數(shù)學(xué)分析例題

數(shù)學(xué)分析例題數(shù)學(xué)分析例題數(shù)學(xué)分析例題數(shù)學(xué)分析例題編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:一、極限論例證明，其中a>0為常數(shù).例設(shè){}為例所得的數(shù)列，即證明.例證明.例求.例求.例求.例例證明.例求.例設(shè)求.例證明極限存在.例若，則數(shù)列{}收斂.例證明.例證明（1）（2）例證明.例證明.例證明例證明（1）（2）.例求極限.例求極限例求證例例例例求例例例例求例求極限例求極限例考查函數(shù)在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性.例x=0是的第二類間斷點(diǎn).例是的第二類間斷點(diǎn).例例例根據(jù)初等函數(shù)的連續(xù)性與復(fù)合函數(shù)連續(xù)性，有（1）（2）（3）例求例證明方程在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)根.一致連續(xù)性例例例書上49頁.實(shí)數(shù)的連續(xù)性、上下極限書上51頁.補(bǔ)充：部分例子仍在書中，看書為準(zhǔn).二、一元函數(shù)微分學(xué)例求函數(shù)在點(diǎn)x=1處的導(dǎo)數(shù).例設(shè).例證明函數(shù)例設(shè),確定函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=0處的可導(dǎo)性.例求等邊雙曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線方程和法線方程.例求導(dǎo)(1)(2)例證明(1)(2)例證明例證明：（1）（2）例求導(dǎo)數(shù)（1）（2）例求導(dǎo)數(shù)（1）（2）例求導(dǎo)數(shù)（1）（2）（3）（4）例求導(dǎo)（1）（2）例求橢圓所確定的參數(shù)變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并求出該橢圓在的對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線方程。例在不計(jì)空氣阻力的情況下，以發(fā)射角a及初速度射出的炮彈，其運(yùn)動(dòng)軌跡由參數(shù)方程給出，其中t為時(shí)間參數(shù)，試求炮彈在任意時(shí)刻t的速度和方向。例設(shè)方程確定了一個(gè)隱函數(shù)例求方程所確定的隱函數(shù)在x=0處的導(dǎo)數(shù)例試求曲線在點(diǎn)處的切線方程例地面上空2km處有一架飛機(jī)作水平飛行，時(shí)速為每小時(shí)200km。機(jī)上觀察員正在瞄準(zhǔn)前方礦山，用航空攝影進(jìn)行地面測(cè)量。因?yàn)轱w機(jī)的位置在改變，必須轉(zhuǎn)動(dòng)攝影機(jī)才能保持礦山在鏡頭之內(nèi)，試問當(dāng)俯角為90°時(shí)，攝影機(jī)的角速度是多少？

例曲柄連桿機(jī)如圖，當(dāng)曲柄OC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，連桿BC在OS軸的上下擺動(dòng)，且推動(dòng)滑塊B作往復(fù)直線運(yùn)動(dòng)，由三角知識(shí)可得，滑塊B的位移s與的關(guān)系為：例（1）求函數(shù)在點(diǎn)x=0的微分（2）求函數(shù)例求下列函數(shù)的微分（1）（2）例求由方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).例求曲線在點(diǎn)（2，1）處的切線方程.例設(shè)已經(jīng)測(cè)得圓鋼的直徑為43cm，且已知絕對(duì)誤差不超過，求由此所引起的圓鋼截面積的絕對(duì)誤差.例鐘表原來的周期是1s，冬季擺長(zhǎng)縮短了，試問這個(gè)鐘每天大約快多少（）例求的近似值.例求的近似值.例例.例旋輪線的參數(shù)方程為.例設(shè)隱函數(shù)方程為，試求二階導(dǎo)數(shù).例證明對(duì)一切x>-1,都有成立.例如果f（x）的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，試證函數(shù)f（x）在[a，b]上滿足利布希茨條件，即存在常數(shù)L>0，使對(duì)一切，都有.例例P91例討論函數(shù)在點(diǎn)x=0處的可導(dǎo)性.例確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.例討論函數(shù)的單調(diào)性.例證明例求的極值點(diǎn)和極值.例求函數(shù)在區(qū)間[-1，2]上的最大值和最小值例有一張長(zhǎng)方形不銹鋼薄板，長(zhǎng)為a，寬為，將它的四角各截去一個(gè)大小相同的小正方形，然后將四邊折起來，做成一個(gè)屋改的小方盒，試問截去的小正方形邊長(zhǎng)為多少時(shí)，盒子的體積最大？并求該最大值.

