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教學(xué)目標(biāo)1.了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容;2.掌握容斥原理的在組合計(jì)數(shù)等各個(gè)方面的應(yīng)用.知識(shí)要點(diǎn)一、兩量重疊問(wèn)題在一些計(jì)數(shù)問(wèn)題中,經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個(gè)數(shù)的計(jì)算.求兩個(gè)集合并集的元素的個(gè)數(shù),不能簡(jiǎn)單地把兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加,而要從兩個(gè)集合個(gè)數(shù)之和中減去重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù),即減去交集的元素個(gè)數(shù),用式子可表示成:(其中符號(hào)“”讀作“并”,相當(dāng)于中文“和”或者“或”的意思;符號(hào)“”讀作“交”,相當(dāng)于中文“且”的意思.)則稱這一公式為包含與排除原理,簡(jiǎn)稱容斥原理.圖示如下:表示小圓部分,表示大圓部分,表示大圓與小圓的公共部分,記為:下:表示小圓部分,表示大圓部分,表示大圓與小圓的公共部分,記為:,即陰影面積.圖示如,即陰影面積.包含與排除原理告訴我們,要計(jì)算兩個(gè)集合的并集的元素的個(gè)數(shù),可分以下兩步進(jìn)行:第一步:分別計(jì)算集合的元素個(gè)數(shù),然后加起來(lái),即先求(意思是把的一切元素都“包含”進(jìn)來(lái),加在一起);第二步:從上面的和中減去交集的元素個(gè)數(shù),即減去二、三量重疊問(wèn)題(意思是“排除”了重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)).類、類與類元素個(gè)數(shù)的總和類元素的個(gè)數(shù)類元素個(gè)數(shù)類元素個(gè)數(shù)既是類又是類的元素個(gè)數(shù)既是類又是類的元素個(gè)數(shù)既是類又是類的元素個(gè)數(shù)同時(shí)是類、類、類的元素個(gè)數(shù).用符號(hào)表示為:.圖示如下:在解答有關(guān)包含排除問(wèn)題時(shí),我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來(lái)幫助分析思考.例題精講【例1】“走美”主試委員會(huì)為三~八年級(jí)準(zhǔn)備決賽試題。每個(gè)年級(jí)道題,并且至少有道題與其他各年級(jí)都不同。如果每道題出現(xiàn)在不同年級(jí),最多只能出現(xiàn)次。本屆活動(dòng)至少要準(zhǔn)備【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,4年級(jí),決賽,第9題道決賽試題。【解析】每個(gè)年級(jí)都有自己道題目,然后可以三至五年級(jí)共用道題目,六到八年級(jí)共用道題目,總共有(道)題目。【答案】題【例2】將1~13這13個(gè)數(shù)字分別填入如圖所示的由四個(gè)大小相同的圓分割成的13個(gè)區(qū)域中,然后把每個(gè)圓內(nèi)的7個(gè)數(shù)相加,最后把四個(gè)圓的和相加,問(wèn):和最大是多少?【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】4星【題型】填空1【解析】越是中間,被重復(fù)計(jì)算的越多,最中心的區(qū)域被重復(fù)計(jì)算四次,將數(shù)字按從大到小依次填寫于被重復(fù)計(jì)算多的區(qū)格中,最大和為:13×4+(12+11+10+9)×3+(8+7+6+5)×2+(4+3+2+1)=240.【答案】【例3】如圖,5條同樣長(zhǎng)的線段拼成了一個(gè)五角星.如果每條線段上恰有1994個(gè)點(diǎn)被染成紅色,那么在這個(gè)五角星上紅色點(diǎn)最少有多少個(gè)?【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】4星【題型】填空1【解析】如下圖,下圖中“”位置均有兩條線段通過(guò),也就是交點(diǎn),如果這些交點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的線段都在“”位置恰有紅色點(diǎn),那么在五角星上重疊的紅色點(diǎn)最多,所以此時(shí)顯現(xiàn)的紅色點(diǎn)最少,有1994×5-(2-1)×10=9960個(gè).【答案】【例4】某班共有學(xué)生48人,其中27人會(huì)游泳,33人會(huì)騎自行車,40人會(huì)打乒乓球.那么,這個(gè)班至少有多少學(xué)生這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都會(huì)?