第11講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第11講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)A組夯基精練一、單項選擇題(選對方法，事半功倍)1.已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x∈－∞，0]，,2fx－1，x∈0，＋∞，))則f(log23)等于()A.eq\f(9,16) B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,2) D.32.若函數(shù)y＝loga(x＋b)(a＞0，a≠1)的圖象過(－1,0)和(0,1)兩點，則a，b的值分別為()A.eq\r(2)，2 B.2,2C.2,1 D.eq\r(2)，eq\r(2)3.“天問一號”是我國自主研發(fā)的第一個火星探測器，于2020年7月23日發(fā)射升空，2021年2月10日成功地進入火星軌道，并于2021年3月4日傳來3幅高清火星影像圖．已知火星的質(zhì)量M約為6.4171×1023kg，“天問一號”的質(zhì)量m約為5.34×103kg，則lgeq\f(M,m)≈()(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，lg3≈0.48，lg5≈0.70)A.19.22 B.19.92C.20.08 D.20.484.(2020·全國Ⅱ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，則f(x)()A.是偶函數(shù)，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上單調(diào)遞減C.是偶函數(shù)，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上單調(diào)遞減二、多項選擇題(練—逐項認(rèn)證，考—選確定的)5.若1<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，則下列結(jié)論中正確的是()A.logab>logbaB.|logab＋logba|>2C.(logba)2<1D.|logab|＋|logba|>|logab＋logba|6.已知－1<a<0且b>1，則下列不等式成立的是()A.logb(b－a)>0B.logb(b－a)>log(b－a)eq\f(1,b)C.logb(－a)<log(－a)eq\f(1,b)D.log(－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,b)))<log(－a)(b－1)三、填空題(精準(zhǔn)計算，整潔表達)7.(2021·濮陽期末)已知正實數(shù)a滿足aa＝(9a)8a，則loga(3a)＝________.8.(2021·日照二模)若函數(shù)f(x)＝logax(a>1)在區(qū)間[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，則a＝________.9.任意一個正實數(shù)N都可以表示成N＝a×10n(1≤a<10，n∈Z)，此時lgN＝n＋lga.若一個20位整數(shù)的64次方根仍是一個整數(shù)，則這個64次方根是________．(參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48，lg4≈0.60)四、解答題(讓規(guī)范成為一種習(xí)慣)10.已知函數(shù)f(x)＝ax(a>0且a≠1)在區(qū)間[－2,4]上的最大值是16.(1)求實數(shù)a的值；(2)假設(shè)函數(shù)g(x)＝log2(x2－3x＋2a)的定義域是R，求不等式loga(1－2t)≤1的實數(shù)t的取值范圍．11.設(shè)實數(shù)a>0且a≠1，函數(shù)f(x)＝logaeq\f(x－2,x＋2).(1)解關(guān)于x的不等式f(x)>0；(2)設(shè)g(x)＝1＋loga(x－1)，如果方程f(x)＝g(x)有實根，求實數(shù)a的取值范圍．B組滾動小練12.(多選)若非零實數(shù)a，b滿足a＜b，則下列不等式不一定成立的是()A.eq\f(a,b)<1 B.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2C.eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b) D.a2＋a＜b2＋b13.若定義在R上的偶函數(shù)f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減且f(2)＝0，則滿足xf(x＋1)≥0的x的取值范圍是()A.[－3,1] B.[－3,0]∪[1，＋∞)C.(－∞，－3]∪[0,1] D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)14.(1)計算：0.064eq\s\up7(-\f(1,3))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,27)))eq\s\up7(\f(2,3))＋logeq\r(3)27＋；(2)已知集合A＝{x|y＝lg(x－3)＋eq\r(9－2x)}，B＝{x|x2－9x＋20≤0}，C＝{x|a＋1≤x<2a－1}．若C?(A∪B)，求實數(shù)a的取值范圍．

第11講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1.D【解析】f(log23)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(3,2)))＝4feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(3,4)))＝4×2log2eq\f(3,4)＝3.2.B【解析】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＝logab－1，,1＝logab，))解得a＝b＝2.3.C【解析】lgeq\f(M,m)＝lgeq\f(6.4171×1023,5.34×103)＝lg6.4171＋23－lg5.34－3≈lg6－lg5＋20≈lg2＋lg3－lg5＋20≈0.30＋0.48－0.70＋20＝20.08.4.D【解析】由f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，得f(x)定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠±\f(1,2)))，關(guān)于坐標(biāo)原點對稱．