高中的常見函數(shù)圖像與基本性質

..常見函數(shù)性質匯總及簡單評議對稱變換xxybOf<x>=b常數(shù)函數(shù)f<x>=b<b∈R>1、y=a和x=a的圖像和走勢2、圖象及其性質：函數(shù)f<x>的圖象是平行于x軸或與x軸重合〔垂直于y軸的直線xyOf<x>=kx+b一次函數(shù)f<x>=kx+xyOf<x>=kx+b1>、兩種常用的一次函數(shù)形式:斜截式——點斜式——2、對斜截式而言,k、b的正負在直角坐標系中對應的圖像走勢：3、|k|越大,圖象越陡；|k|越小,圖象越平緩4、定義域：R值域：R單調性：當k>0時；當k<0時奇偶性：當b=0時,函數(shù)f<x>為奇函數(shù)；當b≠0時,函數(shù)f<x>沒有奇偶性；反函數(shù)：有反函數(shù)〔特殊情況下：K=±1并且b=0的時候。補充：反函數(shù)定義：RR例題：定義在r上的函數(shù)y=f〔x;y=g〔x都有反函數(shù),且f〔x-1和g-1<x>函數(shù)的圖像關于y=x對稱,若g〔5=2016,求f〔4=周期性：無5、一次函數(shù)與其它函數(shù)之間的練習1、常用解題方法：2點關于直線〔點對稱,求點的坐標2點關于直線〔點對稱,求點的坐標2、與曲線函數(shù)的聯(lián)合運用反比例函數(shù)f<x>=<k≠0,k值不相等永不相交；k越大,離坐標軸越遠>xyOf<x>=圖象及其性質：永不相交,漸趨平行；當k>0時,函數(shù)f<x>的圖象分別在第一、第三象限；當k<0xyOf<x>=雙曲線型曲線,x軸與y軸分別是曲線的兩條漸近線；既是中心對成圖形也是軸對稱圖形定義域：值域：單調性：當k>0時；當k<0時周期性：無奇偶性：奇函數(shù)反函數(shù)：原函數(shù)本身補充：1、反比例函數(shù)的性質2、與曲線函數(shù)的聯(lián)合運用〔常考查有無交點、交點圍城圖行的面積——入手點常有兩個——⑴直接帶入,利用二次函數(shù)判別式計算未知數(shù)的取值；⑵利用斜率,數(shù)形結合判斷未知數(shù)取值〔計算面積基本方法也基于此3、反函數(shù)變形〔如右圖1、y=1/〔x-2和y=1/x-2的圖像移動比較2、y=1/<-x>和y=-〔1/x圖像移動比較3、f<x>=<c≠0且d≠0>〔補充一下分離常數(shù)〔對比標準反比例函數(shù),總結各項內容xyxyOf<x>=一般式：頂點式：兩根式：圖象及其性質：①圖形為拋物線,對稱軸為,頂點坐標為②當時,開口向上,有最低點當時。。。。。③當=>0時,函數(shù)圖象與軸有兩個交點〔；當<0時,函數(shù)圖象與軸有一個交點〔；當=0時,函數(shù)圖象與軸沒有交點。④關系定義域：R值域：當時,值域為〔；當時,值域為〔單調性：當時；當時.奇偶性：b=/≠0反函數(shù)：定義域范圍內無反函數(shù),在單調區(qū)間內有反函數(shù)周期性：無補充：1、a的正/負；大/小與和函數(shù)圖象的大致走向〔所以,a決定二次函數(shù)的2、3、二次函數(shù)的對稱問題：關于x軸對稱；關于y軸對稱；關于原點對稱；關于〔m,n對稱4、二次函數(shù)常見入題考法：⑴交點〔交點之間的距離⑵值域、最值、極值、單調性⑶數(shù)形結合判斷圖形走勢〔選擇題指數(shù)函數(shù)xyOxyOf<x>=f<x>=圖象及其性質：1、恒過,無限靠近軸；2、與關于軸對稱；但均不具有奇偶性。3、在y軸右邊"底大圖高"；在y軸左邊"底大圖低"——靠近關系定義域：R值域：單調性：當時；當時。