【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】4星【題型】填空【解析】(法1)首先看至少有多少人會(huì)游泳、自行車兩項(xiàng),由于會(huì)游泳的有27人,會(huì)騎自行車的有33人,而總?cè)藬?shù)為48人,在會(huì)游泳人數(shù)和會(huì)騎自行車人數(shù)確定的情況下,兩項(xiàng)都會(huì)的學(xué)生至少有人,再看會(huì)游泳、自行車以及乒乓球三項(xiàng)的學(xué)生人數(shù),至少有人.該情況可以用線段圖來(lái)構(gòu)造和示意:(法2)設(shè)三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都會(huì)的人有人,只會(huì)兩項(xiàng)的有人,只會(huì)一項(xiàng)的有人,那么根據(jù)在統(tǒng)計(jì)中會(huì)項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的學(xué)生被統(tǒng)計(jì)次的規(guī)律有以下等式:由第一條方程可得到,即,將其代入第二條式子得到:①而第二條式子還能得到式子,即②聯(lián)立①和②得到,即.可行情況構(gòu)造同上.【答案】【鞏固】某班有名學(xué)生,參加語(yǔ)文競(jìng)賽的有人,參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有人,參加英語(yǔ)競(jìng)賽的有人,每人最多參加兩科,那么參加兩科的最多有人.【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】4星【題型】填空【解析】根據(jù)題意可知,該班參加競(jìng)賽的共有人次.由于每人最多參加兩科,也就是說(shuō)有參加2科的,有參加1科的,也有不參加的,共是71人次.要求參加兩科的人數(shù)最多,則讓這人次盡可能多地重復(fù),而,所以至多有人參加兩科,此時(shí)還有1人參加1科.那么是否存在35人參加兩科的情況呢?由于此時(shí)還有1人是只參加一科的,假設(shè)這個(gè)人只參加數(shù)學(xué)一科,那么可知此時(shí)參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩科的共有人,參加數(shù)學(xué)、英語(yǔ)兩科的共有人,參加語(yǔ)文、英語(yǔ)兩科的共有人.也就是說(shuō),此時(shí)全班有15人參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩科,13人參加語(yǔ)文、英語(yǔ)兩科,7人參加數(shù)學(xué)、英語(yǔ)兩科,1人只參加數(shù)學(xué)1科,還有14人不參加.檢驗(yàn)可知符合題設(shè)條件.所以35人是可以達(dá)到的,則參加兩科的最多有35人.(當(dāng)然本題中也可以假設(shè)只參加一科的參加的是語(yǔ)文或英語(yǔ))【答案】【鞏固】60人中有的人會(huì)打乒乓球,的人會(huì)打羽毛球,的人會(huì)打排球,這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都會(huì)的人有人,問(wèn):這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不會(huì)的最多有多少人?【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】4星【題型】填空【解析】設(shè)只會(huì)打乒乓球和羽毛球兩項(xiàng)的人有人,只會(huì)打乒乓球和排球兩項(xiàng)的有人,只會(huì)打羽毛球和排球兩項(xiàng)的有人.由于只會(huì)三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)中的一項(xiàng)的不可能小于,所以、、有如下關(guān)系:將三條關(guān)系式相加,得到,而60人當(dāng)中會(huì)至少一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的人數(shù)有人,所以60人當(dāng)中三項(xiàng)都不會(huì)的人數(shù)最多4人(當(dāng)、、分別取、、時(shí),不等式組成立).【答案】【例5】圖書室有100本書,借閱圖書者需在圖書上簽名.已知這100本書中有甲、乙、丙簽名的分別有33,44和55本,其中同時(shí)有甲、乙簽名的圖書為29本,同時(shí)有甲、丙簽名的圖書為25本,同時(shí)有乙、丙簽名的圖書為36本.問(wèn)這批圖書中最少有多少本沒有被甲、乙、丙中的任何一人借閱過(guò)?【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】4星【題型】填空2【解析】設(shè)甲借過(guò)的書組成集合A,乙借過(guò)的書組成集合B,丙借過(guò)的書組成集合C.