2016屆高三一輪復習步步高光盤-理科-全書課件第九章直線與圓、位置關系

數(shù)學

A（理）§9.4

直線與圓、圓與圓的位置關系基礎知識·自主學習題型分類·深度剖析思想方法·感悟提高練出高分判別式(2)代數(shù)法：Δ＝b2－4ac<0?相離＝0?相切1.判斷直線與圓的位置關系常用的兩種方法(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關系.d<r

?相交；d＝r

?相切；d>r

?相離.>0?相交知識拓展圓的切線方程常用結論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方＝r2.x0x＋y0y(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方

x0x＋y0y＝r2.1

12.圓與圓的位置關系圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r2(r

>0)，2

2圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r2(r

>0).方法位置關系幾何法：圓心距d與r1，r2的關系代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程組成方程組的解的情況外離d>r1＋r2無解外切d＝r1＋r2一組實數(shù)解相交|r1－r2|<d<r1＋r2兩組不同的實數(shù)解內(nèi)切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一組實數(shù)解內(nèi)含0≤d<|r

－r

|

(r1≠r2)1

2無解知識拓展常用結論兩圓的位置關系與公切線的條數(shù)：①內(nèi)含：0條；②內(nèi)切：1條；③相交：2條；④外切：3條；⑤外離：4條.當兩圓相交時，兩圓方程(x2，y2項系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線的方程.思考辨析判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直線x－y＋k＝0與圓x2＋y2＝1相交”的必要不充分條件.(×)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解，則兩圓外切.(×)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.(×)從兩圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程.(

×

)過圓O：x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程是x0x＋y0y＝r2.(

)(6)過圓O：x2＋y2＝r2外一點P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則O，P，A，B四點共圓且直線AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(

)√√題號答案解析1B2C3340或6由x2＋y2＋2x－4y－4＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圓C的圓心坐標為C(－1,2)，半徑為3，由AC⊥BC可知△ABC是直角邊長為3的等腰直角三角形，故可得圓心C

到直線x－y＋a＝0

的距離為322|－1－2＋a|23

2＝

2

，由點到直線的距離公式可得解得a＝0或a＝6.(1)試證明：不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點；題型一

直線與圓的位置關系例1

已知直線l：y＝kx＋1，圓C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.思維點撥解析思維升華直線與圓的交點個數(shù)即為直線方程與圓方程聯(lián)立而成的方程組解的個數(shù)；思維點撥解析思維升華(1)試證明：不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點；題型一

直線與圓的位置關系例1

已知直線l：y＝kx＋1，圓C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.證明

方法一

由y＝kx＋1，2

2x－1

＋y＋1

＝12，消去y

得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，思維點撥解析思維升華題型一

直線與圓的位置關系例1

已知直線l：y＝kx＋1，圓C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.(1)試證明：不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點；思維點撥

解析 思維升華因為Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)>0，所以不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點.(1)試證明：不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點；題型一

直線與圓的位置關系例1

已知直線l：y＝kx＋1，圓C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.思維點撥

解析 思維升華方法二

圓心

C(1，－1)到題型一

直線與圓的位置關系例1

已知直線l：y＝kx＋1，圓C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.(1)試證明：不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點；|k＋2|1＋k2，直線l

的距離d＝圓

C的半徑

R＝2

3，R2－d2＝12－k2＋4k＋41＋k2＝11k2－4k＋81＋k2，思維點撥

解析 思維升華而在S＝11k2－4k＋8中，Δ＝(－4)2－4×11×8<0，故11k2－4k＋8>0對k∈R恒成立，(1)試證明：不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點；題型一

直線與圓的位置關系例1

已知直線l：y＝kx＋1，圓C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.所以R2－d2>0，即d<R，所以不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點.思維點撥解析思維升華(1)試證明：不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點；題型一

直線與圓的位置關系例1

已知直線l：y＝kx＋1，圓C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.思維點撥解析 思維升華方法三

因為不論k

為何實題型一

直線與圓的位置關系例1

已知直線l：y＝kx＋1，圓C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.(1)試證明：不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點；數(shù)，直線l

總過點P(0，1)，而|PC|＝

5<2

3＝R，所以點P(0,1)在圓C的

，即不論k為何實數(shù)，直線l總經(jīng)過圓C

的定點P.所以不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點.思維點撥解析思維升華(1)試證明：不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點；題型一

