教學(xué)第1講初等數(shù)學(xué)方法建模課件

第一講初等模型1.1公平的席位分配1.2錄像機計數(shù)器的用途1.3雙層玻璃窗的功效1.4汽車剎車距離第一講初等模型1.1公平的席位分配1.1公平的席位分配系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.5乙6331.5丙3417.0總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.8156.6153.57021.00021問題三個系學(xué)生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表會議共20席，按比例分配，三個系分別為10，6，4席?，F(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，三系人數(shù)為103,63,34,問20席如何分配。若增加為21席，又如何分配。比例加慣例對丙系公平嗎系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.3乙6331.56.3丙3417.03.4總和200100.020.020系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.310乙6331.56.36丙3417.03.44總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.815116.61573.570321.000211.1公平的席位分配系別學(xué)生比例2“公平”分配方法衡量公平分配的數(shù)量指標人數(shù)席位A方p1

n1B方p2n2當(dāng)p1/n1=p2/n2

時，分配公平

p1/n1–p2/n2~對A的絕對不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5但后者對A的不公平程度已大大降低!雖二者的絕對不公平度相同若p1/n1>p2/n2，對不公平A

p1/n1–p2/n2=5“公平”分配方法衡量公平分配的數(shù)量指標人數(shù)公平分配方案應(yīng)使rA

,rB

盡量小設(shè)A,B已分別有n1,n2席，若增加1席，問應(yīng)分給A,還是B不妨設(shè)分配開始時p1/n1>p2/n2，即對A不公平~對A的相對不公平度將絕對度量改為相對度量類似地定義rB(n1,n2)將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動態(tài)的席位分配,即“公平”分配方法若p1/n1>p2/n2，定義公平分配方案應(yīng)使rA,rB盡量小設(shè)A,B已分別有n1）若p1/(n1+1)>p2/n2，則這席應(yīng)給A2）若p1/(n1+1)<p2/n2，3）若p1/n1>p2/(n2+1)，應(yīng)計算rB(n1+1,n2)應(yīng)計算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),則這席應(yīng)給應(yīng)討論以下幾種情況初始p1/n1>p2/n2

問：p1/n1<p2/(n2+1)

是否會出現(xiàn)？A否!若rB(n1+1,n2)>rA(n1,n2+1),則這席應(yīng)給B1）若p1/(n1+1)>p2/n2，則這席應(yīng)給A2當(dāng)rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),該席給ArA,rB的定義該席給A否則,該席給B定義該席給Q值較大的一方推廣到m方分配席位該席給Q值最大的一方Q

值方法計算，當(dāng)rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),三系用Q值方法重新分配21個席位按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將19席分配完畢甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3用Q值方法分配第20席和第21席第20席第21席同上Q3最大，第21席給丙系甲系11席，乙系6席，丙系4席Q值方法分配結(jié)果公平嗎？Q1最大，第20席給甲系三系用Q值方法重新分配21個席位按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將1進一步的討論Q值方法比“比例加慣例”方法更公平嗎？席位分配的理想化準則已知:m方人數(shù)分別為p1,p2,…,pm,記總?cè)藬?shù)為P=p1+p2+…+pm,待分配的總席位為N。設(shè)理想情況下m方分配的席位分別為n1,n2,…,nm(自然應(yīng)有n1+n2+…+nm=N)，記qi=Npi/P,i=1,2,…,m,ni應(yīng)是N和p1,…,pm

的函數(shù)，即ni

=ni(N,p1,…,pm)若qi

均為整數(shù)，顯然應(yīng)ni=qi進一步的討論Q值方法比“比例加慣例”方法更公平嗎？席位分配的

qi=Npi/P不全為整數(shù)時，ni

應(yīng)滿足的準則：記[qi]–=floor(qi)~向qi方向取整；[qi]+=ceil(qi)~向

qi方向取整.1)[qi]–ni

[qi]+(i=1,2,…,m),2)ni

(N,p1,…,pm)ni

(N+1,p1,…,pm)(i=1,2,…,m)

