高數(shù)-微分方程暑假重修

5--1、可分離變量的微分方一階常微分方程為

F(

y,y)其擬線性形式

y

f(x,y)若y

f(

y或

(x)dx

gy)dy可分離變的微分方設(shè)函數(shù)g(y)f(x)是連續(xù)的g(y)dyf(

分離變量設(shè)Gy)和Fx)分別為gy和fx的原函數(shù)GyFxC為微分方程的解例求解微分方

(x

2)y

x2y例

y

e2xy例求微分方

y2)dx

x(1

y

0的解2、齊次方定dy

f(x

)的微分方程稱為齊次方程y解

作變量代u

,y

u

代入原

uxdu可分離可分離變量的方

f即du

f(u)uxdu

f(u)u f(uu

時(shí),得

f(u)

lnC1x即x

Ce(u),（(u)

yf(u)yu

y代入x

x

x當(dāng)u0

f(u0)

u

代回原方程

得齊次方程的

yu0x.例求解微分方 xydyy2dx(xy)2ex的通解求解微分方(x

y

dxx

x

ydy

x x

y

x的解問題

y(1)3、線性方一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式dy

P(x)

Q(x)

當(dāng)Qx)

0,()稱為一階齊次線性微分方程當(dāng)Qx)

()稱為一階非齊次線性微分方程dy

yx2

dx

xsin

t2

線性的yy

2xy

y

y

非線性的一階線性微分方程的解線性齊次方(使用分離變量法

dy

P(x)

dyy

P(x)dx,

dyy

P(x)dx,lnyP(x)dxlnC1,齊次方程的通解為

(C

C1

dy

P(x)

Q(x).把齊次通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法實(shí)質(zhì):未知函數(shù)的變量代換.(

CeP(x)dx新未知函

u(x)

原未知函

y(x),作變

yu(x)e

P(x一階線性非齊次微分方程的通解為yeP(x

[Q(x)eP(

CCeP(x)dxeP(x)dxQ(x)eP(x例求解微分方程

xyy

x2例

yx

ysinx

的通解

(x2

(2

dx

1的特解若方程

dx

P(y)

y).則其通解為xeP(y)dy[

eP(y

CCeP(y

eP(y

y)eP(y例y2dx

(y2

2xy

0的通解一、y(n)=f(x)型特點(diǎn)右端僅含自x.解法yfx)

yf(x)dxy(f(x)dx)dx

該法也適用于更高

y(n)

f(x)y

((

f(x)dx)dx)dx

(n

xn1例cn1x例解方

x

二、yf(xy特點(diǎn)右端不出y.解法

dyp

y原方程變

p

f(x,

為一階微分方例例

y

x的解yfyy特點(diǎn)yfyy解法

y

dp

dpdy

pdP方程變

pdpd

f(y,p)這是關(guān)于y,p的一階微分方程例

0的通解5、全微分方程及其求定義:du(

P(

Q(

全微分方P

或恰當(dāng)方例如

u(

y)

1(x22

y2du(

y)

xdx

所以是全微分方程若為全微分方程,則其解

y)全微分方

Q解法P(

全微分方應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān)

通解

u(

y)

xP(

y)dx

yQ(x00

yQ(x,y)dy xP(x,

)dx,

u(x,00y 00用直接湊全微分的方法例求解下列微分方例(x3

3xy2

(

3x2

dy(3x2e

3y2

(x3e

6

6、線性微分方程的解的結(jié)二階線性微分方程的一般形式y(tǒng)P(x)yQ(x)yf(x)若

(x)

0,

齊次線性微分方程若

(x)

0,稱為非齊次線性微分方程二階齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)yP(x)y定理定理定理yP(x)y二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)二階非齊次線性方y(tǒng)

P(x)y

Q(x)y

f(x)

定理

設(shè)y1和y2均為方程(2)的解則y1y2為對應(yīng)的方程(1)的解即兩個(gè)二階非齊次線性方程的解的yP(x)y定理y1為非齊次方程(2)的解,y定理

y1+y2為非即一個(gè)二階非齊次線性方程的解y

P(x)y

Q(x)y

y

P(x)y

Q(x)y

f(x)

定理

設(shè)y是二階非齊次線性y

P(x)y

Q(x)y

f(x)

的一個(gè)特解,Y是與(2)對應(yīng)的齊(1)的通解,那么y=Y+y線性微分方程(2)的通解yP(x)yy

P(x)y

Q(x)y

f(x)

定理 設(shè)非齊次方程(2)的右端f(x)是幾函數(shù)之和y

P(x)y

Q(x)y

f1(x)

f2(x)12yy分別是方12yy

P(x)yP(x)y

Q(x)yQ(x)y

f1(x)f2(x)解的疊加原的特解,y1與y2就是原方解的疊加原例設(shè)二階線性非齊次方程的三x,

ex

,1

xex

求其通解7、二階常系數(shù)齊次線性微分方定二階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)ypyfx

y

pyqy稱為二階常系數(shù)齊次線性微fx

ypy稱為二階常系數(shù)非齊次線性 特征方程特征方二階常 特征方程特征方y(tǒng)pyqyr2prq有兩個(gè)不相等的實(shí)根r1,通解為y1e1xC2er2x有兩個(gè)相等的實(shí)r1=r2=通解

y

C2x)erx;有一對共軛復(fù)根

r2

通解

yex(C1

sinx).例

4y4

解特征

r2

40解得

2故所求通解

y

C2x)e2x例求方

2y5

解特征方程

r2

50

12i故所求通解為

ex(C1cos2

sin2x).例y5y6

0

y(0)y(04的特解例例

4

8、二階常系數(shù)非齊次線性方

ypyypy

通解結(jié)

yY

yy

xkexQm

(x)

（1）f(x（1）f(xexPm(x)1

是單根求方

3y2y

xe2

的通解求方

2y

ye

3x

1的通解xex[Px)cosxPx)sinxlny

xkex

Qmeixmmxkex