直線與圓的位置關系例1

已知直線l：y＝kx＋1，圓C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.思維點撥

解析 思維升華利用圓心到直線的距離可判斷直線與圓的位置關系，也可利用直線的方程與圓的方程聯(lián)立后得到的一元二次方程的判別式來判斷直線與圓的位置關系.(1)試證明：不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點；題型一

直線與圓的位置關系例1

已知直線l：y＝kx＋1，圓C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.思維點撥解析思維升華例1

(2)求直線l被圓C截得的最短弦長.最短弦長可用代數(shù)法或幾何法判定.思維點撥解析思維升華例1

(2)求直線l被圓C截得的最短弦長.思維點撥解析思維升華例1

(2)求直線l被圓C截得的最短弦長.解方法一設直線與圓交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，思維點撥

解析 思維升華例1

(2)求直線l被圓C截得的最短弦長.則直線

l

被圓C

截得的弦長|AB|＝＝21＋k2|x1－x2|8－4k＋11k21＋k2＝211－4k＋31＋k2

，令t4k＋3＝1＋k2

，則tk2－4k＋(t－3)＝0，思維點撥解析思維升華例1

(2)求直線l被圓C截得的最短弦長.當t＝0

時，k＝－3，當t≠04時，因為k∈R，所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，思維點撥

解析 思維升華例1

(2)求直線l被圓C截得的最短弦長.4k＋3故t＝1＋k2

的最大值為4，此時|AB|最小為

2

7.思維點撥解析 思維升華例1

(2)求直線l被圓C截得的最短弦長.方法二

由平面幾何知識，知|AB|＝2

R2－d2＝28－4k＋11k21＋k2，下同方法一.方法三

由平面幾何知思維點撥

解析 思維升華例1

(2)求直線l被圓C截得的最短弦長.識知過圓內(nèi)定點P(0,1)的弦，只有和AC

(C為圓心)垂直時才最短，而此時點P(0,1)為弦AB的中點，由勾股定理，知|AB|＝2

12－5＝2

7，思維點撥

解析 思維升華例1

(2)求直線l被圓C截得的最短弦長.即直線l被圓C截得的最短弦長為

2

7.與弦長有關的問題常用幾何法，即利用弦心距、半徑和弦長的一半構成直角三角形進行求解.思維點撥解析思維升華例1

(2)求直線l被圓C截得的最短弦長.訓練1

(1)若直線ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1相交，則B.在圓外D.以上都有可能1a2＋b2<1，得a2＋b2>1，P(a，b)(

B

)A.在圓上C.在圓內(nèi)解析

由所以點P在圓外.圓心到直線的距離d＝|2＋2×－1－3|1＋45＝3

5，所以弦長為22r2－d2＝2 2

－2

5

＝53

5

2

55.(2)(2014·江蘇)在平面直角坐標系xOy中，直線x＋2y－3＝02

55被圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦長為

5

.解析

圓心為(2，－1)，半徑r＝2.例2

(1)

過點P(2,4)

引圓(x－

1)2＋(y－1)2＝1的切線，則切線方

；題型二

圓的切線問題思維點撥

解析

答案

思維升華例2

(1)

過點P(2,4)

引圓(x－

1)2＋(y－1)2＝1的切線，則切線方

；題型二

圓的切線問題思維點撥

解析

答案

思維升華用待定系數(shù)法，先設出切線方程，再求系數(shù).例2

(1)

過點P(2,4)

引圓(x－

1)2＋(y－1)2＝1的切線，則切線方

；題型二

圓的切線問題思維點撥解析

答案

思維升華解析

當直線的斜率不存在時，直線方

x＝2，此時，圓心到直線的距離等于半徑，直線與圓相切，符合題意；例2

(1)

過點P(2,4)

引圓(x－

1)2＋(y－1)2＝1的切線，則切線方

；題型二

圓的切線問題思維點撥

解析

答案

思維升華當直線的斜率存在時，設直線方

y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，例2

(1)

過點P(2,4)

引圓(x－

1)2＋(y－1)2＝1的切線，則切線方

；題型二

圓的切線問題思維點撥

解析

答案

思維升華即d＝∵直線與圓相切，∴圓心到直線的距離等于半徑，|k－1＋4－2k|k2＋－12＝

|3－k|

＝1，k2＋1例2

(1)