即ni必取[qi]–,[qi]+之一即當(dāng)總席位增加時，ni不應(yīng)減少“比例加慣例”方法滿足1），但不滿足2）Q值方法滿足2）,但不滿足1）。令人遺憾！qi=Npi/P不全為整數(shù)時，ni應(yīng)滿足的準則：記[競賽真題演練競賽真題解析競賽真題演練競賽真題解析問題在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過大半，計數(shù)器讀數(shù)為4450，問剩下的一段還能否錄下1小時的節(jié)目？要求不僅回答問題，而且建立計數(shù)器讀數(shù)與錄像帶轉(zhuǎn)過時間的關(guān)系。思考計數(shù)器讀數(shù)是均勻增長的嗎？1.2錄像機計數(shù)器的用途經(jīng)試驗，一盤標明180分鐘的錄像帶從頭走到尾，時間用了184分，計數(shù)器讀數(shù)從0000變到6061。問在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過大半，計數(shù)器讀數(shù)為要求不僅回答問錄像機計數(shù)器的工作原理主動輪壓輪0000左輪盤右輪盤磁頭計數(shù)器錄像帶錄像帶運動方向錄像帶運動右輪盤半徑增大右輪轉(zhuǎn)速不是常數(shù)錄像帶運動速度是常數(shù)計數(shù)器讀數(shù)增長變慢問題分析觀察計數(shù)器讀數(shù)增長越來越慢！錄像機計數(shù)器的工作原理主動輪壓輪0000左輪盤右輪盤磁頭計數(shù)模型假設(shè)

錄像帶的運動速度是常數(shù)

v；

計數(shù)器讀數(shù)

n與右輪轉(zhuǎn)數(shù)

m成正比，記

m=kn；

錄像帶厚度（加兩圈間空隙）為常數(shù)

w；

空右輪盤半徑記作r

；

時間

t=0時讀數(shù)n=0.建模目的建立時間t與讀數(shù)n之間的關(guān)系（設(shè)v,k,w,r為已知參數(shù)）模型假設(shè)錄像帶的運動速度是常數(shù)v；計數(shù)器讀數(shù)n與右模型建立建立t與n的函數(shù)關(guān)系有多種方法1.右輪盤轉(zhuǎn)第

i圈的半徑為r+wi,

m圈的總長度等于錄像帶在時間t內(nèi)移動的長度vt,所以模型建立建立t與n的函數(shù)關(guān)系有多種方法1.右輪盤轉(zhuǎn)第i2.考察右輪盤面積的變化，等于錄像帶厚度乘以轉(zhuǎn)過的長度，即3.考察t到t+dt錄像帶在右輪盤纏繞的長度，有模型建立2.考察右輪盤面積的3.考察t到t+dt錄像帶在模型建立思考3種建模方法得到同一結(jié)果但仔細推算會發(fā)現(xiàn)稍有差別，請解釋。模型中有待定參數(shù)一種確定參數(shù)的辦法是測量或調(diào)查，請設(shè)計測量方法。思考思考3種建模方法得到同一結(jié)果但仔細推算會發(fā)現(xiàn)稍有差別，請解參數(shù)估計另一種確定參數(shù)的方法——測試分析將模型改記作只需估計a,b理論上，已知t=184,n=6061,再有一組(t,n)數(shù)據(jù)即可實際上，由于測試有誤差，最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合現(xiàn)有一批測試數(shù)據(jù)：

t020406080n00001141201927603413

t

100120140160184n40044545505155256061用最小二乘法可得參數(shù)估計另一種確定參數(shù)的方法——測試分析將模型改記作只需估計模型檢驗應(yīng)該另外測試一批數(shù)據(jù)檢驗?zāi)Ｐ停耗Ｐ蛻?yīng)用回答提出的問題：由模型算得n=4450時t=116.4分，剩下的錄像帶能錄184-116.4=67.6分鐘的節(jié)目。揭示了“t與n之間呈二次函數(shù)關(guān)系”這一普遍規(guī)律，當(dāng)錄像帶的狀態(tài)改變時，只需重新估計a,b即可。模型檢驗應(yīng)該另外測試一批數(shù)據(jù)檢驗?zāi)Ｐ停耗Ｐ蛻?yīng)用回2d墻室內(nèi)T1室外T2dd墻l室內(nèi)T1室外T2問題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失假設(shè)熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒有對流T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過程處于穩(wěn)態(tài)材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)建模熱傳導(dǎo)定律Q1Q2Q~單位時間單位面積傳導(dǎo)的熱量T~溫差,d~材料厚度,k~熱傳導(dǎo)系數(shù)1.3雙層玻璃窗的功效2d墻室內(nèi)T1室外T2dd墻l室內(nèi)T1室外Tdd墻l室內(nèi)T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1Ta~內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度Tb~外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度k1~玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2~空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)建模dd墻l室內(nèi)T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q22d墻室內(nèi)T1室外T2Q2雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比k1=410-3~810-3,k2=2.510-4,

