DVD在線租賃問題數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型

DVD在線租賃問題數(shù)學(xué)模型(CUMCM2005-B-D題

)1問題提出

1問題分析2假設(shè)條件3模型建立與求解4模型評價(jià)5

DVD在線租賃問題數(shù)學(xué)模型

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隨著信息時(shí)代的到來,電子商務(wù)已成為一個(gè)重要的商業(yè)途徑。在線DVD租賃就是其中一種典型的經(jīng)營方式，但在實(shí)際的經(jīng)營過程中還是存在很多問題。下面我們從復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)情況中考慮一個(gè)典型的情景。鑒于業(yè)務(wù)量的考慮，網(wǎng)站有必要采用會員制度，顧客需繳納一定數(shù)量的月費(fèi)成為會員。會員對哪些DVD有興趣，只要在線提交訂單，網(wǎng)站就能立即了解他們的需求，并通過快遞的方式盡可能滿足要求。會員提交的訂單內(nèi)容包括他對哪幾張DVD感興趣，對不同的DVD的偏愛度，用數(shù)字表示。這些DVD是基于其偏愛程度排序的。網(wǎng)站會根據(jù)手頭現(xiàn)有的DVD數(shù)量和會員的訂單進(jìn)行分發(fā)。每個(gè)會員每個(gè)月租賃次數(shù)不得超過2次，每次獲得3張DVD。會員看完3張DVD之后，只需要將DVD放進(jìn)網(wǎng)站提供的信封里寄回（郵費(fèi)由網(wǎng)站承擔(dān)），就可以繼續(xù)下次租賃。問題提出3

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為深入研究網(wǎng)站的經(jīng)營策略，我們從以下幾個(gè)角度由淺入深地進(jìn)行考察：1）至少準(zhǔn)備多少張，才能保證希望看到該DVD的會員中至少50%在一個(gè)月內(nèi)能夠看到？若要求保證在三個(gè)月內(nèi)至少95%的會員能夠看到呢？1、由于DVD的更新速度很快，網(wǎng)站必須時(shí)常更新現(xiàn)有產(chǎn)品，因此在現(xiàn)有會員中隨機(jī)抽取1000個(gè)會員進(jìn)行調(diào)查，以得知愿意觀看不同DVD的人數(shù)（表1.1給出了其中5種DVD的數(shù)據(jù)）。雖然網(wǎng)站規(guī)定每位會員每月只能借兩次DVD，但從歷史數(shù)據(jù)顯示，60%的會員每月租賃DVD兩次，而另外的40%只租一次。現(xiàn)在我們假設(shè)網(wǎng)站現(xiàn)有10萬個(gè)會員，并已經(jīng)知道會員對DVD的需求，以及會員每月訂DVD的規(guī)律。問題是應(yīng)該至少準(zhǔn)備多少張，才能保證希望看到該DVD的會員中至少50%在一個(gè)月內(nèi)能夠看到？如果要求保證在三個(gè)月內(nèi)至少95%的會員能夠看到呢？DVD名稱DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意觀看的人數(shù)200100502510表1.1對1000個(gè)會員調(diào)查的部分結(jié)果問題提出4

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為深入研究網(wǎng)站的經(jīng)營策略，我們從以下幾個(gè)角度由淺入深得進(jìn)行考察：1）至少準(zhǔn)備多少張，才能保證希望看到該DVD的會員中至少50%在一個(gè)月內(nèi)能夠看到？若要求保證在三個(gè)月內(nèi)至少95%的會員能夠看到呢？2）如何對手中已有的DVD進(jìn)行分配，以使所有會員的滿意度和達(dá)到最大。2、盡可能多的滿足會員是經(jīng)營中的一大目標(biāo)，但每個(gè)會員對不同DVD的偏愛度是大相徑庭的，雖然他們都對該DVD下了訂單，但最后得到該張DVD收到的效果差別很大，所以還要考慮會員滿意度的問題。表1.2列出了網(wǎng)站中20種DVD的現(xiàn)有張數(shù)和當(dāng)前需要處理的100位會員的在線訂單。如何對手中已有的DVD進(jìn)行分配，以使所有會員的滿意度和達(dá)到最大？D001－D020表示20種DVD,C0001－C0100表示100個(gè)會員，會員的在線訂單用數(shù)字1,2,…表示，數(shù)字越小表示會員的偏愛程度越高，數(shù)字0表示對應(yīng)的DVD當(dāng)前不在會員的在線訂單中。表1.2現(xiàn)有DVD張數(shù)和當(dāng)前需要處理的會員的在線訂單（表格格式示例）DVD編號D001D002D003D004…DVD現(xiàn)有數(shù)量812210…會員在線訂單C00010020…C00021090…C00030600…C00040000…C00055000…………………問題提出5

