高中數(shù)學第三單元三角恒等變換311兩角和與差的余弦學案

學必求其心得，業(yè)必貴于專精3。1.1兩角和與差的余弦學習目標1。認識兩角差的余弦公式的推導過程.2.理解用向量法導出公式的主要步驟.3。熟記兩角和與差的余弦公式的形式及符號特色，并能利用該公式進行求值、計算。知識點兩角和與差的余弦公式思慮1如何用角α，β的正弦、余弦值來表示cos(α－β）呢？有人認為cos(α－β)＝cosα－cosβ，你認為正確嗎，試舉出兩例加以說明.思慮2單位圓中（如圖），∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐標是什么?錯誤!與錯誤!的夾角是多少？思慮3請依照上述條件推導兩角差的余弦公式。思慮4如何由兩角差的余弦公式獲取兩角和的余弦公式？1學必求其心得，業(yè)必貴于專精梳理兩角和與差的余弦公式Cα＋β：cos(α＋β）＝__________________。Cα－β：cos(α－β)＝____________________.種類一利用兩角和與差的余弦公式求值例1計算：(1)cos(－15°）；（2）cos15°cos105°－sin15°sin105°。反思與感悟利用兩角和與差的余弦公式求值的一般思路：（1）把非特別角轉(zhuǎn)變成特別角的差或和，正用公式直接求解。（2)在轉(zhuǎn)變過程中，充分利用引誘公式,構(gòu)造兩角差或和的余弦公式的右邊形式，爾后逆用公式求值.追蹤訓練1求以下各式的值。(1）cos105°；（2)cos46°cos16°＋sin46°sin16°。種類二給值求值821例2已知α，β均為銳角，sinα＝17，cos(α－β)＝29，求cosβ的值.2學必求其心得，業(yè)必貴于專精反思與感悟三角恒等變換是三角運算的靈魂與核心，它包括角的變換、函數(shù)名稱的變換、三角函數(shù)式構(gòu)造的變換。其中角的變換是最基本的變換。常有的有α＝(α＋β)－β，α＝β－（β－α),α＝(2α－β)－(α－β）,α＝錯誤![(α＋β)＋(α－β)],α＝錯誤![(β＋α)－(β－α)］等。追蹤訓練2已知cosα＝錯誤!，cos（α＋β）＝－錯誤!,且α,β∈錯誤!，求cosβ的值.種類三給值求角例3已知cosα＝錯誤!，cos（α－β)＝錯誤!，且0<β<α〈錯誤!，求β的值.反思與感悟求解給值求角問題的一般步驟：1)求角的某一個三角函數(shù)值.(2）確定角的范圍.(3）依照角的范圍寫出所求的角.追蹤訓練3已知cos（α－β）＝－錯誤!，cos(α＋β)＝錯誤!，且α－β∈錯誤!，α＋β∈錯誤!,求角β的值。3學必求其心得，業(yè)必貴于專精1。計算cos錯誤!cos錯誤!＋cos錯誤!sin錯誤!的值是(）A。0B.錯誤!C.錯誤!D.錯誤!2。若a＝(cos60°，sin60°)，b＝（cos15°，sin15°),則a·b等于(）A。錯誤!B.錯誤!C。錯誤!D.－錯誤!3.設(shè)α∈錯誤!，若sinα＝錯誤!,則錯誤!cos錯誤!等于（）A。錯誤!B。錯誤!C。－錯誤!D。－錯誤!4.已知sinα＋sinβ＝錯誤!，cosα＋cosβ＝錯誤!，求cos(α－β）的值。45.已知sinα＝－5,sinβ＝錯誤!，且180°〈α〈270°,90°〈β<180°，求cos（α＋β)的值.公式Cα－β與Cα＋β都是三角恒等式,既可正用，也可逆用。要注意公式的構(gòu)造特色。如：cosαcosβ±sinαsinβ＝cos（α?β).要注意充分利用已知角與未知角之間的聯(lián)系，經(jīng)過合適的角的變換，創(chuàng)立出應(yīng)用公式的條件進行求解。3。注意角的拆分技巧的積累,如：α＝(α＋β）－β＝（α－β)＋β＝錯誤!＋錯誤!等。4學必求其心得，業(yè)必貴于專精5學必求其心得，業(yè)必貴于專精答案精析問題導學知識點思慮1不正確．比方：當α＝錯誤!,β＝錯誤!時,cos(α－β)＝cos錯誤!＝錯誤!，而cosα－cosβ＝cos錯誤!－cos錯誤!