k1/k2=16~32對Q1比Q2的減少量作最保守的估計，取k1/k2=16建模記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q22d墻室內(nèi)T1室外T2Q2hQ1/Q24200.060.030.026模型應(yīng)用取h=l/d=4,則Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失。結(jié)果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2,而這要求空氣非常干燥、不流通。房間通過天花板、墻壁……損失的熱量更多。雙層窗的功效不會如此之大hQ1/Q24200.060.030.026模型應(yīng)用取h=1.4

汽車剎車距離美國的某些司機培訓(xùn)課程中的駕駛規(guī)則：背景與問題正常駕駛條件下,車速每增10英里/小時，后面與前車的距離應(yīng)增一個車身的長度。實現(xiàn)這個規(guī)則的簡便辦法是“2秒準則”：后車司機從前車經(jīng)過某一標志開始默數(shù)2秒鐘后到達同一標志，而不管車速如何判斷“2秒準則”與“車身”規(guī)則是否一樣；建立數(shù)學(xué)模型，尋求更好的駕駛規(guī)則。1.4汽車剎車距離美國的某些司機培訓(xùn)課程中的駕駛規(guī)則：問題分析常識：剎車距離與車速有關(guān)10英里/小時(16公里/小時)車速下2秒鐘行駛29英尺(9米)>>車身的平均長度15英尺(=4.6米)“2秒準則”與“10英里/小時加一車身”規(guī)則不同剎車距離反應(yīng)時間司機狀況制動系統(tǒng)靈活性制動器作用力、車重、車速、道路、氣候……最大制動力與車質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運動。車速常數(shù)反應(yīng)距離制動距離常數(shù)問題分析常識：剎車距離與車速有關(guān)10英里/小時(16公里/假設(shè)與建模1.剎車距離d等于反應(yīng)距離d1與制動距離d2之和2.反應(yīng)距離d1與車速v成正比3.剎車時使用最大制動力F，F(xiàn)作功等于汽車動能的改變;Fd2=mv2/2F

mt1為反應(yīng)時間且F與車的質(zhì)量m成正比假設(shè)與建模1.剎車距離d等于反應(yīng)距離d反應(yīng)時間t1的經(jīng)驗估計值為0.75秒?yún)?shù)估計利用交通部門提供的一組實際數(shù)據(jù)擬合k模型最小二乘法k=0.06計算剎車距離、剎車時間車速(英里/小時)(英尺/秒)實際剎車距離（英尺）計算剎車距離（英尺）剎車時間（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3反應(yīng)時間t1的經(jīng)驗估計值為0.75秒?yún)?shù)估計利用“2秒準則”應(yīng)修正為“t秒準則”模型車速(英里/小時)剎車時間（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3車速（英里/小時）0~1010~4040~6060~80t（秒）1234“2秒準則”應(yīng)修正為“t秒準則”模型車速剎車時間201第一講初等模型1.1公平的席位分配1.2錄像機計數(shù)器的用途1.3雙層玻璃窗的功效1.4汽車剎車距離第一講初等模型1.1公平的席位分配1.1公平的席位分配系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.5乙6331.5丙3417.0總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.8156.6153.57021.00021問題三個系學(xué)生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表會議共20席，按比例分配，三個系分別為10，6，4席?，F(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，三系人數(shù)為103,63,34,問20席如何分配。若增加為21席，又如何分配。比例加慣例對丙系公平嗎系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.3乙6331.56.3丙3417.03.4總和200100.020.020系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.310乙6331.56.36丙3417.03.44總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.815116.61573.570321.000211.1公平的席位分配系別學(xué)生比例2“公平”分配方法衡量公平分配的數(shù)量指標人數(shù)席位A方p1

