八年級(jí)數(shù)學(xué)經(jīng)典難題答案解析

27/27初二數(shù)學(xué)經(jīng)典難題一、解答題（共10小題，滿分100分）1．（10分）已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)，∠PAD=∠PDA=15°．求證：△PBC是正三角形．（初二）2．（10分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長線交MN于E、F．求證：∠DEN=∠F．3．（10分）如圖，分別以△ABC的邊AC、BC為一邊，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)，求證：點(diǎn)P到AB的距離是AB的一半．4．（10分）設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且∠PBA=∠PDA．求證：∠PAB=∠PCB．5．（10分）P為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的邊長．6．（10分）一個(gè)圓柱形容器的容積為V立方米，開始用一根小水管向容器內(nèi)注水，水面高度達(dá)到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管2倍的大水管注水．向容器中注滿水的全過程共用時(shí)間t分．求兩根水管各自注水的速度．7．（10分）（2009?郴州）如圖1，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）為雙曲線上的一點(diǎn)，Q為坐標(biāo)平面上一動(dòng)點(diǎn)，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B．（1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在直線MO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線MO上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得△OBQ與△OAP面積相等？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限中的雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作以O(shè)P、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長的最小值．8．（10分）（2008?海南）如圖，P是邊長為1的正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（P與A、C不重合），點(diǎn)E在線段BC上，且PE=PB．（1）求證：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）設(shè)AP=x，△PBE的面積為y．①求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；②當(dāng)x取何值時(shí)，y取得最大值，并求出這個(gè)最大值．9．（10分）（2010?河南）如圖，直線y=k1x+b與反比例函數(shù)（x＞0）的圖象交于A（1，6），B（a，3）兩點(diǎn)．（1）求k1、k2的值．（2）直接寫出時(shí)x的取值范圍；（3）如圖，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD邊在x軸上，過點(diǎn)C作CE⊥OD于點(diǎn)E，CE和反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P，當(dāng)梯形OBCD的面積為12時(shí)，請(qǐng)判斷PC和PE的大小關(guān)系，并說明理由．10．（10分）（2007?福州）如圖，已知直線y=x與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4．（1）求k的值；（2）若雙曲線上一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8，求△AOC的面積；（3）過原點(diǎn)O的另一條直線l交雙曲線于P，Q兩點(diǎn)（P點(diǎn)在第一象限），若由點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為24，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．初二數(shù)學(xué)經(jīng)典難題參考答案與試題解析一、解答題（共10小題，滿分100分）1．（10分）已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)，∠PAD=∠PDA=15°．求證：△PBC是正三角形．（初二）考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定。專題：證明題。分析：在正方形內(nèi)做△DGC與△ADP全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出△PDG為等邊，三角形，根據(jù)SAS證出△DGC≌△PGC，推出DC=PC，推出PB=DC=PC，根據(jù)等邊三角形的判定求出即可．解答：證明：∵正方形ABCD，∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，∵∠PAD=∠PDA=15°，∴PA=PD，∠PAB=∠PDC=75°，在正方形內(nèi)做△DGC與△ADP全等，∴DP=DG，∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°，∴∠PDG=90°﹣15°﹣15°=60°，∴△PDG為等邊三角形（有一個(gè)角等于60度的等腰三角形是等邊三角形），∴DP=DG=PG，∵∠DGC=180°﹣15°﹣15°=150°，∴∠PGC=360°﹣150°﹣60°=150°=∠DGC，在△DGC和△PGC中，∴△DGC≌△PGC，∴PC=AD=DC，和∠DCG=∠PCG=15°，同理PB=AB=DC=PC，∠PCB=90°﹣15°﹣15°=60°，∴△PBC是正三角形．點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確作出輔助線，又是難點(diǎn)，題型較好，但有一定的難度，對(duì)學(xué)生提出了較高的要求．2．