奇偶性：無反函數(shù)：對數(shù)函數(shù)周期性：無補充：1、2、圖形變換Log21/x和Log2-xln〔x-1和lnx-1xxyOf<x>=f<x>=對數(shù)函數(shù)〔和指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)圖象及其性質：①恒過,無限靠近軸；②與關于軸對稱；③x＞1時"底大圖低"；0＜x＜1時"底大圖高"〔理解記憶定義域：R值域：單調性：當時；當時；奇偶性：無反函數(shù)：指數(shù)函數(shù)周期性：無補充：1、雙鉤函數(shù)〔變形式圖象及其性質：①兩條漸近線：②最值計算：定義域：值域：單調性：奇偶性：奇函數(shù)反函數(shù)：定義域內無反函數(shù)周期性：無注意:雙溝函數(shù)在最值、數(shù)形結合、單調性的考察中用得較多,需特別注意最值得算法冪函數(shù)〔考察時,一般不會太難無論n取任何實數(shù),冪函數(shù)圖象必然經(jīng)過第一象限,并且一定不經(jīng)過第四象限。不需要背記,只要能夠快速畫出n=±1,±1/2,±3,,1/3,0,的圖象就行注意：掌握y=x3的圖像；掌握y=ax3+bx2+cx+d的圖像<當a>0,當a<0時>；補充：利用數(shù)形結合,判斷非常規(guī)方程的根的取值范圍。例：P393,例題10函數(shù)圖象變換一．平移變換二．對稱變換①y＝f〔－x與y＝f〔x關于y軸對稱；②y＝－f〔x與y＝f〔x關于x軸對稱；③y＝－f〔－x與y＝f〔x關于原點對稱；④y＝f－1〔x與y＝f〔x關于直線y＝x對稱；⑤y＝|f〔x|的圖象可將y＝f〔x的圖象在x軸下方的部分以x軸為對稱軸翻折到x軸上方,其余部分不變．⑥y＝f〔|x|的圖象：可將y＝f〔x,x≥0的部分作出,再利用偶函數(shù)關于y軸的對稱性．三、伸縮變換①y＝Af〔x〔A＞0的圖象,可將y＝f〔x圖象上每一點的縱坐標伸〔A＞1縮〔0＜A＜1到原來的A倍,橫坐標不變而得到．②y＝f〔ax〔a＞0的圖象,可將y＝f〔x的圖象上每一點的橫坐標伸〔0＜a＜1縮〔a＞1到原來的,縱坐標不變而得到．四、函數(shù)及圖象<大致圖象>典型例題精講例1：已知y＝f〔x的圖象如圖2—7所示,則下列式子中能作為f〔x的解析式是〔AA．B．x2－2|x|＋1C．|x2－1|D．解析：當f〔x＝時,其圖象恰好是上圖．例2：畫出函數(shù)y＝lg|x＋1|的圖象．解析：y＝lg|x＋1|．例3：要將函數(shù)y＝的圖象通過平移變換得到y(tǒng)＝的圖象,需經(jīng)過怎樣的變換？解析：y＝－1,先沿x軸方向向左平移1個單位,再沿y軸方向向上平移1個單位,即可得到y(tǒng)＝的圖象．例4：方程kx＝有兩個不相等的實根,求實數(shù)k的取值范圍．解析：設y1＝kx①y2＝②方程①表示過原點的直線,方程②表示半圓,其圓心〔2,0,半徑為1,如圖2—9．易知當OA與半圓相切時,,故當0≤k＜時,直線與半圓有兩個交點,即0≤k＜時,原方程有兩個不相等的實根．例5：作函數(shù)f〔x＝x＋的圖象．分析：f〔x＝x＋不能由已知函數(shù)圖象變換得到,故需對函數(shù)f〔x的性質進行研究．解析：函數(shù)的定義域是〔－∞,0∪〔0,＋∞,∵f〔－x＝－f〔x,∴f〔x是〔－∞,0∪〔0,＋∞上的奇函數(shù),又|f〔x|＝|x＋|＝|x|＋≥2,當且僅當|x|＝1時等號成立,∴當x>0時y≥2；當x<0時,y≤－2；當x∈〔0,1時函數(shù)為減函數(shù),且急劇遞減；當x∈［1,＋∞時函數(shù)為增函數(shù),且緩慢遞增,又x≠0,y≠0,∴圖象與坐標軸無交點,且y軸是漸近線,作出第一象限的函數(shù)的圖象,再利用對稱性可得函數(shù)在定義域上的圖象,如圖2—10所示．