高數(shù)-第五章二、第二類換

一、第一類換二、第二類換基本思設(shè)F(u)f(u), 可導(dǎo),則dF[(x)]f[(x)](x)dxF[(x)]

F(u)

u(x)

u(x)一、第一類換定理

f(u有原函數(shù)

u(x)可導(dǎo)

f

u(x)

[(x)](x)dx

f((x))d(x)(也稱湊微分法例

32令u

3

得du

即12

原式2或

2

C

1ln322

C dx

32

3

32x

d(32x)1ln322

C.（湊微分法

23

湊微分解:u23

du

dx3原式=

sinu3du2

2

udu2

cosu

2

cos3

x或:

2xdx

sin

23

2x3

3cos

x例1解:

axb,

du

adx=um

1du1

um1 m1注意換回原變注注意換回原變例2解 a2x

1

d1d1ua1令u ,a

du dx d 1u

1a

u例3. 1(a 1(ax2

1(x1(xa 1u想到1u

arcsinuf[(x)](x)dx

f((x))d(x)

例4求解

xdx

dcos cosxsindsinsin例5

1(xa)(xa)1

x2a2

(xa)(x

2ax

x

1

x

xa1

d(x

d(x

x

xa1

x

x

C

xa 2 x求解（一）sin21

sin2xd(2x)2 cos2xC;解（二）sin2xdx2

x

2

xd

x)

x

C;解（三）sin2

2

x

2cos

xd

x

C1)

f(a

b)d

能a能

2)

f(xn)xn1dxn

dxn 3)

n1f(x dxn1

1dxn xn 4)

f

x)cosxdx

5)

f(cosx)

xdx

6)

f

x)

xdx

dtan7)

f(ex)exdx

de8)

f

x)dx1x1

dln例6.解原式=

dln

1

2ln12ln

1

2lnx例7求e3x解原式

dx.xe3xx

3

x x)2e3

x例8

sec6xdx.解原式

(tan2

x

dtan(tan4

x2

x1)dtan1tan55

23

xtanx例9.求

1e (1e)

dx

dx

d(1e1e

1e解法

x

ex)e

ex1ex 1ex

ex)

ex)

ln[ex(ex

例10解法

xdx

dsincos2 1sin21

dsin sin

1

12

1sin

1sin

12

1sinx1sin

xsecx

tand(secxtansecxtancscxdx

cscxcotx

tanx2

(P199例18x3(x2ax3(x2a232 x2dx2 (x2a2)a2 (x2a2)32(x2a2(x2a2)32(x2a2)32 (x22

a2

d(x2

a2a22

(x2

a2

d(x2

a2 例12解:

x

x)2

21cos2x 22414

2

2x

2x)414

2cos

1cos4x21(32

2x

1

4x) cos4x

241(24

828

2x

1

24x)223dx2

2x

1cos4xd(4x)例134解:4

xcos23x

[1(sin4xsin24124

4x

12sin4xsin2x

1sin22x841(184

2xcos

1(1cos4x)4∴原式4

1dx

1cos8x21sin22

2xd(sin2x)

1

4xd(4x)88 例14eeee

1xe

1xe

)d(xex

xex

1xexxln

1xex

1

xex

xexex(1

xex

xex(x1)exdx

xexdx

exdx例15解:原式

f(x)

1

f(x)

(x)

f(x)

f2(x)

(x)

f2(x)

f(x)

(x)f f(x)f(x)

d(f

(x)(x)

2(x)12

f(x)f

22小結(jié)常用簡化技巧 利用積化和差;分式分項(xiàng)1sin2xcos2x 利用倍角公式,nf(xn)xn1dxn

f(xn)dxnfnfn

nf(x nx

(xn)1dxnxn統(tǒng)一函數(shù):利用三角公式;思考與下列各題求積方法有何不同思考與

dx

1d(4

x2

4x224x2 4x22 4x21212

4x24xx4xx2

22.(x10(x10)110d110d110d法 二、第二類換f[(x)](x)dxf(u)d

u(x)難 易若所求積分

f(u)d

定理2.設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù),且具有原函數(shù),

其中

1(x是

(t)的反函數(shù)證:

f[(t)](t)的原函數(shù)為(tF(x)

1(x)] F(x)

d

dt

f(x)

F(x)C[1(x)]f[(t)](t)d

t1(x)a2xa2x2

dx

0)解

asint

t(πa2a2x2a2a2sin22

π),

a2x2a2x2at2dxat2

原式

a2cos

tda2 1cos2td2

a2

tsin

sin

2sintcost2xa2xa2x2a22

arcsina

1 a2a2x2例17x2x2a2

atant

t(πa2a2tan2ta22

π),

2a2dx

a

td原式

asec2a

dt

sectdx2x2a2tx2x2a2

tan

ln

x

a(Ca

ln2例182解當(dāng)x

a時(shí)

xasect

t(0,

π),dx

x2x2a2

a2sec2ta2sec2ta2

atan原式

asecttan

dt

sectdatan

sec

tan

tx2a2x2atx2a2x2a2aa

(C

lnu2a2u2a2

a時(shí)

xu

則u

a于u2a2u2a2

lnu

lnln

xx2x2a2

xxx2a2

2ln 說明 代換外

ch2

sh2

1 xasht或xach消去根式,所得結(jié)果一致 (參考P204~P2052.再補(bǔ)充兩個(gè)常曲函數(shù)積分公

shch

xdxxdx

chxshxexshxexe2chxexe2說 積分中為了化掉根式常常用三角代換,但這并不是x5例

1x2

（三角代換很繁瑣1x21x2

t

xdx

tdt原式

t

x22x2

1t5

2t3

tC

x2 x4

例19求

a2

dxx4t解:令x1,則ta2a2t原式

1d

(a2t

tdt tt原式

2a22

(a2t

d(a2t

(a 1)2 3a2x0時(shí)類似可得同樣結(jié)果nn1)

f(x

)dx

令t naxnaxnaxbcxdnacxd講2)

f(x

)dx

令t 3)4)5)

f(xa2x2a2x2x2a2x2a2

)dxa2x2a2x2)dx

令x令x令x

asint

或x或x或x

ashtacht6)

f(ax)dx

tax7)分母中因子次數(shù)較高時(shí)可試用(P205~ 例20解:原式

2(x1)2( )22212

x1

(P206(20)2例212解:I2

d(2x)

1(2x)(2x)2

2x 4x2(P2064x2例22(5)2(5)2(x1)2222例23

d(x

(P206(22)解:

de

arcsinex1e21e2例24解令x

a2t2a2t21t原式

da2t21a2t21

d(a2t

1)a2

a2t

1例25(x(x1)2(x(x1)21x1t1t2t11t11

(t

)d

d1t(11t

1dt

d1t2d1t1t2d