（10分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長線交MN于E、F．求證：∠DEN=∠F．考點(diǎn)：三角形中位線定理。專題：證明題。分析：連接AC，作GN∥AD交AC于G，連接MG，根據(jù)中位線定理證明MG∥BC，且GM=BC，根據(jù)AD=BC證明GM=GN，可得∠GNM=∠GMN，根據(jù)平行線性質(zhì)可得：∠GMF=∠F，∠GNM=∠DEN從而得出∠DEN=∠F．解答：證明：連接AC，作GN∥AD交AC于G，連接MG．∵N是CD的中點(diǎn)，且NG∥AD，∴NG=AD，G是AC的中點(diǎn)，又∴M是AB的中點(diǎn)，∴MG∥BC，且MG=BC．∵AD=BC，∴NG=GM，△GNM為等腰三角形，∴∠GNM=∠GMN，∵GM∥BF，∴∠GMF=∠F，∵GN∥AD，∴∠GNM=∠DEN，∴∠DEN=∠F．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查平行線性質(zhì)，以和三角形中位線定理，關(guān)鍵是證明△GNM為等腰三角形．3．（10分）如圖，分別以△ABC的邊AC、BC為一邊，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)，求證：點(diǎn)P到AB的距離是AB的一半．考點(diǎn)：梯形中位線定理；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：分別過E，F(xiàn)，C，P作AB的垂線，垂足依次為R，S，T，Q，則PQ=（ER+FS），易證Rt△AER≌Rt△CAT，則ER=AT，F(xiàn)S=BT，ER+FS=AT+BT=AB，即可得證．解答：解：分別過E，F(xiàn)，C，P作AB的垂線，垂足依次為R，S，T，Q，則ER∥PQ∥FS，∵P是EF的中點(diǎn)，∴Q為RS的中點(diǎn)，∴PQ為梯形EFSR的中位線，∴PQ=（ER+FS），∵AE=AC（正方形的邊長相等），∠AER=∠CAT（同角的余角相等），∠R=∠ATC=90°，∴Rt△AER≌Rt△CAT（AAS），同理Rt△BFS≌Rt△CBT，∴ER=AT，F(xiàn)S=BT，∴ER+FS=AT+BT=AB，∴PQ=AB．點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了梯形中位線定理、全等三角形的判定以和正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，輔助線的作法很關(guān)鍵．4．（10分）設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且∠PBA=∠PDA．求證：∠PAB=∠PCB．考點(diǎn)：四點(diǎn)共圓；平行四邊形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：根據(jù)已知作過P點(diǎn)平行于AD的直線，并選一點(diǎn)E，使PE=AD=BC，利用AD∥EP，AD∥BC，進(jìn)而得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，得出AEBP共圓，即可得出答案．解答：證明：作過P點(diǎn)平行于AD的直線，并選一點(diǎn)E，使PE=AD=BC，∵AD∥EP，AD∥BC．∴四邊形AEPD是平行四邊形，四邊形PEBC是平行四邊形，∴AE∥DP，BE∥PC，∴∠ABP=∠ADP=∠AEP，∴AEBP共圓（一邊所對(duì)兩角相等）．∴∠BAP=∠BEP=∠BCP，∴∠PAB=∠PCB．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了四點(diǎn)共圓的性質(zhì)以和平行四邊形的性質(zhì)，熟練利用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．5．（10分）P為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的邊長．考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。專題：綜合題。分析：把△ABP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BEC，根據(jù)勾股定理得到PE=2a，再根據(jù)勾股定理逆定理證明△PEC是直角三角形，從而得到∠BEC=135°，過點(diǎn)C作CF⊥BE于點(diǎn)F，△CEF是等腰直角三角形，然后再根據(jù)勾股定理求出BC的長度，即可得到正方形的邊長．解答：解：如圖所示，把△ABP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BEC，∴△APB≌△CEB，∴BE=PB=2a，∴PE==2a，在△PEC中，PC2=PE2+CE2=9a2，∴△PEC是直角三角形，∴∠PEC=90°，∴∠BEC=45°+90°=135°，過點(diǎn)C作CF⊥BE于點(diǎn)F，則△CEF是等腰直角三角形，∴CF=EF=CE=a，在Rt△BFC中，BC===a，即正方形的邊長為a．點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變化的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理以和逆定理的應(yīng)用，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．6．（10分）一個(gè)圓柱形容器的容積為V立方米，開始用一根小水管向容器內(nèi)注水，水面高度達(dá)到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管2倍的大水管注水．向容器中注滿水的全過程共用時(shí)間t分．求兩根水管各自注水的速度．考點(diǎn)：分式方程的應(yīng)用。分析：設(shè)小水管進(jìn)水速度為x，則大水管進(jìn)水速度為4x，一個(gè)圓柱形容器的容積為V立方米，開始用一根小水管向容器內(nèi)注水，水面高度達(dá)到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管2倍的大水管注水．向容器中注滿水的全過程共用時(shí)間t分可列方程求解．解答：解：設(shè)小水管進(jìn)水速度為x立方米/分，則大水管進(jìn)水速度為4x立方米/分．由題意得：解之得：經(jīng)檢驗(yàn)得：是原方程解．∴小口徑水管速度為立方米/分，大口徑水管速度為立方米/分．點(diǎn)評(píng)：本題考查理解題意的能力，設(shè)出速度以時(shí)間做為等量關(guān)系列方程求解．7．