=33,=44,=55,=29,=25,=36.本題只需算出甲、乙、丙中至少有一人借過(guò)的書的最大值,再將其與100作差即可.,當(dāng)最大時(shí),有最大值.也就是說(shuō)當(dāng)三人都借過(guò)的書最多時(shí),甲、乙、丙中至少有一人借過(guò)的書最多.而最大不超過(guò)、、、最大為、、6個(gè)數(shù)中的最小值,所以25.此時(shí)=33+44+55-29-25-36+25=67,即三者至少有一人借過(guò)的書最多為67本,所以這批圖書中最少有33本沒有被甲、乙、丙中的任何一人借閱過(guò).【答案】【鞏固】甲、乙、丙都在讀同-一本故事書,書中有100個(gè)故事.每個(gè)人都從某一個(gè)故事開始,按順序往后讀.已知甲讀了75個(gè)故事,乙讀了60個(gè)故事,丙讀了52個(gè)故事.那么甲、乙、丙3人共同讀過(guò)的故事最少有多少個(gè)?【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】4星【題型】填空3【解析】考慮甲乙兩人情況,有甲乙都讀過(guò)的最少為:75+60-100=35個(gè),此時(shí)甲單獨(dú)讀過(guò)的為75-35=40個(gè),乙單獨(dú)讀過(guò)的為60-35=25個(gè);欲使甲、乙、丙三人都讀過(guò)的書最少時(shí),應(yīng)將丙讀過(guò)的書盡量分散在某端,于是三者都讀過(guò)書最少為52-40=12個(gè).【答案】【例6】某數(shù)學(xué)競(jìng)賽共160人進(jìn)入決賽,決賽共四題,做對(duì)第一題的有136人,做對(duì)第二題的有125人,做對(duì)第三題的有118人,做對(duì)第四題的有104人。在這次決賽中至少有____得滿分?!究键c(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】5星【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,5年級(jí),決賽,第10題【解析】設(shè)得滿分的人都做對(duì)3道題時(shí)得滿分的人最少,有136+125+118+104-1603=3(人)?!敬鸢浮咳恕纠?】某班有46人,其中有40人會(huì)騎自行車,38人會(huì)打乒乓球,35人會(huì)打羽毛球,27人會(huì)游泳,則該班這四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都會(huì)的至少有人?!究键c(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】5星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,4年級(jí),1試【解析】不會(huì)騎車的6人,不會(huì)打乒乓球的8人,不會(huì)羽毛球的11人,不會(huì)游泳的19人,那么至少不會(huì)一項(xiàng)的最多只有6+8+11+19=44人,那么思想都會(huì)的至少44人【答案】人【例8】在陽(yáng)光明媚的一天下午,甲、乙、丙、丁四人給100盆花澆水,已知甲澆了30盆,乙澆了75盆,丙澆了80盆,丁澆了90盆,請(qǐng)問(wèn)恰好被3個(gè)人澆過(guò)的花最少有多少盆?【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】5星【題型】填空4【解析】為了恰好被3個(gè)人澆過(guò)的花盆數(shù)量最少,那么被四個(gè)人澆過(guò)的花、兩個(gè)人澆過(guò)的花和一個(gè)人澆過(guò)的花數(shù)量都要盡量多,那么應(yīng)該可以知道被四個(gè)人澆過(guò)的花數(shù)量最多是30盆,那么接下來(lái)就變成乙澆了45盆,丙澆了50盆,丁澆60盆了,這時(shí)共有盆花,我們要讓這70盆中恰好被3個(gè)人澆過(guò)的花最少,這就是簡(jiǎn)單的容斥原理了,恰好被3個(gè)人澆過(guò)的花最少有盆.【答案】【鞏固】甲、乙、丙同時(shí)給100盆花澆水.已知甲澆了78盆,乙澆了68盆,丙澆了58盆,那么3人都澆過(guò)的花最少有多少盆?【考點(diǎn)】容斥原理之最值問(wèn)題【難度】4星【題型】填空5【解析】只考慮甲乙兩人情況,有甲、乙都澆過(guò)的最少為:78+68-100=46盆,此時(shí)甲單獨(dú)澆過(guò)的為78-46=32盆,乙單獨(dú)澆過(guò)的為68-46=22盆;欲使甲、乙、丙三人都澆過(guò)的花最少時(shí),應(yīng)將丙澆過(guò)的花盡量分散在兩端.于是三者都澆過(guò)花最少為58-32-22=4盆.【答案】【鞏固】在陽(yáng)光明媚的一天下午,甲、乙、丙、丁四人給100盆花澆水,已知甲澆了30盆,乙澆了75
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