物理-第8章靜電場電荷、守恒量子性

電磁學(xué)內(nèi) 第十三 電磁§8-1電電電荷、電荷守恒、電荷的量電荷分為正電荷和負(fù)電荷；電荷的單位為庫侖在孤立系統(tǒng)中,電荷的代數(shù)和保持不---電荷守電荷的量基本電

e1.6021019)qne(n1,2,)強(qiáng)子的夸克模型具有分?jǐn)?shù)電荷：23

13電子對的湮二庫侖定點(diǎn)電荷模型：沒有形狀和大小，只帶電荷的物體（帶電的點(diǎn)庫侖定律在真空中，兩個靜止的點(diǎn)電荷之間的相互作用力的大小與它們電荷量的乘積成正比，與它們之間的距離的平方成反比；作用力的方向沿著兩點(diǎn)電荷的連線方向，并且同號電荷相互排斥，異號電荷相互吸引。

1212r

k

Nm2

C2

令k

為真空介電常量（真空電容率04π00

4π

8.85421012

m2F12e0rF12e0r： ：

12

q2q

nFFFF n 2i2

度及兩點(diǎn)電荷之間存在相互作用的庫侖力，但其相互作用怎樣實現(xiàn)

超距作用電電電電電場存在于電荷及電場具有通常物質(zhì)所具有的力和能量等客觀屬性電場的力的性質(zhì)：電場對放入其中的電荷有作用力，電場力電場的能的性質(zhì)：當(dāng)電荷在電場中移動時，電場力對電荷作功靜電場：如果電荷是靜止的，它產(chǎn)生的場稱為靜電場二電場強(qiáng)度（場強(qiáng)

Q：場源電F0F0

實驗發(fā)現(xiàn)

試驗電荷：體積足夠?。ㄍ浑妶觯囼炿姾?，不同地方受力的大小和方向一般同同一電場，同一地方，不同試驗電荷受力的大小

q0成 E

NC1

Vm1電場強(qiáng)度的物理意義：單位正電荷所受到的庫侖三電場力及其計算一個點(diǎn)電荷處于電場中受到的電場力為F 一個點(diǎn)電荷系處于電場中受到得電場力為F11 q2連續(xù)帶電若電荷連續(xù)分布，取電荷元dq，它受到的電場力dF連續(xù)帶電體受到的電場力為：

電荷為線

dq

dl電荷為面

dq電荷為體

dq

dV其中、、分別為電荷線密度、面密度和體密FF

FF 線分 面分 體分四點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場與場強(qiáng)疊r1荷產(chǎn)生的電r點(diǎn)電

0的作用 0F4 r2 0q0處電場強(qiáng)度E

4π0球?qū)ΨQ性 同r處,場強(qiáng)大小相場強(qiáng)方向沿徑q>0,場強(qiáng)與矢徑同向正電荷發(fā)

q<0,場強(qiáng)與矢徑反負(fù)電荷收2強(qiáng)度的疊加原

F1

EF

E q1q3點(diǎn)電荷系產(chǎn)生的電

0iEE ... r2 r2

404連續(xù)帶電體產(chǎn)生的dE

E

E

E

E

五用疊加原理計算電場強(qiáng) 電偶極子的軸l電偶極矩（電矩）

電偶極子軸線延長線上一點(diǎn)的電場強(qiáng)plpll l

l l

4π0

(x

E

4π0

(xE

E4 (x 0 0若x

E 2lqi 2334π0 4π033電偶極子中垂線上一點(diǎn)的電場強(qiáng)E

4π0 E

4π0 r

rrE

4

r3 EEyBEEyBlx33例2求一均勻帶電直線中垂線上的場解：取電荷元dq=λdy,則此電荷元在中垂線上任意P的場

r2

對稱性分

dE

cosr0 r0

x

cos2

dr

統(tǒng)一變

則

4r34x 0則：E dE0

cos

sin

20x x20

2(L推廣：無限長直線外任一點(diǎn)的

E 20若x

EL

x2

2例2正電q均勻分布在半徑為

的圓環(huán)上.計在環(huán)的軸線上任一點(diǎn)

的電場強(qiáng) E

由對稱性

EExiyydqr(q2π)qRoxPxzdE4π1dl0rqqyRdqr( 2πRPxozxdE dl4πer0rE

dEcos

r02πR r00 4π0

r3

4π0

(x2

R2)3qyRdqqyRdqroPzxxE04π(x20

R2)3討x討2 24π0（點(diǎn)電荷電場強(qiáng)度x3E 34π0

0,E .均勻帶電圓弧在圓心處的電 Pyydq2πr(x2r2)1/xPzRdE例3均勻帶電薄圓盤軸線上的電場通過盤心且垂直盤面的軸線上任意一點(diǎn)處的場強(qiáng)有一半徑為R,電荷均勻分布的薄圓盤,其電荷面密E40(x 2dEdq4(x r 2302rdr 0(xr 23 (x2r2)30yyrPxzR2EdEdE(x r2230x0R 0xR(x2r2)3/d(x2r2(x2r2)3/x R00x2r0xx2)E 討20 x討xx

