選修23隨機變量及其分布知識點總結(jié)典型例題

(圓滿版)選修2-3隨機變量及其散布知識點總結(jié)典型例題(圓滿版)選修2-3隨機變量及其散布知識點總結(jié)典型例題(圓滿版)選修2-3隨機變量及其散布知識點總結(jié)典型例題2-3隨機變量及其散布重點概括一、失散型隨機變量及其散布列1．(1)隨機變量：在隨機試驗中，我們確立了一個對應(yīng)關(guān)系，使得每一個試驗結(jié)果都用一個確立的數(shù)字表示．在這個對應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字跟著試驗結(jié)果的變化而變化．像這類跟著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量．平常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)失散型隨機變量：全部取值能夠一一列出的隨機變量稱為失散型隨機變量．(3)失散型隨機變量的散布列：一般地，若失散型隨機量X可能取的不同樣x1，x2?，xi，?xn，X取每一個xi(i＝1，2，?，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示以下：Xx1x2?xi?xnPp1p2?pi?pn我將上表稱失散型隨機量X的概率散布列，稱X的散布列．有了起，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，?，n表示X的散布列．失散型隨機量的散布列的性：①pi≥0，i＝1，2，?，n；npi＝1.＝1(5)常的散布列：兩點散布：假如隨機量X的散布列擁有下表的形式，稱X遵照兩點散布，并稱p＝P(X＝1)成功概率.X01P1－pp兩點散布又稱0－1散布，伯努利散布．超幾何散布：一般地，在含有M件次品的N件品中，任取n件，此中恰有X件次品，事件{X＝k}生的概率P(X＝kn－kCMCN－M，k＝0，1，2，?，m，即k)＝nCNX01?m0n－01n－1mn－mPCMCN－MCMCN－M?CMCN－MCNnCNnCNn此中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.假如隨機變量X的散布列擁有上表的形式，則稱隨機變量X遵照超幾何散布．2．二項散布及其應(yīng)用(1)條件概率：一般地，A和B是兩個事件，且P(A)＞0，P（AB）稱P(B|A)＝P（A）在事件A生的條件下，事件B生的條件概率．P(B|A)作A生的條件下B生的概率．(2)條件概率的性質(zhì)：①0≤P(B|A)≤1；②必定事件的條件概率為

1，不能夠能事件的條件概率為

0；③假如

B和

C是兩個互斥事件，則

P(B∪

C|A)＝

P(B|A)＋P(C|A)．(3)事件的相互獨立性：設(shè)

A，B

為兩個事件，假如

P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件

A與事件

B相互獨立．假如事件

A與

B相互獨立，那么

－－A與B，A與

－－B，A與B也都相互獨立．(4)獨立重復(fù)：一般地，在同樣條件下重復(fù)做的稱n次獨立重復(fù)．

n次二散布：一般地，在n次獨立重復(fù)中，事件A生的次數(shù)X，在每次中事件A生的概率p，那么在n次獨立重復(fù)中，事件A恰巧生k次的概率P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，?，n.此稱隨機量X遵照二散布，作X～B(n，p)，并稱p成功概率．兩點散布是當n＝1的二散布，二散布能夠看作是兩點散布的一般形式．3．失散型隨機量的均與方差均、方差：一般地，若失散型隨機量X的散布列Xx1x2?xi?xnPp1p2?pi?pn稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋?＋xipi＋?＋xnpn隨機量X的均或數(shù)學(xué)希望，它反應(yīng)了失散型隨機量取的均勻水平．n稱D(X)＝

