基本初等函數(shù)圖像及性質(zhì)

14生化班常數(shù)函數(shù)（14生化班常數(shù)函數(shù)（y=C）C*0C=0y1一二C *-xyy=0一,平行于x軸的直線y軸本身定義域R定義域R桂林師范高等?？茖W(xué)校一、常值函數(shù)（也稱常數(shù)函數(shù)）y=C（其中C為常數(shù)）；二、冪函數(shù)y=xa，x是自變量，a是常數(shù)；1.冪函數(shù)的圖像： #；y=x22.冪函數(shù)的性質(zhì);性質(zhì)函數(shù)"y=xy二x2y=x3y=x2y=x-1定義域RRR[0,+8){xlxW0}值域R[0,+8)R[0,+8){ylyW0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增[0,+8)增增增(0,+8)減(-8,0]減(-8,0)減公共點(diǎn)（1,1）第i頁

14生化班14生化班1）當(dāng)a為正整數(shù)時，函數(shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間為X￡（-8，+8），他們的圖形都經(jīng)過原點(diǎn)，并當(dāng)a>1時在原點(diǎn)處與x軸相切。且a為奇數(shù)時，圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱；a為偶數(shù)時圖形關(guān)于y軸對稱；2）當(dāng)a為負(fù)整數(shù)時。函數(shù)的定義域?yàn)槌=0的所有實(shí)數(shù)；,一，m,3）當(dāng)a為正有理數(shù)一時，n為偶數(shù)時函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+8）,n為奇數(shù)時函數(shù)的定義域?yàn)椋?n8，+8）,函數(shù)的圖形均經(jīng)過原點(diǎn)和（1J）；4）如果m>n圖形于x軸相切，如果m<n，圖形于y軸相切，且m為偶數(shù)時，還跟y軸對稱；m,n均為奇數(shù)時，跟原點(diǎn)對稱；5）當(dāng)a為負(fù)有理數(shù)時，n為偶數(shù)時，函數(shù)的定義域?yàn)榇笥诹愕囊磺袑?shí)數(shù)；n為奇數(shù)時，定義域?yàn)槿コ齲=0以外的一切實(shí)數(shù)。三、指數(shù)函數(shù)y=a（X是自變量,a是常數(shù)且a>0,a豐1），定義域是R；［無界函數(shù)］1.指數(shù)函數(shù)的圖象：2.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì);性質(zhì)函數(shù)y=ax(a>1)y=aX(0<a<1)定義域R值域(0,+8)奇偶性非奇非偶公共點(diǎn)過點(diǎn)(0,1),即X=0時，y=1單調(diào)性在（-8,+8）是增函數(shù)在（-8,+8）是減函數(shù)1）當(dāng)a>1時函數(shù)為單調(diào)增，當(dāng)0<a<1時函數(shù)為單調(diào)減;2）不論X為何值，y總是正的，圖形在X軸上方；3）當(dāng)X=0時，y=1，所以它的圖形通過（0,1）點(diǎn)。第2頁14生化班14生化班.（選，補(bǔ)充）指數(shù)函數(shù)值的大小比較a￡N*；a.底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)（1、x.（選，補(bǔ)充）指數(shù)函數(shù)值的大小比較a￡N*；a.底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)（1、x于（x）=ax，f（x）=匕的函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱。b.1.當(dāng)a>1時，a值越大，y―ax的圖像越靠近y軸；b.2.當(dāng)0<a<1時，a值越大，）二ax的圖像越遠(yuǎn)離y軸。b.根式的性質(zhì)；.指數(shù)的運(yùn)算法則(公式)；a.整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)(a>0,m,n￡Q)；am?an=am+nam+an=am-n⑵I) (AYm小=anm—』n刖(ab)―anbn\〃=a；（2）當(dāng)n為奇數(shù)時，t'an—a當(dāng)n為偶數(shù)時，na"―ac.分?jǐn)?shù)指數(shù)幕;a(a>0)一a(a<0)m. an—nJam(a>0,m,n￡Z*,n>1)產(chǎn)1 1 /八 “八an————. (a>0,m,n￡Z*,n>1)m naman桂林師范高等專科學(xué)校 14生化班四、對數(shù)函數(shù)y=log/(a是常數(shù)且a〉0,a豐1)，定義域,￡(0,+s)［無界］.對數(shù)的概念：如果a(a>0,aW1)的b次幕等于N,就是ab=N，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作10gaN=b，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，式子logaN叫做對數(shù)式。對數(shù)函數(shù)y二10gJ與指數(shù)函數(shù)y=a，互為反函數(shù)，所以y=10gJ的圖象與y=a，的圖象關(guān)于直線y二，對稱。.常用對數(shù)：1ogi0N的對數(shù)叫做常用對數(shù)，為了簡便，N的常用對數(shù)記作1gN。.自然對數(shù)：使用以無理數(shù)e=2.7182為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，為了簡便，N的自然對數(shù)10geN簡記作1nN。.對數(shù)函數(shù)的圖象：X=1：y=10gaX(a〉1)(1,0)(1,0)y=10gx(0<a<1)5.對數(shù)函數(shù)的性質(zhì);I'性質(zhì)函數(shù)y=10gax(a〉1)y=10gax(0<a<1)定義域(0,+8)值域R奇偶性非奇非偶公共點(diǎn)過點(diǎn)(1,0),即X=1時，y=0單調(diào)性在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)1)對數(shù)函數(shù)的圖形為于y軸的右方，并過點(diǎn)(1,0)；2)當(dāng)a〉1時，在區(qū)間(0,1),y的值為負(fù)，圖形位于x的下方；在區(qū)間(1,+s),y值為正，圖形位于x軸上方，在定義域是單調(diào)增函數(shù)。a<1在實(shí)際中很少用到。14生化班6.(選，補(bǔ)充)對數(shù)函數(shù)值的大小比較a￡N*；yiy-1oga14生化班6.(選，補(bǔ)充)對數(shù)函數(shù)值的大小比較a￡N*；yiy-1ogaxa.底數(shù)互為倒數(shù)的兩個對數(shù)函數(shù)y-10gax，y=1ogxa的函數(shù)圖像關(guān)于x軸對稱。了(x)-10g3xb.1.(1,0)yn10glx當(dāng)a〉1時，a值越大，f(x)n1ogax的圖像越靠近x軸;桂林師范高等專科學(xué)校b.2.當(dāng)(0<a<1)時，a值越大，f(x)=10gax(1,0)的圖像越遠(yuǎn)離xb.2.當(dāng)(0<a<1)時，a值越大，f(x)=10gax(1,0)的圖像越遠(yuǎn)離x軸。7.對數(shù)的運(yùn)算法則(公式)；a.如果a>0,aW1,M>0,N>0,那么：1og&N)-1ogM+1ogNc.換底公式:1og1ogaM.1ogM-1ogN1ogMnnn1ogMb.對數(shù)恒等式: a 1ogbx(x)-10glx3f(x)=10glx2(a〉0,a牛1，一般常常、 1ogN-1nN、換為e或10為底的對數(shù),即gb 1nb或10gbN=除)a1ogaN-N(a〉0且a豐1，N〉0)⑵由公式和運(yùn)算性質(zhì)推倒的結(jié)論:(1,0)logbn-n_1ogb