0 0E

（點(diǎn)電荷電場強(qiáng)度24π02 R2 R2(x2

R2)2 ) x2 x2均勻帶電圓柱軸線上一點(diǎn)的場強(qiáng)，體密度

平板平板電容器在空間的場強(qiáng)-000PP電荷體密度 P L電場線電場強(qiáng)度通 —電場（E線電場線上每一點(diǎn)切線方向與該點(diǎn)場強(qiáng)方向一致電場中每一點(diǎn)的電場線的數(shù)密度表示該點(diǎn)場強(qiáng)的大小點(diǎn)附近垂直于電場方向上的單位積內(nèi)所通過的電場線條數(shù) SE電場線（靜電場）電場線（靜電場）靜電場的靜電場的電場線始于正電荷（來自無窮遠(yuǎn)）,止于負(fù)電荷(去向無窮遠(yuǎn)).靜電場的靜電場的電場線是永不閉合的曲線同一電場的電場線不相點(diǎn)電荷的電場

+電偶極子的電場+一對等量正點(diǎn)電荷的電場 一對不等量異號點(diǎn)電荷的電場 q帶電平行板電容器的電場++++++++++++二電場強(qiáng)度通量(電通量 SneSn有向曲面的概S面元矢量

對閉合曲面，面元的法線方向向外電場強(qiáng)度通量的定電場中通過某一有向曲面的電場線的條數(shù)叫做通過這的電場強(qiáng)度通量（簡稱

通量），

Φe表示E通量的正負(fù)：沿著有向曲面法向通過的電場線為正的通量；逆著有向曲面法向通過的電場線為負(fù)SSE電場強(qiáng)度SSE均勻電場中,場強(qiáng)E與有向平面S面的E通量為：

的夾角

，則通

用矢量點(diǎn)乘表示:

E

E

EScos00

900

e

900

1800

e

SE En ne900

e

SE非均勻電場、任意曲面的電場強(qiáng)度通量通過dS的電場強(qiáng)度通

EdSEdS

通過任意

S的電場強(qiáng)度通

4通過封閉曲面SΦ

dS

πSπ穿出：1 π2π

dΦe1

1 穿入 2

dΦe2

Φe

穿出和穿入電場線條數(shù)的代數(shù) 定定理的導(dǎo)

庫侖定定電場強(qiáng)度疊加原定點(diǎn)電荷位于封閉球面r r04π 0

EdS

4π0

EdS

4πr2 0 dSr+2r+2

0 即穿過封閉球面的電場線的條+q+q點(diǎn)電荷在任意封閉曲面內(nèi)++qeq0qE2dS2點(diǎn)電qE2dS2

dS1

dS2 ：1

總之：在一個點(diǎn)電荷電場中，通過任意一個閉合曲面的電場強(qiáng)度通量為 e

EdS (S沒有包含q)多個點(diǎn)電荷產(chǎn)生的由疊加原理E

E2ΦeEdS

dSSS

dS

S

dS i（外Si（外

dSq1Eq1Esqi

S

S

i0 i EdS內(nèi)eS0定理：在真空中的靜電場內(nèi)，通過任意閉合曲面E通量等于該閉合曲面內(nèi)所包圍的凈電荷（電荷量的數(shù)和）除以0,這個閉合曲面稱為 面上的電場強(qiáng)度為所有內(nèi)外電荷的總電場強(qiáng)度面為封閉 面內(nèi)的電荷 面的電場強(qiáng)度通量有貢獻(xiàn)定理是靜電場有源性的數(shù) 應(yīng) 定理求解具有對稱性的帶電體系的場

e基本步驟

場強(qiáng)的對稱性分析 球?qū)ΨQ的例1、一半徑為R,均勻帶電q的薄球殼

1求球殼內(nèi)外任意點(diǎn)的電場強(qiáng)度r解：場強(qiáng)呈球?qū)ΨQ分布 面為球r

+++R 0r

EE1e S EdS1（2）re

S2

EdS0 E4π0R E4π0R2oRE 4200例2、一半徑為R,均勻帶求球內(nèi)外任意點(diǎn)的電場強(qiáng)度

的球解：場強(qiáng)呈球?qū)ΨQ分布 面為球

e

S1

EdSR3

4r3 3

EdS

34r2（2）rr+++r++++O++s+R+r++++2E430Rq4π0RE2oREq420r

EdS

q0

4πr2E0例3、有一均勻帶電球體，半徑為R，電荷體密度為，在球內(nèi)挖一半徑為r的球形空腔，求證此空腔內(nèi)的電場是解：雙填補(bǔ)先考慮均勻帶電的實心球體在球腔中一

的場強(qiáng)

4r3

Oe S

dS

q0

4r2E

實心球體在球腔中同一點(diǎn)的場

最后由場強(qiáng)的疊加原理：EE

r

r

軸（柱）對稱的情例4無限長均勻帶電直線，電荷線密度為為處的

，求距直解對稱性分析：軸對 選取閉合的圓柱 EdS

EdS

EdS

EdS Srs(柱面r

s(上底

s(下底 EdS

s(柱面 0 0

2πrhE0

E2π 例5無限長均勻帶電圓柱，單位體積內(nèi)的電荷，即電體密度為，求距圓柱為處的電場強(qiáng)度 解對稱性分析：軸對 E+E選取閉合的圓柱 +EdS