例如圖2-22所示，鐵路線上AB段的距離為100km，工廠C距A處為20km，AC垂直于AB.為了運(yùn)輸需要,要在AB線上選定一點(diǎn)D向工廠修筑一條公路.已知鐵路每公里貨運(yùn)的費(fèi)用與公路上每公里貨運(yùn)的費(fèi)用之比為3:5.為了使貨物從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省,試問D點(diǎn)應(yīng)選在何處?

例設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b），則，使得.例由洛必達(dá)法則得例由洛必達(dá)法則得例由洛必達(dá)法則得例由洛必達(dá)法則得例由洛必達(dá)法則得例由洛必達(dá)法則得例求極限例求極限例求極限例求極限例求極限例求極限例求極限例求極限注意：和不能用洛必達(dá)法則算出。泰勒公式：例求函數(shù)的麥克勞林公式（帶皮亞諾余項(xiàng)）例求函數(shù)的麥克勞林公式（帶皮亞諾余項(xiàng)）例求函數(shù)lnx在點(diǎn)x=2處的泰勒公式（帶皮亞諾余項(xiàng)）例求函數(shù)tanx的四階麥克勞林公式（帶皮亞諾余項(xiàng)）例設(shè)，求.例求不定式極限例求不定式極限例求不定式極限例求函數(shù)的極值.例（1）求e的近似值，使其誤差小于（2）證明e是無理數(shù)關(guān)于凹凸函數(shù)：不過補(bǔ)充一下，中國(guó)數(shù)學(xué)界關(guān)于函數(shù)凹凸性定義和國(guó)外很多定義是反的。國(guó)內(nèi)教材中的凹凸，是指曲線，而不是指函數(shù)，圖像的凹凸與直觀感受一致，卻與函數(shù)的凹凸性相反。只要記住“函數(shù)的凹凸性與曲線的凹凸性相反”就不會(huì)把概念搞亂了。另外，國(guó)內(nèi)各不同學(xué)科教材、輔導(dǎo)書的關(guān)于凹凸的說法也是相反的。一般來說，可按如下方法準(zhǔn)確說明：1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2)，即V型，為“凸向原點(diǎn)”，或“下凸”（也可說上凹），（有的簡(jiǎn)稱凸有的簡(jiǎn)稱凹）2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2)，即A型，為“凹向原點(diǎn)”，或“上凸”（下凹），（同樣有的簡(jiǎn)稱凹有的簡(jiǎn)稱凸）例考察函數(shù)的凸性.例求曲線的漸近線.例作出例函數(shù)圖像.例試作出函數(shù)的圖像.例書本P120例設(shè)曲線通過點(diǎn)（1,2），且該曲線上任意一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方的3倍，求該函數(shù)的方程.例試求函數(shù)在區(qū)間上的不定積分.例例例例例例例例例例例例例例求不定積分例求不定積分例求不定積分例求不定積分例求不定積分例求不定積分例例例例求不定積分例求不定積分例求不定積分.例求不定積分.例求不定積分.例求不定積分.例求不定積分.例求不定積分例求不定積分例求不定積分例運(yùn)用配方法和歐拉變換法求不定積分例按定義計(jì)算定積分.例按定義計(jì)算定積分.例證明狄利克雷函數(shù)D(x)在區(qū)間[0,1]上不可積.例應(yīng)用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算下列定積分(1)(2)(3)(4)例求和式極限例設(shè)為有界數(shù)列，令，則f(x)在[0,1]上可積.例證明黎曼函數(shù)R(x)在[0,1]上可積，且.例設(shè)例計(jì)算定積分例計(jì)算定積分例計(jì)算定積分例計(jì)算定積分例計(jì)算定積分例計(jì)算定積分例計(jì)算和例求由拋物線與直線所圍成區(qū)域的面積例求橢圓的面積例求心形線所圍成區(qū)域的面積例求兩圓柱面與所圍成的立體體積例~（旋轉(zhuǎn)體與圓環(huán)體體積）P175例求曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得到旋轉(zhuǎn)體體積.例求旋輪線的長(zhǎng)例求懸鏈線的長(zhǎng).例求拋物線上曲率最大的點(diǎn).例設(shè)元件內(nèi)表面截線為拋物線，如圖2-35所示，要用砂輪打磨其內(nèi)表面，試問用半徑多大的砂輪才比較合適？

例計(jì)算圓在一段弧繞x軸旋轉(zhuǎn)所得球帶面積.例如圖3-77所示，求星形線繞x軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面的面積.例~P184例討論無窮積分的斂散性.例例例計(jì)算瑕積分的值.例討論