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為深入研究網(wǎng)站的經(jīng)營策略，我們從以下幾個(gè)角度由淺入深得進(jìn)行考察：1）至少準(zhǔn)備多少張，才能保證希望看到該DVD的會員中至少50%在一個(gè)月內(nèi)能夠看到？若要求保證在三個(gè)月內(nèi)至少95%的會員能夠看到呢？2）如何對手中已有的DVD進(jìn)行分配，以使所有會員的滿意度和達(dá)到最大。3）作為網(wǎng)站經(jīng)營管理員，如何決定每種DVD的購買量，以及如何對這些DVD進(jìn)行分配，才能使一個(gè)月內(nèi)95%的會員得到他想看的DVD，并且滿意度最大呢？問題提出3、在實(shí)際的經(jīng)營過程中，不可能像剛才討論的兩個(gè)問題這么簡單，我們不可能將顧客的滿意率與他們的滿意度割裂開來分開研究，可以說這是兩個(gè)問題是相互牽制的關(guān)系。假設(shè)表1.2中DVD現(xiàn)有數(shù)量全部為0。作為網(wǎng)站經(jīng)營管理人員，如何決定每種DVD的購買量，以及如何對這些DVD進(jìn)行分配，才能使一個(gè)月內(nèi)95%的會員得到他想看的DVD，并且滿意度最大呢？只有弄清楚這個(gè)問題，我們才能初步的對DVD在線租賃問題有個(gè)認(rèn)識。6

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問題一類似于“貨物存儲問題（Inventoryproblem）”，基本思路是跟蹤DVD在一個(gè)月（三個(gè)月）內(nèi)的流動情況，目標(biāo)是計(jì)算出DVD的流轉(zhuǎn)次數(shù)，然后再結(jié)合滿意率要求得出所需準(zhǔn)備的DVD數(shù)量。問題二類似于“分配問題”或“指派問題（Assignmentproblem）”，我們可以對偏愛度進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚硪詽M足我們的要求。0-1規(guī)劃是處理該問題的最佳方法，因此如何使用這一方法將是研究問題二的關(guān)鍵。問題三看似是問題一與問題二的結(jié)合（存貯+分配），但實(shí)際要復(fù)雜得多。他綜合考慮一個(gè)月內(nèi)DVD的購買、分配方案，是一個(gè)多目標(biāo)線性規(guī)劃。從經(jīng)濟(jì)效益看，在保證95%以上會員一個(gè)月內(nèi)看到想看的DVD的情況下，希望購買盡量少的DVD，從社會效應(yīng)看，則要盡可能多地考慮讓總的滿意度最大。這時(shí)，可以將多目標(biāo)變?yōu)閱文繕?biāo)規(guī)劃，以求得一個(gè)經(jīng)濟(jì)與社會效益的綜合最優(yōu)。由于問題三牽涉到兩次分配，而對會員滿意率的理解又有多種解釋，因此目標(biāo)及約束函數(shù)會和問題一、問題二有很大差別。而問題三的模型又可從當(dāng)前滿意度最大和一段時(shí)間內(nèi)滿意度最大兩個(gè)角度來考慮。問題分析