am mad.對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)(1)1的對數(shù)是零，即10gJ=0；同理ln1=0或lg1=0⑵底數(shù)的對數(shù)等于1,即10gaa=1；同理1ne=1或1g10=1

14生化班14生化班五、三角函數(shù)1.正弦函數(shù)y=sinX,有界函數(shù)，定義域Xe（—8,+8）,值域ye[-1,+1]兀 3兀兀 3兀圖象：五點(diǎn)作圖法：0，-，兀，―，2兀2.余弦函數(shù)y=cosX，有界函數(shù)，定義域xe(-8,+8)，值域ye[-1,+1]兀 3兀圖象：五點(diǎn)作圖法：0，-，兀，―，2兀心…■ -■Jr■< - - id-Air" "y,,,■'h■-■■d■'■r^r"T'a■■■'■ri bZ^I-tTb ■ ,飛iJ?■■■■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■-13.正、余弦函數(shù)的性質(zhì);性質(zhì)函數(shù)y二sinX(keZ)y—cosx/ (keZ)定義域R值域[-1,1][-1,1]奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)周期性T=2幾T—2九對稱中心(k兀,0)兀（收”對稱軸兀x=k兀+—2兀（k兀+于0）單調(diào)性在xe在xe-… ?！?2k兀一—,2k兀+—L 2 2」?！?3兀一2k兀+—,2k兀+ 一 2 2一上是增函數(shù)上是減函數(shù)在xebkn-兀,2k兀]上是增函數(shù)在xebkn,2kn+兀]上是減函數(shù)最值兀x=2k兀+時，y—1… 兀一 一x―2k^+—日寸，y——12 minx—2kn時，y=1x=2kn+n時，y=—1min第6頁

桂林師范高等專科學(xué)校14桂林師范高等?？茖W(xué)校14生化班6.正、余切函數(shù)的性質(zhì);性質(zhì)函數(shù)''y=tanx（keZ）y=c0tx（kez）定義域7 兀x中k兀+—2x豐kn值域RR奇偶性奇函數(shù)奇函數(shù)周期性T=nT=n單調(diào)性在（_]+kn,：+kn）上都是增函數(shù)在（kn,（k+1）n）上都是減函數(shù)對稱中心（今,0）（kn,0）乙零點(diǎn)y八、、（kn,0）, n八（kn+—,0）第7頁