n1B方p2n2當(dāng)p1/n1=p2/n2

時，分配公平

p1/n1–p2/n2~對A的絕對不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5但后者對A的不公平程度已大大降低!雖二者的絕對不公平度相同若p1/n1>p2/n2，對不公平A

p1/n1–p2/n2=5“公平”分配方法衡量公平分配的數(shù)量指標人數(shù)公平分配方案應(yīng)使rA

,rB

盡量小設(shè)A,B已分別有n1,n2席，若增加1席，問應(yīng)分給A,還是B不妨設(shè)分配開始時p1/n1>p2/n2，即對A不公平~對A的相對不公平度將絕對度量改為相對度量類似地定義rB(n1,n2)將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動態(tài)的席位分配,即“公平”分配方法若p1/n1>p2/n2，定義公平分配方案應(yīng)使rA,rB盡量小設(shè)A,B已分別有n1）若p1/(n1+1)>p2/n2，則這席應(yīng)給A2）若p1/(n1+1)<p2/n2，3）若p1/n1>p2/(n2+1)，應(yīng)計算rB(n1+1,n2)應(yīng)計算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),則這席應(yīng)給應(yīng)討論以下幾種情況初始p1/n1>p2/n2

問：p1/n1<p2/(n2+1)

是否會出現(xiàn)？A否!若rB(n1+1,n2)>rA(n1,n2+1),則這席應(yīng)給B1）若p1/(n1+1)>p2/n2，則這席應(yīng)給A2當(dāng)rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),該席給ArA,rB的定義該席給A否則,該席給B定義該席給Q值較大的一方推廣到m方分配席位該席給Q值最大的一方Q

值方法計算，當(dāng)rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),三系用Q值方法重新分配21個席位按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將19席分配完畢甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3用Q值方法分配第20席和第21席第20席第21席同上Q3最大，第21席給丙系甲系11席，乙系6席，丙系4席Q值方法分配結(jié)果公平嗎？Q1最大，第20席給甲系三系用Q值方法重新分配21個席位按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將1進一步的討論Q值方法比“比例加慣例”方法更公平嗎？席位分配的理想化準則已知:m方人數(shù)分別為p1,p2,…,pm,記總?cè)藬?shù)為P=p1+p2+…+pm,待分配的總席位為N。設(shè)理想情況下m方分配的席位分別為n1,n2,…,nm(自然應(yīng)有n1+n2+…+nm=N)，記qi=Npi/P,i=1,2,…,m,ni應(yīng)是N和p1,…,pm

的函數(shù)，即ni

=ni(N,p1,…,pm)若qi

均為整數(shù)，顯然應(yīng)ni=qi進一步的討論Q值方法比“比例加慣例”方法更公平嗎？席位分配的

qi=Npi/P不全為整數(shù)時，ni

應(yīng)滿足的準則：記[qi]–=floor(qi)~向qi方向取整；[qi]+=ceil(qi)~向

qi方向取整.1)[qi]–ni

[qi]+(i=1,2,…,m),2)ni

(N,p1,…,pm)ni

(N+1,p1,…,pm)(i=1,2,…,m)

即ni必取[qi]–,[qi]+之一即當(dāng)總席位增加時，ni不應(yīng)減少“比例加慣例”方法滿足1），但不滿足2）Q值方法滿足2）,但不滿足1）。令人遺憾！qi=Npi/P不全為整數(shù)時，ni應(yīng)滿足的準則：記[競賽真題演練競賽真題解析競賽真題演練競賽真題解析問題在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過大半，計數(shù)器讀數(shù)為4450，問剩下的一段還能否錄下1小時的節(jié)目？要求不僅回答問題，而且建立計數(shù)器讀數(shù)與錄像帶轉(zhuǎn)過時間的關(guān)系。思考計數(shù)器讀數(shù)是均勻增長的嗎？1.2錄像機計數(shù)器的用途經(jīng)試驗，一盤標明180分鐘的錄像帶從頭走到尾，時間用了184分，計數(shù)器讀數(shù)從0000變到6061。問在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過大半，計數(shù)器讀數(shù)為要求不僅回答問錄像機計數(shù)器的工作原理主動輪壓輪0000左輪盤右輪盤磁頭計數(shù)器錄像帶錄像帶運動方向錄像帶運動右輪盤半徑增大右輪轉(zhuǎn)速不是常數(shù)錄像帶運動速度是常數(shù)計數(shù)器讀數(shù)增長變慢問題分析觀察計數(shù)器讀數(shù)增長越來越慢！錄像機計數(shù)器的工作原理主動輪壓輪0000左輪盤右輪盤磁頭計數(shù)模型假設(shè)