EdS

EdS

EdS s(柱面

s(上底

s(下底

hr EdS

2

q es(柱面

R2

0rR時0

E2

rR時

r2h

E0面對稱的例6無限大均勻帶電平面，電荷面密度為為處的解對稱性分析E垂直平面

，求距平EdSS

底面EESES0EEE EEEE

E2

E3靜電場的保守性定—電場力做功的特點(diǎn)12

F1

0rr3rdr

0

12 12 0(11

在點(diǎn)電荷q的電場中,q0受到的電場做功只與始末位置有關(guān)，與路徑無 rrFqPq01

點(diǎn)電荷的電場力是保守任意電荷的電場（視為點(diǎn)電荷的組合）Fi

q(11

i i與被移動電荷的始末位置有關(guān)，即靜電力是保守力若路徑為閉合回路，電場力做功為A

drL二靜電場的環(huán)流定電場力做功還可表示為：

q01121 表示把單位電荷從P沿任意路徑移1121

電場力所做的功r若路徑為閉合回路，電場力做功為rAq0

Edr

Ed 靜電場的環(huán)流定理：在靜電場中，場強(qiáng)沿任意閉合路徑等于零。靜電場的保守性：在靜電場中沿任意閉合路徑，場強(qiáng)的零。即靜電場中任何地方的電場線不會成渦旋狀（電場線不閉合—電勢

電勢能電(0) (0) Fdrq0 E表示：點(diǎn)電荷q0在電場中某點(diǎn)a的電勢能，在數(shù)值上就等于把電荷q0從該點(diǎn)移到零勢能處靜電場力所作的功.當(dāng)電荷分布在有限區(qū)域時，常選擇無窮遠(yuǎn)處為電勢能零，則電荷處于電場中的電勢能表示為 Fdrq0 E電勢能為電荷q0與靜電場（場源電荷產(chǎn)生的）所共有的電勢電勢為電勢能與點(diǎn)電荷的比

可見，電勢只與電場本身和場點(diǎn)a的位置有關(guān)q0無關(guān)電勢的物理意義baE電勢差：電場中某兩點(diǎn)的電勢之差baEUab (0)

Va Edr(0)

Ea電場中a、b兩點(diǎn)的電勢差：就是把一個單位正電荷a點(diǎn)移到b點(diǎn)電場力所做的 電勢單位：伏特(V)電場力做功、電勢能、電勢、電勢差的關(guān)已知電勢求電勢能

已知電勢能求電場力做功

已知電勢差求電場力做功

三電勢的計算方1荷電場的電

令 VP

r0 4 r0

等勢r0 4 r0VPq4πVPq4π0q

VV

離點(diǎn)電荷越遠(yuǎn)2的疊加原點(diǎn)電荷系

EEq32qa3E1 a

VV aii4π0ra a(0) 4π03利用疊加原理求電點(diǎn)電荷或點(diǎn)電荷系（選無限遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)V

4π

0i有限大連續(xù)帶電體（選無限遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)

已知場強(qiáng)，求電勢（若連續(xù)帶電體電荷分布擴(kuò)到無窮遠(yuǎn)，電勢零點(diǎn)不能再取無窮遠(yuǎn)(0) E例1電偶極子的電勢延長線上的電

P 40(R2) 40(R2) 中垂線上的電

0

l例2長為L,均勻帶電的桿的電勢分延長線上的電

R

P0 4(L0L

R

(L

R OO 中垂線上的

L

xdx

0x2r20x2r2L2 lnV2 V2

0 例 正電荷q均勻分布在半徑為R的細(xì)圓環(huán)上.求y+ +R++y+ +R+++++dqdl2πrxxz++++P14π0r2π

4π

20

2

4π0x24π0x2R2

4π0

x2R2x

4πq00qq00q4π0q4π0Voxq4π(x2R2)10

4π推廣到均勻帶電薄圓盤軸線上的電

R

rdr

rdqrdq2πx2r2Rxx P4π0xx2r0

由場強(qiáng)求電勢

x2x2R2

x2R2x2x2R2x2R2x2R2

(1 )dx

例4均勻帶電球殼的

Q，半徑

R的帶電球殼R解rR，E1Rr當(dāng)r

4π0V

E2

V

ERR

4π0rQ

Q

E2Q4π0Q4π0VQ4π0oRr

4π0例5兩個同心均勻帶電球面，小球半徑為R1，帶電大球半徑為R，帶電q2，求電勢分布2解rR2

r 0 0RrR

4

40 rR1V3

PP例 “無限長”帶電PP解：已知場強(qiáng)

0 0

(0) dr

2能否

0？0為勢能零VP

0EdrPP P

0 (lnr0

lnr)

dr

Edr

Edr

例7在電偶極子電場中，將點(diǎn)電荷q0從P

P電場力的P和P的電

40(R

l 4(Rl VP 4