過點P(2,4)

引圓(x－

1)2＋(y－1)2＝1的切線，則切線方；題型二

圓的切線問題思維點撥

解析

答案

思維升華解得k＝4，43x－y4＝0，3∴所求切線方＋4－2×3即4x－3y＋4＝0.題型二

圓的切線問題例2

(1)

過點P(2,4)

引圓(x－

1)2＋(y－1)2＝1的切線，則切線方x＝2或4x－3y＋4＝0

；思維點撥

解析

答案

思維升華解得k＝4，43x－y4＝0，3∴所求切線方＋4－2×3即4x－3y＋4＝0.例2

(1)

過點P(2,4)

引圓(x－

1)2＋(y－1)2＝1的切線，則切線方

；題型二

圓的切線問題思維點撥

解析

答案

思維升華求圓的切線方程的常用方法：(1)設出切線方程，由幾何性質確定參數(shù)值.例2

(1)

過點P(2,4)

引圓(x－

1)2＋(y－1)2＝1的切線，則切線方

；題型二

圓的切線問題思維點撥

解析

答案

思維升華(2)過圓外一點(x0，y0)求切線，既可采用幾何法也可采用代數(shù)法.①幾何方法：當斜率存在時，設為k，切線方程為y－y0＝k(x－x0)，例2

(1)

過點P(2,4)

引圓(x－

1)2＋(y－1)2＝1的切線，則切線方

；題型二

圓的切線問題思維點撥

解析

答案

思維升華由圓心到直線的距離等于半徑求解.②代數(shù)方法：當斜率存在時，設切線方

y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，例2

(1)

過點P(2,4)

引圓(x－

1)2＋(y－1)2＝1的切線，則切線方

；題型二

圓的切線問題思維點撥

解析

答案

思維升華代入圓方程，得一個關于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切線方程即可求出.例2

(2)已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2

＝10，求滿足下列條件的圓的切線方程.①與直線l1：x＋y－4＝0平行；②與直線l2：x－2y＋4＝0垂直；③過切點A(4，－1).思維點撥解析思維升華例2

(2)已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2

＝10，求滿足下列條件的圓的切線方程.①與直線l1：x＋y－4＝0平行；②與直線l2：x－2y＋4＝0垂直；③過切點A(4，－1).用待定系數(shù)法，先設出切線方程，再求系數(shù).思維點撥解析思維升華例2

(2)已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2

＝10，求滿足下列條件的圓的切線方程.1①與直線l

：x＋y－4＝0平行；②與直線l

：x－2y＋4＝0垂直；2③過切點A(4，－1).解 ①設切線方思維點撥

解析思維升華5＝0；則x＋y＋b＝0，|1－2＋b|2＝

10，∴b＝1±2

5，∴切線方x＋y＋1±2例2

(2)已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2

＝10，求滿足下列條件的圓的切線方程.①與直線l1：x＋y－4＝0平行；②與直線l2：x－2y＋4＝0垂直；③過切點A(4，－1).思維升華則|2－2＋m|5＝ 10，思維點撥