評述：〔1熟悉各種基本函數(shù)圖的"原型"是函數(shù)作圖的一項基本功；先研究函數(shù)的性質,再利用性質作圖則能減少作圖的盲目性,提高圖象的準確性．〔2與圖象有關的"輔助線"要用虛線作,以起到定形、定性、定位、定量的作用．例6：f〔x是定義在區(qū)間［－c,c］上的奇函數(shù),其圖象如圖所示．令g〔x＝af〔x＋b,則下列關于函數(shù)g〔x的敘述正確的是〔BA．若a<0,則函數(shù)g〔x的圖象關于原點對稱B．若a＝－1,－2<b<0,則方程g〔x＝0有大于2的實根C．若a≠0,b＝2,則方程g〔x＝0有兩個實根D．若a≥1,b<2,則方程g〔x＝0有三個實根解析：將f〔x圖象上每點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腶倍,橫坐標不變,再將所得圖象向上〔b>0或向下〔b<0平移|b|個單位,得g〔x＝af〔x＋b的圖象．例6：<全國Ⅱ>把函數(shù)y＝ex的圖象按向量＝<2,3>平移,得到y(tǒng)＝f<x>的圖象,則f<x>＝<C>ex－3＋2<B>ex＋3－2<C>ex－2＋3<D>ex＋2－3例7：<XX模擬>如圖為函數(shù)y＝m＋的圖象,其中m,n為常數(shù),則下列結論正確的是<D><A>m<0,n>1<B>m>O,n>l<C>m>O,0<n<1<D>m<0,0<n<1例8：<XX模擬>函數(shù)y＝e－｜x－1｜的圖象大致是<D>例9：在直角坐標系xOy中,已知△AOB三邊所在直線的方程分別為x＝0,y＝0,2x＋3y＝30,則△AOB內部和邊上整點〔即橫、縱坐標均為整數(shù)的點的總數(shù)是〔BA．95 B．91 C．88 D．75解析：畫出圖象,補形做出長方形AOBC,共有整點數(shù)11×16＝176,而六點〔0,10,〔3,8,〔6,6,〔9,4,〔12,2,〔15,0在長方形的對角線上,所以符合題意的點數(shù)為〔176＋6×＝91．例10：將函數(shù)y＝logx的圖象沿x軸方向向右平移一個單位,得到圖象C,圖象C1與C關于原點對稱,圖象C2與C1關于直線y＝x對稱,那么C2對應的函數(shù)解析式是_____．解析：C:y＝log〔x－1；由－y＝log〔－x－1得C1:y＝log2〔－x－1；求C1的反函數(shù)得y＝－1－2x．例11：若函數(shù)y＝｜－x2＋4x－3｜的圖象C與直線y＝kx相交于點M〔2,1,那么曲線C與該直線有個交點．解析：〔數(shù)形結合法作y＝｜－x2＋4x－3｜的圖象,知其頂點在M〔2,1．過原點與點M〔2,1作直線y＝kx,如圖．∴曲線C與直線y＝kx有四個交點．例12：作函數(shù)y＝〔|x－1|的圖象．解析:〔1y＝故它在區(qū)間［1,＋∞上的圖象,可由y＝2－x〔x≥0的圖象沿x軸方向向右平移1個單位得到在區(qū)間〔－∞,1上的圖象,可由y＝2x〔x<0的圖象沿x軸方向向右平移1個單位得到．例13：已知函數(shù)y＝f〔x〔x∈R滿足f〔a＋x＝f〔a－x,求證y＝f〔x的圖象關于直線x＝a對稱．證明:設p〔x0,y0是y＝f〔x圖象上的任一點,則有y0＝f〔x0,設點P關于直線x＝a的對稱點為p′〔x′,y′,則有,即由y0＝f〔x0y′＝f［a－〔a－x′］＝f〔x′．即點p′〔x′,y′也在y＝f〔x的圖象上．∴y＝f〔