩個(gè)物理量，而且：則有：（1）（2）（3）（4）第二節(jié)流體湍流時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程式69（5）（6）2、對不可壓縮流體的連續(xù)性方程式進(jìn)行雷諾轉(zhuǎn)換(2、6）：即湍流時(shí)的時(shí)均速度仍然滿足連續(xù)性方程式。（5）703、對以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)微分方程式進(jìn)行雷諾轉(zhuǎn)換（x方向）：由于湍流時(shí)包括脈動(dòng)量，對兩側(cè)各項(xiàng)時(shí)均化，運(yùn)用法則（2）、（6）、（5）得：3、對以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)微分方程式進(jìn)行雷諾轉(zhuǎn)換（x方向）：71將含脈動(dòng)量的各項(xiàng)移到右側(cè)，展開左側(cè)第一項(xiàng)，得：左側(cè)第一項(xiàng)而且：即為不可壓縮流體穩(wěn)態(tài)湍流時(shí)的時(shí)均運(yùn)動(dòng)方程式（x方向），稱為雷諾方程式。在y、z方向可得到類似的方程式。將含脈動(dòng)量的各項(xiàng)移到右側(cè)，展開左側(cè)第一項(xiàng)，得：72二、雷諾應(yīng)力上述方程式多出3項(xiàng)，因此可推知；湍流時(shí)所產(chǎn)生的應(yīng)力除和層流相同的部分外，還存在一部分附加應(yīng)力。即一個(gè)法向附加應(yīng)力和兩個(gè)切向附加應(yīng)力，稱為雷諾應(yīng)力或表觀應(yīng)力。湍流時(shí)雷諾應(yīng)力較粘性應(yīng)力大得多。在x方向的雷諾應(yīng)力，總的時(shí)均應(yīng)力可表示為：二、雷諾應(yīng)力73而在三維流動(dòng)時(shí)，諸雷諾應(yīng)力的應(yīng)力矩陣表示為：由上面看出，一般雷諾應(yīng)力前均加一個(gè)負(fù)號，為什么？

分析獲得：在層流內(nèi)層，僅粘性應(yīng)力起作用，雷諾應(yīng)力不存在；在湍流區(qū)，主要雷諾應(yīng)力起作用，粘性應(yīng)力很小；在過渡層，粘性應(yīng)力和雷諾應(yīng)力同時(shí)起作用。而在三維流動(dòng)時(shí)，諸雷諾應(yīng)力的應(yīng)力矩陣表示為：74第三節(jié)渦流粘度與Plandtl混合長一、湍流應(yīng)