71.對1000名會員的調(diào)查足以反映10萬名會員對于各種DVD的需求及喜好2.所有會員提交訂單的時(shí)間是隨機(jī)的3.一個(gè)月的天數(shù)為30天4.會員中有60%的會員每月租賃DVD兩次，40%的會員每月租賃DVD一次5.會員只有在需要再次租賃DVD時(shí)，才會將上次租賃的DVD歸還6.會員臨近兩次借的DVD種類不會重復(fù)7.每位會員每月至少租賃1次8.會員本次提交后沒得到該DVD，則他下次仍要看該DVD，且偏愛度不變9.每類租賃出的DVD有60%在每月租賃2次的會員中，40%在每月租賃1次的會員中10.公司收到訂單時(shí)不知道此會員在一個(gè)月內(nèi)會借一次或兩次

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假設(shè)條件在實(shí)際建模中還會遇到其他問題，比如問題一中可以淡化會員每次借三張的條件，即會員每次借的DVD數(shù)量不固定；問題二中不考慮多次分配的問題；問題三中對顧客滿意率的不同理解。因此，我們將在以下的討論具體問題時(shí)再給出。8

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模型建立與數(shù)值求解：所有會員中愿意觀看第種DVD的人的概率：所有會員中每月借2次的人的概率：需要滿足的會員比例：會員總數(shù)：第個(gè)會員對第種DVD的偏愛程度：第個(gè)會員對第種DVD的滿意度：分配變量，表示第個(gè)會員得到第種DVD，否則為0

：網(wǎng)站第種DVD的現(xiàn)有數(shù)量其余特殊的變量將在后面的討論中具體說明符號與變量說明9

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模型建立與數(shù)值求解問題一的模型與求解問題一是簡化的情形，在制定方案時(shí)，暫時(shí)不考慮每個(gè)會員每次最多借3張DVD的限制，也不考慮各種DVD間產(chǎn)生的影響及數(shù)量間的橫向聯(lián)系，單獨(dú)考慮每種DVD的準(zhǔn)備量。如上所述，我們稱每個(gè)月只租賃一次DVD的會員為1類會員，每個(gè)月租賃兩次的會員為2類會員。雖然借一次和兩次的會員并不固定，但其占總體會員的比例是一定的。由于每個(gè)月租賃兩次DVD的會員的不確定性，無法預(yù)知每種DVD到底會借給哪類會員。因此，在制定購買方案時(shí)我們分別考慮均值估計(jì)及其它估計(jì)兩種方式。問題一包含兩個(gè)部分，一是至少準(zhǔn)備多少張DVD，才能保證希望看到該DVD的會員中至少50%在一個(gè)月內(nèi)能看到；二是至少準(zhǔn)備多少張DVD，才能保證在三個(gè)月內(nèi)至少95%的會員能夠看到該DVD。我們分別稱上述兩種情況為“一月情況”和“三月情況”?！叭虑闆r”是“一月情況”的延續(xù)。10

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模型建立與數(shù)值求解問題一：均值情況估計(jì)－一月

由于抽樣調(diào)查的隨機(jī)性，這種保證可理解為在一定置信水平下的保證，即在一定置信水平下計(jì)算希望看到該DVD的會員人數(shù)的上限。10萬會員中對該DVD的需求服從二項(xiàng)分布，簡單地取二項(xiàng)分布的均值。一個(gè)月內(nèi)DVD的流通量為月初購買量的1.6倍，稱這個(gè)“1.6”為“一月流通系數(shù)”。那么DVD一個(gè)月最小購買量可通過以下公式來計(jì)算：11

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模型建立與數(shù)值求解問題一：均值情況估計(jì)－一月由表1得到1000人中愿意觀看每種DVD的概率分別為：由于這1000人為10萬人的子樣本，也可表示10萬人中愿意觀看每種DVD的概率。則表示10萬人中愿意觀看第種DVD的人。經(jīng)計(jì)算，各種DVD的最少月初購買量為：總的最少購買量S=12033DVD名稱DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5購買量62503125156378231312