又f(－x)＝ln|1－2x|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，所以f(x)為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))時，f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)，因為y＝ln(2x＋1)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上單調(diào)遞增，y＝ln(1－2x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上單調(diào)遞減，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))時，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝lneq\f(2x＋1,2x－1)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,2x－1)))，因為μ＝1＋eq\f(2,2x－1)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上單調(diào)遞減，f(μ)＝lnμ在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上單調(diào)遞減，D正確．5.ABC【解析】因為1<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，所以0<b<a<1，則logab>1,0<logba<1，logab·logba＝1，所以logab>logba，故A正確；由基本不等式得logab＋logba≥2eq\r(logab·logba)＝2，又b<a，上面的不等式不能取等號，所以logab＋logba>2成立，故B正確；0<(logba)2<1，故C正確；|logab|＋|logba|＝|logab＋logba|，故D錯誤．6.ABC【解析】對于A，因為－1<a<0且b>1，所以b－a>1，故logb(b－a)>0，A正確；對于B，因為－1<a<0且b>1，所以b－a>1，eq\f(1,b)∈(0,1)，所以log(b－a)eq\f(1,b)<0，logb(b－a)>0，所以logb(b－a)>log(b－a)eq\f(1,b)，B正確；對于C，因為－1<a<0且b>1，所以eq\f(1,b)∈(0,1)，－a∈(0,1)，所以logb(－a)<0<log(－a)eq\f(1,b)，C正確；對于D，取a＝－eq\f(1,2)，b＝2，則log(－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,b)))＝1>log(－a)(b－1)＝0，D錯誤．7.eq\f(9,16)【解析】若正實數(shù)a滿足aa＝(9a)8a，則alogaa＝8aloga(9a)，所以1＝8(loga9＋1)，所以loga9＝－eq\f(7,8)，所以loga3＝－eq\f(7,16)，則loga(3a)＝1＋loga3＝1－eq\f(7,16)＝eq\f(9,16).8.eq\r(2)【解析】因為a>1，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,2a]上為增函數(shù)，由已知條件可得loga(2a)＝3logaa＝logaa3，所以a3＝2a，因為a>1，解得a＝eq\r(2).9.2【解析】設(shè)該位整數(shù)為N，其64次方根為k，則eq\r(64,N)＝k，即N＝k64，因為N＝a×1019，所以lgN＝lgk64＝64lgk＝19＋lga，即lgk＝eq\f(19＋lga,64)，因為1≤a<10，所以0≤lga<1，從而0.2969≤lgk<0.3125，又因為lg4＝2lg2≈0.60，所以lg2≈0.30，于是k＝2.10.【解答】(1)當(dāng)0<a<1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,4]上是減函數(shù)，因此當(dāng)x＝－2時，函數(shù)f(x)取得最大值16，即a－2＝16，因此a＝eq\f(1,4).當(dāng)a>1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,4]上是增函數(shù)，當(dāng)x＝4時，函數(shù)f(x)取得最大值16，即a4＝16，因此a＝2.(2)因為g(x)＝log2(x2－3x＋2a)的定義域是R，即x2－3x＋2a>0恒成立，則方程x2－3x＋2a＝0的判別式Δ<0，即(－3)2－4×2a<0，解得a>eq\f(9,8)，又因為a＝eq\f(1,4)或a＝2，因此a＝2.代入不等式得log2(1－2t)≤1，即0<1－2t≤2，解得－eq\f(1,2)≤t<eq\f(1,2)，因此實數(shù)t的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).11.【解答】(1)當(dāng)a>1時，logaeq\f(x－2,x＋2)>0?eq\f(x－2,x＋2)>1，解得x<－2，當(dāng)0<a<1時，logaeq\f(x－2,x＋2)>0?0<eq\f(x－2,x＋2)<1，解得x>2，故當(dāng)a>1時，原不等式的解集為(－∞，－2)；當(dāng)0<a<1時，原不等式的解集為(2，＋∞)．(2)注意到方程f(x)＝g(x)有解時x的范圍是(2，＋∞)，logaeq\f(x－2,x＋2)＝1＋loga(x－1)?eq\f(x－2,x＋2)＝a(x－1)?a＝eq\f(x－2,x＋2x－1)(*)，令x－2＝t，則t>0，(*)?a＝eq\f(t,t2＋5t＋4)＝eq\f(1,t＋\f(4,t)＋5)≤eq\f(1,9)，當(dāng)且僅當(dāng)t＝2時等號成立，故實數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,9))).12.ABD13.B【解析】由xf(x＋1)≥0可得xf(|x＋1|)≥0.當(dāng)x>0時，f(|x＋1|)≥0＝f(2)，可得|x＋1|≥2，即x＋1≤－2或x＋1≥2，解得x≤－3或x≥1，此時x≥1；當(dāng)x≤0時，f(|x＋1|)≤0＝f(2)，可得|x＋1|≤2，即－2≤x＋1≤2，解得－3≤x≤1，此時－3≤x≤0.綜上所述，滿足xf(x＋1)≥0的x的取值范圍是[－3,0]∪[1，＋∞)．14.【解答】(1)原式＝(0.43)－eq\f(1,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3×eq\f(2,3)＋2log333＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2)－eq\f(4,9)＋6＋eq\f(1,2)＝eq\f(77