錄像帶的運動速度是常數(shù)

v；

計數(shù)器讀數(shù)

n與右輪轉(zhuǎn)數(shù)

m成正比，記

m=kn；

錄像帶厚度（加兩圈間空隙）為常數(shù)

w；

空右輪盤半徑記作r

；

時間

t=0時讀數(shù)n=0.建模目的建立時間t與讀數(shù)n之間的關(guān)系（設(shè)v,k,w,r為已知參數(shù)）模型假設(shè)錄像帶的運動速度是常數(shù)v；計數(shù)器讀數(shù)n與右模型建立建立t與n的函數(shù)關(guān)系有多種方法1.右輪盤轉(zhuǎn)第

i圈的半徑為r+wi,

m圈的總長度等于錄像帶在時間t內(nèi)移動的長度vt,所以模型建立建立t與n的函數(shù)關(guān)系有多種方法1.右輪盤轉(zhuǎn)第i2.考察右輪盤面積的變化，等于錄像帶厚度乘以轉(zhuǎn)過的長度，即3.考察t到t+dt錄像帶在右輪盤纏繞的長度，有模型建立2.考察右輪盤面積的3.考察t到t+dt錄像帶在模型建立思考3種建模方法得到同一結(jié)果但仔細推算會發(fā)現(xiàn)稍有差別，請解釋。模型中有待定參數(shù)一種確定參數(shù)的辦法是測量或調(diào)查，請設(shè)計測量方法。思考思考3種建模方法得到同一結(jié)果但仔細推算會發(fā)現(xiàn)稍有差別，請解參數(shù)估計另一種確定參數(shù)的方法——測試分析將模型改記作只需估計a,b理論上，已知t=184,n=6061,再有一組(t,n)數(shù)據(jù)即可實際上，由于測試有誤差，最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合現(xiàn)有一批測試數(shù)據(jù)：

t020406080n00001141201927603413

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100120140160184n40044545505155256061用最小二乘法可得參數(shù)估計另一種確定參數(shù)的方法——測試分析將模型改記作只需估計模型檢驗應(yīng)該另外測試一批數(shù)據(jù)檢驗?zāi)Ｐ停耗Ｐ蛻?yīng)用回答提出的問題：由模型算得n=4450時t=116.4分，剩下的錄像帶能錄184-116.4=67.6分鐘的節(jié)目。揭示了“t與n之間呈二次函數(shù)關(guān)系”這一普遍規(guī)律，當(dāng)錄像帶的狀態(tài)改變時，只需重新估計a,b即可。模型檢驗應(yīng)該另外測試一批數(shù)據(jù)檢驗?zāi)Ｐ停耗Ｐ蛻?yīng)用回2d墻室內(nèi)T1室外T2dd墻l室內(nèi)T1室外T2問題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失假設(shè)熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒有對流T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過程處于穩(wěn)態(tài)材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)建模熱傳導(dǎo)定律Q1Q2Q~單位時間單位面積傳導(dǎo)的熱量T~溫差,d~材料厚度,k~熱傳導(dǎo)系數(shù)1.3雙層玻璃窗的功效2d墻室內(nèi)T1室外T2dd墻l室內(nèi)T1室外Tdd墻l室內(nèi)T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1Ta~內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度Tb~外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度k1~玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2~空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)建模dd墻l室內(nèi)T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q22d墻室內(nèi)T1室外T2Q2雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比k1=410-3~810-3,k2=2.510-4,

k1/k2=16~32對Q1比Q2的減少量作最保守的估計，取k1/k2=16建模記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q22d墻室內(nèi)T1室外T2Q2hQ1/Q24200.060.030.026模型應(yīng)用取h=l/d=4,則