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模型建立與數(shù)值求解問題一：一個(gè)月一個(gè)月內(nèi)至少50%的會員能看到該DVD：經(jīng)計(jì)算，各種DVD的最少月初購買量為DVD名稱DVD1DVD2DVD3DVD4DVD50.956316317415988073290.9963433195161381833613

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模型建立與數(shù)值求解問題一：三個(gè)月三個(gè)月內(nèi)至少95%的會員能看到該DVD：經(jīng)計(jì)算，各種DVD的最少月初購買量為DVD名稱DVD1DVD2DVD3DVD4DVD50.954000201110135122090.9940172024102251821314

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模型建立與數(shù)值求解問題二的模型與求解問題二是在現(xiàn)有一定數(shù)量DVD的前提下，如何分配以使會員總的滿意度最大。這與“分配問題”或“指派問題（Assignmentproblem）”有很多相同點(diǎn)。我們可以通過一些變化來使求解“分配問題”的模型能運(yùn)用于該問題。我們把問題二中“100個(gè)會員對DVD的需求”理解為“需要完成的100項(xiàng)任務(wù)”，“20種DVD數(shù)量”理解為“有個(gè)人可以承擔(dān)這些任務(wù)”，“會員對于不同DVD的偏愛度”理解為“不同人去完成不同工作的效率”，通過類比就能把分配問題的模型運(yùn)用到問題二中了。分配問題最常用的方法是0-1型整數(shù)規(guī)劃。在具體使用前，還需要將每個(gè)會員對不同DVD的偏愛度轉(zhuǎn)化為滿意度。因?yàn)槲覀兊哪繕?biāo)是總體滿意度最大。從表1.2中可以看到：會員的在線訂單用數(shù)字1,2,…表示，數(shù)字越小表示會員的偏愛程度越高，數(shù)字0表示對應(yīng)的DVD當(dāng)前不在會員的在線訂單中。通過觀察我們用一個(gè)大于9的固定數(shù)值來減偏愛數(shù),把這個(gè)差值作為滿意度。15

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模型建立與數(shù)值求解問題二:參數(shù)定義1、設(shè)矩陣為偏愛度矩陣，矩陣中的元素為表1.2中的偏愛數(shù)，表示第個(gè)會員對的偏愛數(shù)。越小表示會員的滿意程度越高，為1時(shí)最高，為0時(shí)表示客戶沒有下訂單。于是就得到了偏愛度矩陣2、設(shè)矩陣為滿意度矩陣，矩陣中的元素為滿意度，表示第個(gè)會員對第的滿意度。可通過如下算法獲得：3、令為分配變量，表示第個(gè)會員得到；表示未分配給第個(gè)會員。由此得到我們要求的分配矩陣通過矩陣就能應(yīng)用0-1規(guī)劃進(jìn)行求解。4、令表示的現(xiàn)有數(shù)量，則有數(shù)量矩陣5、令表示所有會員滿意度的總和，我們的目標(biāo)就是求出其最大值。16

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模型建立與數(shù)值求解問題二:模型建立1.因?yàn)楸?.2中的數(shù)字0意義特殊，不直接與滿意度產(chǎn)生關(guān)系。0代表該DVD沒有出現(xiàn)在訂單中，即會員不需要看該DVD。從分配費(fèi)用考慮，避免把該DVD分配給會員。根據(jù)的定義，不妨認(rèn)為：，則時(shí)，也等于0，即避免了上述情況的發(fā)生。2.由于一次最多只能借3張，那么就有：，又分配給各會員的數(shù)量肯定不超過現(xiàn)有數(shù)量，所以：。由以上分析可得問題二的模型：用LINGO數(shù)學(xué)軟件實(shí)現(xiàn)對此題0-1規(guī)劃模型的求解。17

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模型建立與數(shù)值求解問題二:模型改進(jìn)-約束條件改進(jìn)根據(jù)上述模型的求解，我們發(fā)現(xiàn)又些會員沒有分配到3張DVD，即他們的需要沒能被滿足。從網(wǎng)站的社會效益考慮，這樣的情況會導(dǎo)致網(wǎng)站客戶的流失。所以希望在滿足所有會員都能借到3張DVD的前提下，再通過會員總滿意度最大來決定分配方案。這就需要對上面的模型做一些改進(jìn)。