＝－錯誤!，故cos（α－β）≠cosα－cosβ；再如：當α＝錯誤!，β＝錯誤!時,cos（α－β）＝cos錯誤!＝錯誤!，而cosα－cosβ＝cos錯誤!－cos錯誤!＝錯誤!,故cos（α－β)≠cosα－cosβ.思慮2Aα,sinα),Bβ，sinβ）．(cos(cos錯誤!與錯誤!的夾角是α－β.思慮3①錯誤!·錯誤!＝｜錯誤!||錯誤!｜cos(α－β）＝cos(α－β），②OA，→·錯誤!＝cosαcosβ＋sinαsinβ.cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ.思慮4用－β代換cos(α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ中的β即可獲?。崂韈osαcosβ－sinαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ題型研究例1解（1）原式＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°＝錯誤!×錯誤!＋錯誤!×錯誤!＝錯誤!.追蹤訓練1解（1)原式＝cos(150°－45°）cos150°cos45°＋sin150°sin45°＝－錯誤!×錯誤!＋錯誤!×錯誤!錯誤!.（2)原式＝cos(46°－16°)＝cos30°＝錯誤!。例2解因為α∈錯誤!，sinα＝錯誤!〈錯誤!,所以0〈α〈錯誤!.所以α－β∈錯誤!,又因為cos(α－β)＝錯誤!<錯誤!，所以－錯誤!〈α－β<－錯誤!.6學必求其心得，業(yè)必貴于專精所以cosα＝1－sin2α＝錯誤!＝錯誤!，sin（α－β)＝－錯誤!＝－錯誤!＝－錯誤!，所以cosβ＝cos[α－（α－β)］＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝錯誤!×錯誤!＋錯誤!×錯誤!＝錯誤!。追蹤訓練2解∵α,β∈錯誤!，∴α＋β∈（0，π）．又∵cosα＝錯誤!,cos(α＋β)＝－錯誤!，∴sinα＝錯誤!＝錯誤!，sin（α＋β)＝錯誤!＝錯誤!.又∵β＝(α＋β）－α，∴cosβ＝cos[（α＋β）－α］＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β)sinα＝錯誤!×錯誤!＋錯誤!×錯誤!＝錯誤!.例3解由cosα＝錯誤!,0〈α<錯誤!，得sinα＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!.π由0〈β<α<2，得0<α－β<錯誤!.又∵cos（α－β)＝錯誤!，sin（α－β)＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!。由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos［α－(α－β）］cosαcos（α－β)＋sinαsin（α－β），即cosβ＝錯誤!×錯誤!＋錯誤!×錯誤!＝錯誤!，又∵0〈β<錯誤!，∴β＝錯誤!.追蹤訓練3解由α－β∈錯誤!，且cos(α－β）＝－錯誤!，得sin（α－β)＝錯誤!。由α＋β∈錯誤!，且cos（α＋β）＝錯誤!，得sin(α＋β）＝－錯誤!.cos2β＝cos[（α＋β）－（α－β）]cos(α＋β）cos（α－β）＋sin（α＋β）sin(α－β）錯誤!×錯誤!＋錯誤!×錯誤!＝－1.又∵α＋β∈錯誤!,α－β∈錯誤!，∴2β∈錯誤!,7學必求其心得，業(yè)必貴于專精π∴2β＝π，則β＝2。當堂訓練1．C2。A3.B4．解∵(sinα＋sinβ）2＝錯誤!2，cosα＋cosβ）2＝錯誤!2,以上兩式張開，兩邊分別相加，得12＋2cos（α－β）＝1,∴cos(α－β）＝－2.5．解因為sinα＝－錯誤!,180°<α〈270°，所以cosα＝－錯誤!。因為sinβ＝錯誤!，90°〈β<180°，所以cosβ＝－錯誤!