解析②設切線方2x＋y＋m＝0，∴m＝±5

2，∴切線方2x＋y±52＝0；例2

(2)已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2

＝10，求滿足下列條件的圓的切線方程.①與直線l1：x＋y－4＝0平行；②與直線l2：x－2y＋4＝0垂直；③過切點A(4，－1).－2＋11③∵kAC＝

1－4

＝3，思維點撥解析思維升華∴過切點A(4，－1)的切線斜率為－3，∴過切點A(4，－1)的切線方

y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0.例2

(2)已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2

＝10，求滿足下列條件的圓的切線方程.①與直線l1：x＋y－4＝0平行；②與直線l2：x－2y＋4＝0垂直；③過切點A(4，－1).思維點撥

解析 思維升華求圓的切線方程的常用方法：(1)設出切線方程，由幾何性質確定參數(shù)值.例2

(2)已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2

＝10，求滿足下列條件的圓的切線方程.①與直線l1：x＋y－4＝0平行；②與直線l2：x－2y＋4＝0垂直；③過切點A(4，－1).思維點撥

解析 思維升華0

0(2)過圓外一點(x

，y

)求切線，既可采用幾何法也可采用代數(shù)法.①幾何方法：當斜率存在時，設為k，切線方程為y－y0＝k(x－x0)，例2

(2)已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2

＝10，求滿足下列條件的圓的切線方程.①與直線l1：x＋y－4＝0平行；②與直線l2：x－2y＋4＝0垂直；③過切點A(4，－1).思維點撥

解析 思維升華由圓心到直線的距離等于半徑求解.②代數(shù)方法：當斜率存在時，設切線方

y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，例2

(2)已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2

＝10，求滿足下列條件的圓的切線方程.①與直線l1：x＋y－4＝0平行；②與直線l2：x－2y＋4＝0垂直；③過切點A(4，－1).思維點撥

解析 思維升華代入圓方程，得一個關于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切線方程即可求出.訓練2

(2013·江蘇)如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l：y＝2x－4.設圓C的半徑為1，圓心在l上.(1)若圓心C也在直線y＝x－1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；解

由題設，圓心C是直線y＝2x－4和y＝x－1的交點，解得點C(3,2)，于是切線的斜率必存在.設過A(0,3)的圓C的切線方

y＝kx＋3，k2＋14由題意，得|3k＋1|

＝1，解得k＝0

或－3，故所求切線方

y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)若圓C上存在點M，使|MA|＝2|MO|，求圓心C的橫坐標a的取值范圍.解

因為圓心在直線y＝2x－4上，所以圓C的方(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.設點

M(x，y)，因為|MA|＝2|MO|，所以

x2＋y－32＝2

x2＋y2，化簡得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，(2)若圓C上存在點M，使|MA|＝2|MO|，求圓心C的橫坐標a的取值范圍.所以點M在以D(0，－1)為圓心，2為半徑的圓上.由題意，點M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點，則|2－1|≤|CD|≤2＋1，即

1≤

a2＋2a－32≤3.由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，(2)若圓C上存在點M，使|MA|＝2|MO|，求圓心C的橫坐標a的取值范圍.所以點C

的橫坐標a

的取值范圍為0，125.題型三

圓與圓的位置關系例3

(1)已知兩圓C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，則兩圓公共弦所在的直線方程是

.思維升華解析答案兩圓的方程相減得：x－2y＋4＝0.思維升華解析答案題型三

圓與圓的位置關系例3

(1)已知兩圓C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，則兩圓公共弦所在的直線方程是

.思維升華解析答案題型三

圓與圓的位置關系例3

(1)已知兩圓C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，則兩圓公共弦所在的直線方程是

x－2y＋4＝0

.兩圓的方程相減得：x－2y＋4＝0.解析

答案 思維升華判斷兩圓的位置關系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關系，一般不采用代數(shù)法.題型三

圓與圓的位置關系例3

(1)已知兩圓C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，則兩圓公共弦所在的直線方程是

x－2y＋4＝0

.解析

答案 思維升華若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2

，y2項得到.題型三

圓與圓的位置關系例3

(1)已知兩圓C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，則兩圓公共弦所在的直線方程是

x－2y＋4＝0

.例3

(2)兩圓x2＋y2－6x＋6y－48＝0與x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切線的條數(shù)是

.思維升華解析答案例3

(2)兩圓x2＋y2－6x＋6y－48＝0與x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切線的條數(shù)是

.思維升華解析

答案兩圓圓心距d＝

74<

66＋

64，∴兩圓相交，故有2條公切線.思維升華例3

(2)兩圓x2＋y2－6x＋6y－48＝0與x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切線的條數(shù)是

2

.解析

答案兩圓圓心距d＝

74<

66＋

64，∴兩圓相交，故有2條公切線.判斷兩圓的位置關系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關系，一般不采用代數(shù)法.例3

(2)兩圓x2＋y2－6x＋6y－48＝0與x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切線的條數(shù)是

2

.解析

答案 思維升華若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2

，y2項得到.例3

(2)兩圓x2＋y2－6x＋6y－48＝0與x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切線的條數(shù)是

2

.解析

答案 思維升華例3

(3)已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，若由動點P向⊙O和⊙O′所引的切線長相等，則動點P的軌跡方程是