我們可以將

改為，則得到模型18

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模型建立與數(shù)值求解問題二:模型改進(jìn)-約束條件改進(jìn)以上修改，約束條件加強(qiáng)了，可能導(dǎo)致模型無可行解。事實(shí)通過LINGO程序也發(fā)現(xiàn)該模型無解。因?yàn)榧s束條件中規(guī)定了不能分配給會員不要的DVD，而會員每次都被分到3張，則網(wǎng)站至少有300張DVD，而現(xiàn)僅有303張，只比最低限度多3張，則當(dāng)某DVD需求較大時(shí)就會供不應(yīng)求。所以要放寬條件1，才能找到最優(yōu)解。最優(yōu)值在第165次迭代后得到Z=2024。以上兩個(gè)模型的結(jié)果是相同的，由于約束條件的放寬，后一個(gè)模型的迭代次數(shù)較少，則在說明每個(gè)會員一次能借到3張DVD不會影響會員整體滿意度，而且從模擬結(jié)果看，改進(jìn)后的對原有分配策略影響不大。19

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模型建立與數(shù)值求解問題二:模型改進(jìn)-滿意度定義改進(jìn)以上的討論都是基于用一個(gè)固定數(shù)去減會員偏愛數(shù)作為滿意度來分析的。但存在一定的不合理性。比如，當(dāng)看到了最想看的DVD時(shí)，心理上滿足是非常大的，但當(dāng)僅僅得到了第二想看的DVD，那滿足感會大打折扣，而如果僅得到了第三想看得DVD，滿足感會更低，但與僅獲得第二想看的DVD相比，也許失落感并不會如沒有獲得第一想看的DVD那么大。所以，如果只是簡單得把會員訂單中的DVD進(jìn)行了相同差別的處理，無法表示出會員的真實(shí)滿意度差別。所以我們想到了用偏愛數(shù)的倒數(shù)來表示會員的滿意度，對滿意度矩陣的元素重新定義：把新定義的滿意度代入上述模型中，并由LINGO程序計(jì)算，最優(yōu)值在第54次迭代后得到Z=153.9984。我們對分配策略的分析發(fā)現(xiàn)，該結(jié)果與上一個(gè)模型相比并沒有太大的變動，這是因?yàn)閮煞N滿意度的定義其實(shí)質(zhì)是一樣的。20

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模型建立與數(shù)值求解問題三的模型與求解在現(xiàn)實(shí)的網(wǎng)站經(jīng)營中需要綜合考慮問題一、二，這就需要我們進(jìn)一步討論問題三的模型，它需要考慮兩次分配方案，但我們可以簡化為僅考慮當(dāng)前時(shí)間點(diǎn)下如何用最小的DVD購買來滿足95%的會員并找出最佳分配方案使會員總滿意度最大。那么如何將這兩個(gè)目標(biāo)同時(shí)放入一個(gè)目標(biāo)函數(shù)呢，最簡單的方法就是相加。由問題二知道，目標(biāo)是使所有會員滿意度總和盡可能地大，而且每種DVD數(shù)量是固定的，但問題三中DVD的購買量是自己定的，因此設(shè)置一個(gè)新的變量表示當(dāng)前需要購買