（10分）（2009?郴州）如圖1，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）為雙曲線上的一點(diǎn)，Q為坐標(biāo)平面上一動(dòng)點(diǎn)，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B．（1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在直線MO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線MO上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得△OBQ與△OAP面積相等？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限中的雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作以O(shè)P、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長的最小值．考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題。專題：壓軸題。分析：（1）正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)M（﹣2，﹣1），設(shè)出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，運(yùn)用待定系數(shù)法可求它們解析式；（2）因?yàn)镻（﹣1，﹣2）為雙曲線Y=上的一點(diǎn)，所以△OBQ、△OAP面積為1，依據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，點(diǎn)Q在雙曲線上，即符合條件的點(diǎn)存在，是正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn)；（3）因?yàn)樗倪呅蜲PCQ是平行四邊形，所以O(shè)P=CQ，OQ=PC，而點(diǎn)P（﹣1，﹣2）是定點(diǎn)，所以O(shè)P的長也是定長，所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值．解答：解：（1）設(shè)正比例函數(shù)解析式為y=kx，將點(diǎn)M（﹣2，﹣1）坐標(biāo)代入得k=，所以正比例函數(shù)解析式為y=x，同樣可得，反比例函數(shù)解析式為；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在直線OM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（m，m），于是S△OBQ=|OB×BQ|=×m×m=m2，而S△OAP=|（﹣1）×（﹣2）|=1，所以有，m2=1，解得m=±2，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q1（2，1）和Q2（﹣2，﹣1）；（3）因?yàn)樗倪呅蜲PCQ是平行四邊形，所以O(shè)P=CQ，OQ=PC，而點(diǎn)P（﹣1，﹣2）是定點(diǎn)，所以O(shè)P的長也是定長，所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值，（8分）因?yàn)辄c(diǎn)Q在第一象限中雙曲線上，所以可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（n，），由勾股定理可得OQ2=n2+=（n﹣）2+4，所以當(dāng)（n﹣）2=0即n﹣=0時(shí)，OQ2有最小值4，又因?yàn)镺Q為正值，所以O(shè)Q與OQ2同時(shí)取得最小值，所以O(shè)Q有最小值2，由勾股定理得OP=，所以平行四邊形OPCQ周長的最小值是2（OP+OQ）=2（+2）=2+4．（10分）點(diǎn)評(píng)：此題難度稍大，考查一次函數(shù)反比例函數(shù)二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)．要注意對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用．8．（10分）（2008?海南）如圖，P是邊長為1的正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（P與A、C不重合），點(diǎn)E在線段BC上，且PE=PB．（1）求證：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）設(shè)AP=x，△PBE的面積為y．①求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；②當(dāng)x取何值時(shí)，y取得最大值，并求出這個(gè)最大值．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。專題：動(dòng)點(diǎn)型。分析：（1）可通過構(gòu)建全等三角形來求解．過點(diǎn)P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F，那么可通過證三角形GPD和EFP全等來求PD=PE以和PE⊥PD．在直角三角形AGP中，由于∠CAD=45°，因此三角形AGP是等腰直角三角形，那么AG=PG，而PB=PE，PF⊥BE，那么根據(jù)等腰三角形三線合一的特點(diǎn)可得出BF=FE=AG=PG，同理可得出兩三角形的另一組對(duì)應(yīng)邊DG，PF相等，因此可得出兩直角三角形全等．可得出PD=PE，∠GDP=∠EPF，而∠GDP+∠GPD=90°，那么可得出∠GPD+∠EPF=90°，由此可得出PD⊥PE．（2）求三角形PBE的面積，就要知道底邊BE和高PF的長，（1）中已得出BF=FE=AG，那么可用AP在等腰直角三角形AGP中求出AG，GP即BF，F(xiàn)E的長，那么就知道了底邊BE的長，而高PF=CD﹣GP，也就可求出PF的長，可根據(jù)三角形的面積公式得出x，y的函數(shù)關(guān)系式．然后可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和自變量的取值范圍求出y的最大值以和對(duì)應(yīng)的x的取值．解答：（1）證明：①過點(diǎn)P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F．如圖所示．