.思維升華解析答案例3

(3)已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，若由動點P向⊙O和⊙O′所引的切線長相等，則動點P的軌跡方程是

.解析

答案 思維升華⊙O

的圓心為(0,0)，半徑為

2，⊙O′的圓心為(4,0)，半徑為

6，例3

(3)已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，若由動點P向⊙O和⊙O′所引的切線長相等，則動點P的軌跡方程是

.解析

答案 思維升華設點P為(x，y)，由已知條件和圓切線性質得x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6，2.設點P為(x，y)，由已知條件和圓切線性質得x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6，2.x＝3解析

答案 思維升華例3

(3)已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，若由動點P向⊙O和⊙O′所引的切線長相等，則動點P的軌跡方程是

2

.判斷兩圓的位置關系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關系，一般不采用代數(shù)法.例3

(3)已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，若由動點P向⊙O和⊙O′所引的切線長相等，則動點P的軌跡方程是

.解析

答案 思維升華若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2

，y2項得到.解析

答案 思維升華例3

(3)已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，若由動點P向⊙O和⊙O′所引的切線長相等，則動點P的軌跡方程是

.訓練3

(1)圓C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0的位置關系為(

)A.外離

B.外切

C.相交

D.內(nèi)切解析

∵圓C1：x2＋y2－2y＝0的圓心為：C1(0,1),半徑r1＝1，圓

C2：x2＋y2－2 3x－6＝0

的圓心為：C2(

3,0),半徑

r2＝3，∴|C1C2|＝

32＋1＝2，又r1＋r2＝4，r2－r1＝2，A.外離

B.外切∴|C1C2|＝r2－r1＝2，∴圓C1與C2內(nèi)切.C.相交

D.內(nèi)切3x－6訓練3

(1)圓C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－2＝0的位置關系為(

D

)解M＝{(x，y)|y＝

2a2－x2，a>0}，即{(x，y)|x2＋y2＝2a2，

y≥0}，表示以原點O

為圓心，半徑等于2a的半圓(位于橫軸或橫軸以上的部分).N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－3)2＝a2，a>0}，表示以

O′(1，3)為圓心，半徑等于

a

的一個圓.(2)設

M＝{(x，y)|y＝

2a2－x2，a>0},N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－

3)2＝a2，a>0}，且

M∩N≠?,求

a

的最大值和最小值.(2)設

M＝{(x，y)|y＝

2a2－x2，a>0},N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－

3)2＝a2，a>0}，且

M∩N≠?,求

a

的最大值和最小值.再由M∩N≠?，可得半圓和圓有交點，故半圓和圓相交或相切.當半圓和圓相外切時，由|OO′|＝2＝

2a＋a，求得

a＝2

2－2；(2)設

M＝{(x，y)|y＝

2a2－x2，a>0},N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－

3)2＝a2，a>0}，且

M∩N≠?,求

a

的最大值和最小值.當半圓和圓相內(nèi)切時，由|OO′|＝2＝

2a－a，求得a＝2

2＋2，故

a的取值范圍是[2

2－2,2

2＋2]，a的最大值為

2

2＋2，最小值為

2

2－2.一、與圓有關的最值問題典例：(1)(2014·江西)在平面直角坐標系中，A，B分別是x軸和y軸上的動點，若以AB為直徑的圓C與直線2x＋y－4＝0相切，則圓C面積的最小值為(

)高頻小考點8

高

與圓交匯問題的求解54

3A.5π

B.4π思維點撥C.(6－2

5)π解析D.4π溫馨提醒原點O在圓上，當切點與O連線過圓心時，半徑最小.思維點撥解析溫馨提醒解析

∵∠AOB＝90°，∴點O在圓C上.設直線2x＋y－4＝0與圓C相切于點D，則點C與點O間的距離等于它到直線2x＋y－4＝0的距離，∴點C在以O為焦點，以直線2x＋y－4＝0為準線的拋物線上，思維點撥解析溫馨提醒|2×0＋0－4|54又|OD|＝

＝

5，5∴圓C

的最小半徑為2

，5∴圓C

面積的最小值為π(

2

)2＝45π.思

維

點

撥 解

析 溫馨

提

醒∴當且僅當O，C，D共線時，圓的直徑最小為|OD|.答案

A與圓有關的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值,求點到直線的距離的最值,求相關參數(shù)的最值等方面.解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質將問題轉化.如本例(1)中,將面積問題轉化為了點到直線的距離；熟練掌握圓的幾何性質是解決問題的根本.思