桂林師范高等專科學(xué)校14生化班18.余割函數(shù)y=cscX=桂林師范高等?？茖W(xué)校14生化班18.余割函數(shù)y=cscX=而1,無界函數(shù)，定義域0次牛加,(keZ)｝，值域|cscx|>1,9.正、余割函數(shù)的性質(zhì);、、性質(zhì)函數(shù)y=secx(keZ)y=cscx(keZ)定義域{xx^—+k兀}2{xx豐k—}值域(-8，-1]U[1,+8)(-8，—1]U[1,+8)奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)周期性T=2—T=2—單調(diào)性— ,, 3—(2k———,2k—)U(2k—+―,2k—+——)2 2減—.. — ?(2k—,2k—+一)U(2k—+一,2k—+—)增2 2(2k—,2k—+―)U(2k—+3―,2k—+2—)減2 2— ,, 3—(2k—+—,2k—+—)U(2k—+—,2k—+——)2 2增第8頁

性質(zhì)函數(shù)、y-sec%（kgz）y-csc%（kgz）對稱中心（k兀+—,0）（k九,0）對稱軸%-k兀%=2-+k兀漸近線%— +k兀%—k兀桂林師范高等?？茖W(xué)校續(xù)表：14生化班六、反三角函數(shù)1.反正弦函數(shù)》=arcsin%，無界函數(shù)，定義域［-1,1］，值域［0,九］兀兀 a.反正弦函數(shù)的概念：正弦函數(shù)》—s1n%在區(qū)間--,-上的反函數(shù)稱為反正弦函數(shù)，記為y-arcsin%2.反余弦弦函數(shù)y-2.反余弦弦函數(shù)y-arccos%，無界函數(shù)，定義域［-1,1］，值域［0,九］在區(qū)間y-arcsin%的圖像 y-arccos%的圖像3.反正、余弦函數(shù)的性質(zhì)；生質(zhì)函數(shù)”y-arcsin%y-arccos%定義域[-1,1][-1,1]值域[0,兀][0,兀]奇偶性奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)第9頁

桂林師范高等專科學(xué)校14生化班4.反正切函數(shù)y=arctan桂林師范高等?？茖W(xué)校14生化班4.反正切函數(shù)y=arctan%,有界函數(shù)，定義域X￡（—8,+8），值域-不,-I227C.反正切函數(shù)的概念：正切函數(shù)）=tanX在區(qū)間f-^-,g［上的反函數(shù)稱為反正切函數(shù)，記為I22）y=arctan%5.反余切函數(shù)y=arccot%，有界函數(shù)，定義域X￡（-8,+8），值域（0,兀）D.反余切函數(shù)的概念：余切函數(shù)y=cot%在區(qū)間（0,兀）上的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記為6.反正、余弦函數(shù)的性質(zhì);函數(shù)性質(zhì)、y=arctan%y=arccot%定義域R值域f兀兀）〔一2,2J（0,冗）奇偶性奇函數(shù)非奇非偶單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)第10頁

桂林師范高等?？茖W(xué)校14生化班^三、四、五、任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)公式匯總正弦:sina=y余弦：cosaXrr正切：tana=y余切：cotaXXy正割：secar余割：cscarXy同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式在角a的終邊上任取一點(diǎn)P(x,y)，記：r桂林師范高等專科學(xué)校14生化班^三、四、五、任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)公式匯總正弦:sina=y余弦：cosaXrr正切：tana=y余切：cotaXXy正割：secar余割：cscarXy同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式在角a的終邊上任取一點(diǎn)P(x,y)，記：r=qx2+y2。?? 、倒數(shù)關(guān)系:商數(shù)關(guān)系:平方關(guān)系：誘導(dǎo)公式sina?csca=1，cosa?seca=1，tana?cota=1sinatana=cosa，cosacota=sinasin2a+cos2a=1，X軸上的角，口訣：函數(shù)名不變，y軸上的角，口訣：函數(shù)名改變，和角公式和差角公式sin(a+P)=sina?

sin(a一P)=sina.coscoscos(a+P)=cosa?cos(a-P)=cosa?二倍角公式1+tan2a=sec2a，1+cot2a=csc2a符號看象限;符號看象限。P+cosa?sinPP一cosa.sinPcoscosP一sina.sinPP+sina?sinPsin2a=2sinacosatana+tanPtan(a+P)=1-tana?tanPtana-tanPtan(a-P)=1+tana?tanP入 2tanatan2a二 1一tan2acos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a二倍角的余弦公式常用變形：(規(guī)律：降冪擴(kuò)角，升冪縮角)1+cos2a=2cos2a1一cos2a=2sin2a1+sin2a=(sina+cosa)21-sin2a=(sina-cosa)2cos2a=sm2a=tana==sin2a 1+cos2sin2a 1+cos2a14生化班14生化班六、三倍角公式TOC\o"1-5"\h\z兀 兀sin3a=3sina—4sin3=4sinasin(——a)sm(y+a)兀 兀cos3a=4cos3-3cosa=4cosacos(_