∵四邊形ABCD是正方形，∴四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形，△AGP和△PFC都是等腰直角三角形．∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90度．又∵PB=PE，∴BF=FE，∴GP=FE，∴△EFP≌△PGD（SAS）．∴PE=PD．②∴∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=90度．∴∠DPE=90度．∴PE⊥PD．（2）解：①過P作PM⊥AB，可得△AMP為等腰直角三角形，四邊形PMBF為矩形，可得PM=BF，∵AP=x，∴PM=x，∴BF=PM=，PF=1﹣．∴S△PBE=BE×PF=BF?PF=x×（1﹣x）=﹣x2+x．即y=﹣x2+x．（0＜x＜）．②y=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+∵a=﹣＜0，∴當(dāng)x=時(shí)，y最大值=．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定以和二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，通過構(gòu)建全等三角形來得出相關(guān)的邊和角相等是解題的關(guān)鍵．9．（10分）（2010?河南）如圖，直線y=k1x+b與反比例函數(shù)（x＞0）的圖象交于A（1，6），B（a，3）兩點(diǎn)．（1）求k1、k2的值．（2）直接寫出時(shí)x的取值范圍；（3）如圖，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD邊在x軸上，過點(diǎn)C作CE⊥OD于點(diǎn)E，CE和反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P，當(dāng)梯形OBCD的面積為12時(shí)，請(qǐng)判斷PC和PE的大小關(guān)系，并說明理由．考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題；一次函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義。專題：綜合題。分析：（1）先把點(diǎn)A代入反比例函數(shù)求得反比例函數(shù)的解析式，再把點(diǎn)B代入反比例函數(shù)解析式求得a的值，再把點(diǎn)A，B代入一次函數(shù)解析式利用待定系數(shù)法求得k1的值．（2）當(dāng)y1＞y2時(shí)，直線在雙曲線上方，即x的范圍是在A，B之間，故可直接寫出范圍．（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），易得C（m，3），CE=3，BC=m﹣2，OD=m+2，利用梯形的面積是12列方程，可求得m的值，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)線段的長度關(guān)系可知PC=PE．解答：解：（1）由題意知k2=1×6=6∴反比例函數(shù)的解析式為y=（x＞0）∵x＞0，∴反比例函數(shù)的圖象只在第一象限，又∵B（a，3）在y=的圖象上，∴a=2，∴B（2，3）∵直線y=k1x+b過A（1，6），B（2，3）兩點(diǎn)∴∴故k1的值為﹣3，k2的值為6；（2）由（1）得出﹣3x+9﹣＞0，即直線的函數(shù)值大于反比例函數(shù)值，由圖象可知，此時(shí)1＜x＜2，則x的取值范圍為1＜x＜2；（3）當(dāng)S梯形OBCD=12時(shí)，PC=PE．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），過B作BF⊥x軸，∵BC∥OD，CE⊥OD，BO=CD，B（2，3），∴C（m，3），CE=3，BC=m﹣2，OD=OE+ED=OE+BF=m+2∴S梯形OBCD=，即12=∴m=4，又mn=6∴n=，即PE=CE∴PC=PE．點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)，此題難度稍大，綜合性比較強(qiáng)，注意反比例函數(shù)上的點(diǎn)的特點(diǎn)和利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法．要靈活的利用梯形的面積公式來求得相關(guān)的線段的長度，從而確定關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．10．（10分）（2007?福州）如圖，已知直線y=x與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4．（1）求k的值；（2）若雙曲線上一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8，求△AOC的面積；（3）過原點(diǎn)O的另一條直線l交雙曲線于P，Q兩點(diǎn)（P點(diǎn)在第一象限），若由點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為24，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題。專題：綜合題；壓軸題。分析：（1）先根據(jù)直線的解析式求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將A點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線的解析式中即可求出k的值；（2）由（1）得出的雙曲線的解析式，可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，由于△AOC的面積無法直接求出，因此可通過作輔助線，通過其他圖形面積的和差關(guān)系來求得．（解法不唯一）；（3）由于雙曲線是關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱圖形，因此以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形應(yīng)該是平行四邊形，那么△POA的面積就應(yīng)該是四邊形面積的四分之一即6．可根據(jù)雙曲線的解析式設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后參照（2）的三角形面積的求法表示出△POA的面積，由于△POA的面積為6，由此可得出關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．解答：解：（1）∵點(diǎn)A