選修23隨機(jī)變量及其分布知識(shí)點(diǎn)總結(jié)典型例題

(圓滿版)選修2-3隨機(jī)變量及其散布知識(shí)點(diǎn)總結(jié)典型例題(圓滿版)選修2-3隨機(jī)變量及其散布知識(shí)點(diǎn)總結(jié)典型例題(圓滿版)選修2-3隨機(jī)變量及其散布知識(shí)點(diǎn)總結(jié)典型例題2-3隨機(jī)變量及其散布重點(diǎn)概括一、失散型隨機(jī)變量及其散布列1．(1)隨機(jī)變量：在隨機(jī)試驗(yàn)中，我們確立了一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確立的數(shù)字表示．在這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字跟著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化．像這類跟著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量．平常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)失散型隨機(jī)變量：全部取值能夠一一列出的隨機(jī)變量稱為失散型隨機(jī)變量．(3)失散型隨機(jī)變量的散布列：一般地，若失散型隨機(jī)量X可能取的不同樣x1，x2?，xi，?xn，X取每一個(gè)xi(i＝1，2，?，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示以下：Xx1x2?xi?xnPp1p2?pi?pn我將上表稱失散型隨機(jī)量X的概率散布列，稱X的散布列．有了起，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，?，n表示X的散布列．失散型隨機(jī)量的散布列的性：①pi≥0，i＝1，2，?，n；npi＝1.＝1(5)常的散布列：兩點(diǎn)散布：假如隨機(jī)量X的散布列擁有下表的形式，稱X遵照兩點(diǎn)散布，并稱p＝P(X＝1)成功概率.X01P1－pp兩點(diǎn)散布又稱0－1散布，伯努利散布．超幾何散布：一般地，在含有M件次品的N件品中，任取n件，此中恰有X件次品，事件{X＝k}生的概率P(X＝kn－kCMCN－M，k＝0，1，2，?，m，即k)＝nCNX01?m0n－01n－1mn－mPCMCN－MCMCN－M?CMCN－MCNnCNnCNn此中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.假如隨機(jī)變量X的散布列擁有上表的形式，則稱隨機(jī)變量X遵照超幾何散布．2．二項(xiàng)散布及其應(yīng)用(1)條件概率：一般地，A和B是兩個(gè)事件，且P(A)＞0，P（AB）稱P(B|A)＝P（A）在事件A生的條件下，事件B生的條件概率．P(B|A)作A生的條件下B生的概率．(2)條件概率的性質(zhì)：①0≤P(B|A)≤1；②必定事件的條件概率為

1，不能夠能事件的條件概率為

0；③假如

B和

C是兩個(gè)互斥事件，則

P(B∪

C|A)＝

P(B|A)＋P(C|A)．(3)事件的相互獨(dú)立性：設(shè)

A，B

為兩個(gè)事件，假如

P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件

A與事件

B相互獨(dú)立．假如事件

A與

B相互獨(dú)立，那么

－－A與B，A與

－－B，A與B也都相互獨(dú)立．(4)獨(dú)立重復(fù)：一般地，在同樣條件下重復(fù)做的稱n次獨(dú)立重復(fù)．

n次二散布：一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)中，事件A生的次數(shù)X，在每次中事件A生的概率p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)中，事件A恰巧生k次的概率P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，?，n.此稱隨機(jī)量X遵照二散布，作X～B(n，p)，并稱p成功概率．兩點(diǎn)散布是當(dāng)n＝1的二散布，二散布能夠看作是兩點(diǎn)散布的一般形式．3．失散型隨機(jī)量的均與方差均、方差：一般地，若失散型隨機(jī)量X的散布列Xx1x2?xi?xnPp1p2?pi?pn稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋?＋xipi＋?＋xnpn隨機(jī)量X的均或數(shù)學(xué)希望，它反應(yīng)了失散型隨機(jī)量取的均勻水平．n稱D(X)＝