維

點

撥 解

析 溫

馨

提

醒(2)(2014· )已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點A(－m,0)，B(m，0)(m>0)，若圓C上存在點P，使得∠APB＝90°，則m的最大值為(

)A.7

B.6

C.5

D.4思

維

點

撥

解

析

溫

馨

提

醒以AB為直徑的圓與圓C有交點.思維點撥解析溫馨提醒，則圓心C的坐標為(3,4)，半徑r＝1，且|AB|＝2m.因為∠APB＝90°，連接OP，易知|OP|＝12|AB|＝m.思

維

點

撥

解析解析

根據(jù)題意，畫出示意圖，溫馨提醒思

維

點

撥

解析要求m的最大值，即求圓C上的點P到原點O的最大距離.溫馨提醒因為|OC|＝

32＋42＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值為6.答案

B與圓有關的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值,求點到直線的距離的最值,求相關參數(shù)的最值等方面.解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質將問題轉化.如本例(2)中，將參數(shù)范圍轉化為了兩圓位置關系問題.熟練掌握圓的幾何性質是解決問題的根本.思

維

點

撥

解析溫馨提醒思

維

點

撥

解析

溫

馨

提

醒、例：(3)設m，n∈R(y－1)2＝1

相切，則m＋n

的取值范B.(－∞，1－D.(－∞，2－2A.[1－

3，1＋

3]C.[2－2

2，2＋2

2]3]∪[2]∪[2＋2

2，＋圓與不等式的交匯實質上反映了圓的獨特性質，即圓內(nèi)點、圓外點的性質，直線與圓相交、相離的性質，圓與圓的相交、相離的性質等，這些問題反映在代數(shù)上就是不等式的形式.思維點撥解析溫馨提醒思維點撥解析溫馨提醒解析

根據(jù)圓心到直線的距離是1得到m，n的關系，再用基本不等式求解.圓心(1,1)

到直線(m

＋

1)x

＋

(n

＋

1)y

－

2

＝

0

的距離為|m＋n|m＋12＋n＋12＝1，思維點撥解析溫馨提醒所以m＋n＋1＝m所以m＋n≥2＋2答案

D42或

m＋n≤2－2

2.直線與圓位置關系的考查，一般是已知位置關系求參數(shù)值，基本不等式的考查，一般是給出參數(shù)關系，利用基本不等

式求最值或范圍.而典例(3)卻以直線與圓的位置關系給出參數(shù)之間的數(shù)量關系，利用基本不等式轉化，結合換元法把關系轉化為一元二次不等式，從而求得m＋n的取值范圍，這一交匯命題新穎獨特，考查知識全面，難度中等，需要注意各知識點應熟練掌握才能逐一化解.思

維

點

撥

解

析

溫

馨

提

醒思

維

點

撥

解析

溫

馨

提

醒(4)(2014· )過點

P(－

3，－1)的直線

l

與圓

x2＋y2＝1

有公共點，則直線

l

的傾斜角的取值范圍是(

)A.

0，6B.0，

π

π3C.0，

π6D.

0，

π3圓與不等式的交匯實質上反映了圓的獨特性質，即圓內(nèi)點、圓外點的性質，直線與圓相交、相離的性質，圓與圓的相交、相離的性質等，這些問題反映在代數(shù)上就是不等式的形式.思維點撥解析溫馨提醒圓有公

|

3k－1|共點知

1＋k2

≤1.解得0≤k≤3.故直線l

的傾斜角的取值范圍是[0，π

.3]答案

D思維點撥析

設過點

P

的直線方解析溫馨提醒直線與圓位置關系的考查，一般是已知位置關系求參數(shù)值，基本不等式的考查，一般是給出參數(shù)關系，利用基本不等

式求最值或范圍.思維點撥解析溫馨提醒方法與技巧1.直線與圓的位置關系體現(xiàn)了圓的幾何性質和代數(shù)方法的結合，“代數(shù)法”與“幾何法”是從不同的方面和思路來判斷的.2.求過一點的圓的切線方程時，首先要判斷此點是否在圓上，然后設出切線方程.注意：斜率不存在的情形.方法與技巧3.圓的弦長的常用求法(1)幾何法：求圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則