的數(shù)量，則表示總的購買數(shù)量，而且從盈利角度考慮總的購買數(shù)量越小越好。所以我們可以將目標(biāo)函數(shù)定如下：21

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模型建立與數(shù)值求解問題三:等權(quán)情況（會員總體滿意度與DVD購買量權(quán)重相等）針對“使一個(gè)月內(nèi)95%的會員得到想看的DVD”的要求，可以參照問題一的處理方法，從表1.2中統(tǒng)計(jì)出原意觀看的人數(shù)占全體會員比例。結(jié)果如下：由問題一的流通量可得由于網(wǎng)站可自由決定其DVD的購買量，則有DVD名稱DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5DVD6DVD7DVD8DVD9DVD10愿意觀看人數(shù)53374634374242484151占全體會員比例0.530.370.460.340.370.420.420.480.410.51DVD名稱DVD11DVD12DVD13DVD14DVD15DVD16DVD17DVD18DVD19DVD20愿意觀看人數(shù)48414345524143454431占全體會員比例0.480.410.430.450.520.410.430.450.440.31為了計(jì)算上的方便直觀，我們選擇用10減會員偏愛數(shù)的來定義會員滿意度。并建立模型。最優(yōu)值在第85次迭代后得到:Z=187822

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模型建立與數(shù)值求解問題三:不等權(quán)情況（會員總體滿意度與DVD購買量權(quán)重不相等）如果不考慮會員總體滿意度與DVD購買量之間的權(quán)重差異，這會導(dǎo)致其中某個(gè)目標(biāo)對整個(gè)函數(shù)的影響被過分得夸大，所以有必要進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化。1、先來看的最大值和最小值對于當(dāng)前的分配，最理想的是每位會員都得到了最想看的3張DVD，此時(shí)就達(dá)到了最大值。通過表1.2的統(tǒng)計(jì)我們得到最大值為。最差情況就是會員得到了3張沒有出現(xiàn)在訂單中的DVD，此時(shí)達(dá)到最小值0。2、再來看的最大值和最小值由“每位會員每次分配到3張DVD”和“一個(gè)月內(nèi)95%的會員得到想看的DVD”的約束，則由計(jì)算出各種DVD最小購買量，相加得的最小值522只要某DVD出現(xiàn)在訂單中，就應(yīng)將其購入，也就是說保證會員可以拿到他想看的任何一張DVD，則會員在一個(gè)月中的滿意率為100%。此時(shí)，統(tǒng)計(jì)各種DVD的購買量并相加得最大值86423

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模型建立與數(shù)值求解問題三:不等權(quán)情況（會員總體滿意度與DVD購買量權(quán)重不相等）我們?nèi)『偷淖畲笾导白钚≈档钠骄鶖?shù)1200和693來確定各自權(quán)重。因此，它們的權(quán)重分別為和。建立帶權(quán)重的模型：同樣用LINGO程序?qū)ζ溥M(jìn)行求解，最優(yōu)值在第116次迭代后得到Z=688.43，DVD購買總量為532張。比較兩個(gè)模型的計(jì)算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)DVD的購買量和分配策略沒有發(fā)生變化，這是由于和的數(shù)量級相差并不大。24

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模型建立與數(shù)值求解問題三:綜合最佳方案

以上的決策是基于當(dāng)前時(shí)刻的考慮。事實(shí)上，60%的DVD會面臨二次分配，考慮所有會員在一個(gè)月內(nèi)總的滿意度就需要對二次分配進(jìn)行分開考慮。在此我們假設(shè)：不要求會員每次借DVD都必須被分配到3張，但分配到的必須是在其訂單中的。而每次只有拿到3張的會員才能算滿意。由于要對二次分別進(jìn)行討論，所以需要設(shè)置兩個(gè)新的變量：1、：第一次分配的分配變量，表示第一次分配時(shí)第位會員得到了表示第一次分配時(shí)第位會員未得到2、：第二次分配的分配變量，表示第二次分配時(shí)第位會員得到了表示第二次分配時(shí)第位會員未得到因此在等權(quán)情況下目標(biāo)函數(shù)應(yīng)為：25

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模型建立與數(shù)值求解問題三:綜合最佳方案－約束條件

1．假設(shè)中會員在這一個(gè)月不會兩次借相同的DVD，則可以表示為2．每次分配每位會員最多得到3張DVD，即，3．第一次分配時(shí)最多只能分配出新購入的DVD，則4．考慮前后兩分配的關(guān)系，平均情況下，可以近似的認(rèn)為每種DVD每次都有60%借給2類會員，40%借