(xi－E(X))2pi為隨機(jī)變量

X的方差，

D（X）為＝1隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．均值與方差的性質(zhì)：若Y＝aX＋b，此中a，b是常數(shù)，X是隨機(jī)變量，則Y也是隨機(jī)變量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．常有散布的均值和方差公式：①兩點(diǎn)散布：若隨機(jī)變量X遵照參數(shù)為p的兩點(diǎn)散布，則均值E(X)＝p，方差D(X)＝p(1－p)．②二項(xiàng)散布：若隨機(jī)變量X～B(n，p)，則均值E(X)＝np，方差D(X)＝np(1－p)．(2)正態(tài)曲線的特色：①曲線位于x軸上方，與x軸不訂交；②曲線是單峰的，它對(duì)于直線x＝μ對(duì)稱；1③曲線在x＝μ處達(dá)到峰值σ2π；④曲線與x軸之間的面積為1.(3)μ和σ對(duì)正態(tài)曲線的影響：①當(dāng)σ一準(zhǔn)時(shí)，曲線的地點(diǎn)由μ確立，曲線跟著μ的變化而沿x軸平移；②當(dāng)μ一準(zhǔn)時(shí)，曲線的形狀由σ確立，σ越小，曲線越“瘦高”，表示整體的散布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示整體的散布越分別．正態(tài)散布的3σ原則：若隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.在實(shí)質(zhì)應(yīng)用中，平常以為遵照于正態(tài)散布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之間的值，并簡稱之為3σ原則．專題一條件概率1．條件概率的求法(1)利用定義，分別求出P(A)和P(AB)，解得P(B|A)＝P（AB）P（A）.(2)借助古典概型公式，先求事件A包括的基本領(lǐng)件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包括的基本領(lǐng)件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝n（AB）n（A）.2．解決概率問題要注意“三個(gè)步驟，一個(gè)聯(lián)合”(1)求概率的步驟是：第一步，確立事件性質(zhì)；第二步，判斷事件的運(yùn)算；第三步，運(yùn)用公式．(2)概率問題經(jīng)常與擺列、組合知知趣聯(lián)合．【例1】在5道題中有3道理科題和2道文科題．假如不放回地挨次抽取2道題，求：(1)第1次抽到理科題的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科題的概率；(3)在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率．解設(shè)“第1次抽到理科題”為事件A，“第2次抽到理科題”為事件B，則“第1次和第2次都抽到理科題”為事件AB.(1)從5道題中不放回地挨次抽取2道題的事件數(shù)為n(Ω)＝A25＝20.依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，n(A)＝A13×A14＝12.n（A）123于是P(A)＝n（Ω）＝20＝5.專題二相互獨(dú)立事件的概率1．求相互獨(dú)立事件一般與互斥事件、對(duì)峙事件聯(lián)合在一同進(jìn)行察看，解答此類問題時(shí)應(yīng)分清事件間的內(nèi)部聯(lián)系，在些基礎(chǔ)上用基本領(lǐng)件之間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算表示出有關(guān)事件，并運(yùn)用相應(yīng)公式求解．2．特別注意以下兩公式的使用前提(1)若A，B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，反之不能夠立．(2)若A，B相互獨(dú)立，則P(AB)＝P(A)P(B)，反之成立．【例2】甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立加工同一種部件，甲機(jī)床加工的部件是一等品而乙機(jī)床加工的部件不是一等品的概率為1，4乙機(jī)床加工的部件是一等品而丙機(jī)床加工的部件不是一等品的概率為1，甲丙兩臺(tái)機(jī)床加工的部件都是一等品的概率為2129.(1)分別求出甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立加工的部件是一等品的概率；(2)從甲、乙、丙加工的部件中各取一個(gè)查驗(yàn)，求最罕有一個(gè)一等品的概率．專題三失散型隨機(jī)變量的散布列、均值與方差1．失散型隨機(jī)變量的散布列在高中階段主要學(xué)習(xí)兩種：超幾何散布與二項(xiàng)散布，因?yàn)檫@兩種散布列在生活中應(yīng)用較為寬泛，故在高考取對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的察看相對(duì)較靈巧，常與希望、方差交融在一同，橫向察看．2．對(duì)于散布列的求法，其難點(diǎn)在于每個(gè)隨機(jī)變量取值時(shí)有關(guān)概率的求法，計(jì)算時(shí)可能會(huì)用到等可能事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率公式等．3．均值與方差都是隨機(jī)變量重要的數(shù)字特色，方差是成立在均值這一見解之上的，它表示了隨機(jī)變量所取的值相對(duì)于它的均值的集中與失散程度，兩者聯(lián)系親密，在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中特別是風(fēng)險(xiǎn)決議中有重視要意義，所以在目前的高考取是一個(gè)熱門問題．【例3】某地域試行高考考試改革：在高三學(xué)年中舉行5次一致測(cè)試，學(xué)生假如經(jīng)過此中2次測(cè)試即可獲取足夠?qū)W分升上大學(xué)連續(xù)學(xué)習(xí)，不用參加其他的測(cè)試，而每個(gè)學(xué)生最多也只好參加5次測(cè)試．假定某學(xué)生每次經(jīng)過測(cè)試的概率都是

13，每次測(cè)試時(shí)間間隔適合．每次測(cè)試經(jīng)過與否相互獨(dú)立．(1)求該學(xué)生考上大學(xué)的概率；(2)假如考上大學(xué)或參加完5次測(cè)試就結(jié)束，記該生參加測(cè)試的次數(shù)為X，求X的散布列及X的數(shù)學(xué)希望．112324＝16.P(X＝5)＝C4··＋32733故X的散布列為：X2345P1441692727271441638E(X)＝2×9＋3×27＋4×27＋5×27＝9.【例4】(2012·棗莊檢測(cè))某單位為了參加上司組織的普及消防知識(shí)比賽，需要從兩名選手中選出一人參加．為此，設(shè)計(jì)了一個(gè)精選方案：選手從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題．經(jīng)過考查得悉：6道備選題中選手甲有4道題能夠答對(duì)，2道題答錯(cuò)；選手乙答對(duì)每題的概率都是

23，且各題答對(duì)與否互不影響．設(shè)選手甲、選手乙答對(duì)的題數(shù)分別為

ξ，η.寫出ξ的概率散布列(不要求計(jì)算過程)，并求出E(ξ)，E(η)；求D(ξ)，D(η)．請(qǐng)你依據(jù)獲取的數(shù)據(jù)，建議該單位派哪個(gè)選手參加比賽？ξ123解(1)ξ的概率散布列為131P555所以E(ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.22由題意，η～B3，3，E(η)＝3×3＝2，0131；或許P(η＝0)＝C33＝27P(η＝1)＝C13231132＝29；P(η＝2)＝C2323213＝49；P(η＝3)＝C33233＝278，專題四正態(tài)散布【例5】某市昨年高