2

l

2

2

2＝r

－d

；(2)代數(shù)方法：運用根與系數(shù)的關系及弦長公式：|AB|＝

1＋k2|x1－x2|＝

1＋k2[x1＋x22－4x1x2].失誤與防范1.求圓的弦長問題，注意應用圓的性質解題，即用圓心與弦中點連線與弦垂直的性質，可以用勾股定理或斜率之積為－1列方程來簡化運算.2.過圓上一點作圓的切線有且只有一條；過圓外一點作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運算過程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解.12345678910123456789101.(2014·湖南)若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m等于(

C

)A.21

B.19

C.9

D.－11解析

圓C2的標準方

(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.又圓C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.又∵兩圓外切，∴5＝1＋

25－m，解得

m＝9.123456789102.(2013·福建)已知直線l過圓x2＋(y－3)2＝4的圓心，且與直線x＋y＋1＝0垂直，則l的方程是(

)A.x＋y－2＝0C.x＋y－3＝0B.x－y＋2＝0D.x－y＋3＝0解析

圓x2＋(y－3)2＝4的圓心為點(0,3)，又因為直線l與直線x＋y＋1＝0垂直，12345678910所以直線l的斜率k＝1.由點斜式得直線l：y－3＝x－0，化簡得x－y＋3＝0.答案

D＋2by＋b2－1＝0

(b∈R)內(nèi)切，則ab的最大值為(

)A.

2

B.2

C.4

D.2

2解析

圓C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0

(a∈R).化為：(x－a)2＋y2＝9，圓心坐標為(a,0)，半徑為3.123456789103.若圓C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)與圓C2：x2＋y212345678910圓C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0 (b∈R)，化為x2＋(y＋b)2＝1，圓心坐標為(0，－b)，半徑為1，∵圓C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0 (a∈R)與圓C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)內(nèi)切，∴

a2＋b2＝3－1，即a

＋b∴ab的最大值為2.

答案

B123456789104.(2013·山東)過點P(3,1)作圓C：(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，則直線AB的方

(

)A.2x＋y－3＝0C.4x－y－3＝0B.2x－y－3＝0D.4x＋y－3＝012345678910∴kAB＝－2，∴直線AB的方y(tǒng)－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.答案