(xi－E(X))2pi為隨機變量

X的方差，

D（X）為＝1隨機變量X的標準差．均值與方差的性質(zhì)：若Y＝aX＋b，此中a，b是常數(shù)，X是隨機變量，則Y也是隨機變量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．常有散布的均值和方差公式：①兩點散布：若隨機變量X遵照參數(shù)為p的兩點散布，則均值E(X)＝p，方差D(X)＝p(1－p)．②二項散布：若隨機變量X～B(n，p)，則均值E(X)＝np，方差D(X)＝np(1－p)．(2)正態(tài)曲線的特色：①曲線位于x軸上方，與x軸不訂交；②曲線是單峰的，它對于直線x＝μ對稱；1③曲線在x＝μ處達到峰值σ2π；④曲線與x軸之間的面積為1.(3)μ和σ對正態(tài)曲線的影響：①當σ一準時，曲線的地點由μ確立，曲線跟著μ的變化而沿x軸平移；②當μ一準時，曲線的形狀由σ確立，σ越小，曲線越“瘦高”，表示整體的散布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示整體的散布越分別．正態(tài)散布的3σ原則：若隨機變量X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.在實質(zhì)應(yīng)用中，平常以為遵照于正態(tài)散布N(μ，σ2)的隨機變量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之間的值，并簡稱之為3σ原則．專題一條件概率1．條件概率的求法(1)利用定義，分別求出P(A)和P(AB)，解得P(B|A)＝P（AB）P（A）.(2)借助古典概型公式，先求事件A包括的基本領(lǐng)件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包括的基本領(lǐng)件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝n（AB）n（A）.2．解決概率問題要注意“三個步驟，一個聯(lián)合”(1)求概率的步驟是：第一步，確立事件性質(zhì)；第二步，判斷事件的運算；第三步，運用公式．(2)概率問題經(jīng)常與擺列、組合知知趣聯(lián)合．【例1】在5道題中有3道理科題和2道文科題．假如不放回地挨次抽取2道題，求：(1)第1次抽到理科題的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科題的概率；(3)在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率．解設(shè)“第1次抽到理科題”為事件A，“第2次抽到理科題”為事件B，則“第1次和第2次都抽到理科題”為事件AB.(1)從5道題中不放回地挨次抽取2道題的事件數(shù)為n(Ω)＝A25＝20.依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，n(A)＝A13×A14＝12.n（A）123于是P(A)＝n（Ω）＝20＝5.專題二相互獨立事件的概率1．求相互獨立事件一般與互斥事件、對峙事件聯(lián)合在一同進行察看，解答此類問題時應(yīng)分清事件間的內(nèi)部聯(lián)系，在些基礎(chǔ)上用基本領(lǐng)件之間的交、并、補運算表示出有關(guān)事件，并運用相應(yīng)公式求解．2．特別注意以下兩公式的使用前提(1)若A，B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，反之不能夠立．(2)若A，B相互獨立，則P(AB)＝P(A)P(B)，反之成立．【例2】甲、乙、丙三臺機床各自獨立加工同一種部件，甲機床加工的部件是一等品而乙機床加工的部件不是一等品的概率為1，4乙機床加工的部件是一等品而丙機床加工的部件不是一等品的概率為1，甲丙兩臺機床加工的部件都是一等品的概率為2129.(1)分別求出甲、乙、丙三臺機床各自獨立加工的部件是一等品的概率；(2)從甲、乙、丙加工的部件中各取一個查驗，求最罕有一個一等品的概率．專題三失散型隨機變量的散布列、均值與方差1．失散型隨機變量的散布列在高中階段主要學(xué)習(xí)兩種：超幾何散布與二項散布，因為這兩種散布列在生活中應(yīng)用較為寬泛，故在高考取對該知識點的察看相對較靈巧，常與希望、方差交融在一同，橫向察看．2．對于散布列的求法，其難點在于每個隨機變量取值時有關(guān)概率的求法，計算時可能會用到等可能事件、互斥事件、相互獨立事件的概率公式等．3．均值與方差都是隨機變量重要的數(shù)字特色，方差是成立在均值這一見解之上的，它表示了隨機變量所取的值相對于它的均值的集中與失散程度，兩者聯(lián)系親密，在現(xiàn)實生產(chǎn)生活中特別是風(fēng)險決議中有重視要意義，所以在目前的高考取是一個熱門問題．【例3】某地域試行高考考試改革：在高三學(xué)年中舉行5次一致測試，學(xué)生假如經(jīng)過此中2次測試即可獲取足夠?qū)W分升上大學(xué)連續(xù)學(xué)習(xí)，不用參加其他的測試，而每個學(xué)生最多也只好參加5次測試．假定某學(xué)生每次經(jīng)過測試的概率都是

13，每次測試時間間隔適合．每次測試經(jīng)過與否相互獨立．(1)求該學(xué)生考上大學(xué)的概率；(2)假如考上大學(xué)或參加完5次測試就結(jié)束，記該生參加測試的次數(shù)為X，求X的散布列及X的數(shù)學(xué)希望．112324＝16.P(X＝5)＝C4··＋32733故X的散布列為：X2345P1441692727271441638E(X)＝2×9＋3×27＋4×27＋5×27＝9.【例4】(2012·棗莊檢測)某單位為了參加上司組織的普及消防知識比賽，需要從兩名選手中選出一人參加．為此，設(shè)計了一個精選方案：選手從6道備選題中一次性隨機抽取3題．經(jīng)過考查得悉：6道備選題中選手甲有4道題能夠答對，2道題答錯；選手乙答對每題的概率都是

23，且各題答對與否互不影響．設(shè)選手甲、選手乙答對的題數(shù)分別為

ξ，η.寫出ξ的概率散布列(不要求計算過程)，并求出E(ξ)，E(η)；求D(ξ)，D(η)．請你依據(jù)獲取的數(shù)據(jù)，建議該單位派哪個選手參加比賽？ξ123解(1)ξ的概率散布列為131P555所以E(ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.22由題意，η～B3，3，E(η)＝3×3＝2，0131；或許P(η＝0)＝C33＝27P(η＝1)＝C13231132＝29；P(η＝2)＝C2323213＝49；P(η＝3)＝C33233＝278，專題四正態(tài)散布【例5】某市昨年高