A解析：由題意知：AB⊥PC，PC2k

＝1，123456789105.已知直線y＝kx＋b

與圓O：x2＋y2＝1

相交于A，B

兩點，2當

b＝

1＋k

時，

→

·

→

等于(

)OA

OBA.1解析B.2

C.3

D.4設A(x1，y1)，B(x2，y2)，將y＝kx＋b代入x2＋y2＝1得(1＋k2)x2＋2kbx＋b2－1＝0，

2kbb2－1故x1＋x2＝－1＋k2，x1x2＝1＋k2，12345678910→21

2

1

2

1

2

1

2從而→·OB＝x

x

＋y

y

＝(1＋k

)x

x

＋kb(x

＋x

)＋bOA22＝b

－1－2k2b21＋k22＋b

＝2b21＋k2－1＝1.答案

A123456789104x－x2有公共點，則b

的取6.若直線y＝x＋b

與曲線

y＝3－值范圍是

.解析

由

y＝3－

4x－x2，得(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3).∴曲線

y＝3－

4x－x2是半圓,如圖中實線所示.12345678910|2－3＋b|2＝2.∴b

的取值范圍是由圖可知

b＝1－2

2.1－22，3.答案 1－2

2≤b≤3當直線y＝x＋b

與圓相切時，∴b＝1±2

2.123456789107.(2014·

)已知曲線

C：x＝－

4－y2，直線

l：x＝6，若于點A(m,0)，存在C

上的點P

和l

上的Q

使得→＋→＝0，AP

AO則

m

的取值范圍為

.解析

曲線

C：x＝－

4－y2，是以原點為圓心，2為半徑的圓，并且

xP∈[－2,0]，對于點

A(m,0)，存在

C

上的點

P和l

上的Q

使得→＋→＝0，AP

AQ12345678910∴m＝6＋xP2∈[2,3].說明A是PQ的中點，Q的橫坐標x＝6，答案

[2,3]12345678910若圓x2＋y2＝4

與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦長為2

3，則a＝

1

.解析

方程x2＋y2＋2ay－6＝0與x2＋y2＝4.相減得

2ay＝2，則y＝1

由已知條件

22－

32＝1，a即a＝1.123456789109.已知以點

C(t，2

t∈R，t≠0)為圓心的圓與x

軸交于點

O，t

)(A，與y

軸交于點O，B，其中O

為原點.(1)求證：△OAB

的面積為定值；證明

∵圓

C

過原點

O，∴|OC|2＝t2＋4.t2設圓C

的方程是(x－t)2＋(y－2

2＝t2＋4，t

)

t212345678910令x＝0，得y1＝令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，∴S△OAB＝1

1

42|OA|·|OB|＝2×|

t

|×|2t|＝4，即△OAB

的面積為定值.12345678910∵k

＝－2，∴kMN

OC＝12.(2)設直線y＝－2x＋4與圓C交于點M，N，若|OM|＝|ON|，求圓C的方程.解

∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，∴OC垂直平分線段MN.123456789102

1∴t

＝2t，解得t＝2

或t＝－2.5此時C

到直線

y＝－2x＋4

的距離d＝

1

<當

t＝2

時，圓心

C

的坐標為(2,1)，|OC|＝

5，5，圓C

與直線y＝－2x＋4

相交于兩點.當

t＝－2

時，圓心

C

的坐標為(－2，－1)，|OC|＝

5，123456789105此時

C

到直線

y＝－2x＋4

的距離

d＝

9

>

5.圓C與直線y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合題意，舍去.∴圓C的方

(x－2)2＋(y－1)2＝5.10.已知矩形ABCD的對角線交于點P(2,0)，邊AB所在直線的方

x－3y－6＝0，點(－1,1)在邊AD所在的直線上.(1)求矩形ABCD的外接圓的方程；解

∵lAB：x－3y－6＝0且AD⊥AB，點(－1,1)在邊AD所在的直線上，∴AD所在直線的方程是y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0.12345678910由x－3y－6＝0，3x＋y＋2＝0，得A(0，－2).∴|AP|＝

4＋4＝2

2，∴矩形ABCD的外接圓的方程是(x－2)2＋y2＝8.1234567891012345678910(2)已知直線l：(1－2k)x＋(1＋k)y－5＋4k＝0(k∈R)，求證：直線l與矩形ABCD的外接圓恒相交，并求出相交的弦長最短時的直線l的方程.解

直線l的方程可化為k(－2x＋y＋4)＋x＋y－5＝0，l可看作是過直線－2x＋y＋4＝0和x＋y－5＝0的交點(3,2)的直線系，即l恒過定點Q(3,2)，12345678910由(3－2)2＋22＝5<8知點Q在圓P內(nèi)，∴l(xiāng)與圓P恒相交.設l與圓P的交點為M，N，則|MN|＝2 8－d2(d

為

P

到

l

的距離)，設PQ

與l

的夾角為θ，則d＝|PQ|·sinθ＝5sin

θ，12345678910當θ＝90°時，d最大，|MN|最短.2此時l

的斜率為PQ

的斜率的負倒數(shù)，即－1，2故

l

的方

y－2＝－1

x－3)，即

x＋2y－7＝0.(14151613121111.若直線l：y＝kx＋1 (k<0)與圓C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝011

12

13

14

15

16相切，則直線l與圓D：(x－2)2＋y2＝3的位置關系是(

)A.相交

B.相切

C.相離

D.不確定解析

因為圓C的標準方

(x＋2)2＋(y－1)2＝2，所以其圓心坐標為(－2,1)，半徑為

2，11

12

13

14|－2k－1＋1|因為直線

l

與圓

C

相切.所以

＝15

162，解得k＝±1

，k2＋1因為k<0，所以k＝－1，所以直線l的方x＋y－1＝0.22|2＋0－1|

2圓心

D(2,0)到直線

l的距離

d＝

＝

<

3，所以直線l與圓D相交.

答案

A1611

12

13

14

1512.設曲線C

的方x－3y＋2＝0，則曲線上的點到直線l

的距離為71010的點的數(shù)為(

)A.1