2020高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.4.1 曲邊梯形面積與定積分講義 2-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE17-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．了解曲邊梯形及其面積的含義;了解求曲邊梯形面積的“分割、近似代替、求和、取極限”的基本過(guò)程．（重點(diǎn))2．掌握定積分的概念，會(huì)用定義求定積分．（難點(diǎn)）3．理解定積分的幾何意義與性質(zhì)．（易混點(diǎn)）1．通過(guò)定積分概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。2．借助對(duì)定積分的幾何意義的理解和性質(zhì)的應(yīng)用，提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).一、曲邊梯形由直線x＝a，x＝b（a≠b)，y＝0和曲線y＝f（x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如圖)．二、定積分的定義設(shè)函數(shù)y＝f(x）定義在區(qū)間［a，b］上（如圖)．用分點(diǎn)a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b把區(qū)間[a，b]分為n個(gè)小區(qū)間，其長(zhǎng)度依次為Δxi＝xi＋1－xi,i＝0，1，2，…，n－1．記λ為這些小區(qū)間長(zhǎng)度的最大者,當(dāng)λ趨近于0時(shí),所有的小區(qū)間長(zhǎng)度都趨近于0.在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn)ξi,作和式In＝eq\i\su（i＝0,n－1，f)(ξi）Δxi，當(dāng)λ→0時(shí)，如果和式的極限存在，我們把和式In的極限叫做函數(shù)f(x）在區(qū)間［a,b]上的定積分，記作eq\i\in(a,b,)f(x）dx,即eq\i\in（a,b，）f(x）dx＝eq\o（lim,\s\do6(λ→0))eq\i\su（i＝0,n－1,f）（ξi）Δxi。其中f(x）叫做被積函數(shù)，a叫積分下限,b叫積分上限,f（x)dx叫做被積式．此時(shí)稱函數(shù)f(x)在區(qū)間［a，b]上可積．三、定積分的性質(zhì)與幾何意義1．定積分的性質(zhì)（1）eq\i\in（a，b,）cf（x)dx＝ceq\i\in(a,b,）f(x）dx(c為常數(shù))．(2）設(shè)f（x)，g（x）可積,則eq\i\in（a，b，）[f（x）±g（x）]dx＝eq\i\in(a，b，)f（x）dx±eq\i\in(a,b,)g(x）dx.2．定積分的幾何意義從幾何上看，如果在區(qū)間［a，b］上函數(shù)f(x）連續(xù)且恒有f（x）≥0，那么定積分eq\i\in(a,b，)f（x）dx表示由直線x＝a，x＝b，y＝0和曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積．這就是定積分eq\i\in(a,b,）f（x）dx的幾何意義．1．判斷（正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×"）(1)eq\i\in（a,b，)f（x)dx＝eq\i\in(a,b，)f（t）dt。 （)（2）eq\i\in(a，b，)f（x）dx的值一定是一個(gè)正數(shù)． （）（3）eq\i\in（a，b,）（x2＋2x)dx＝eq\i\in（a，b,）x2dx＋eq\i\in（a，b，）2xdx。 (）[答案](1)√（2)×（3）√2．填空(1)由y＝0，y＝cosx，x＝0，x＝eq\f(π,2）圍成的圖形的面積用定積分的形式表示為_(kāi)_________．（2）eq\i\in（-1,1,）f（x)dx＝eq\i\in(-1，0，)f（x）dx＋__________.(3）eq\i\in（0，1,）2xdx__________eq\i\in（0，2，）2xdx。（填“<”“＝”或“>”）[答案](1)eq\i\in(0，eq\s\up30（eq\f(π,2））,）cosxdx（2)eq\i\in（0,1，)f(x）dx（3)〈求曲邊梯形的面積【例1】求由直線x＝0，x＝1，y＝0和曲線y＝x（x－1）圍成的圖形面積．［思路探究]按分割、近似代替、求和、取極限四個(gè)步驟進(jìn)行求解．[解］（1)分割將曲邊梯形分割成n個(gè)小曲邊梯形，用分點(diǎn)eq\f(1,n),eq\f(2，n），…，eq\f(n－1,n)把區(qū)間［0，1]等分成n個(gè)小區(qū)間：eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（0，\f(1，n）)），eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f（1,n)，\f(2，n）))，…,eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f（i－1，n)，\f(i,n）))，…，eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f（n－1,n)，\f（n,n））)，簡(jiǎn)寫(xiě)作eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f（i－1,n），\f(i,n）)）（i＝1，2，…,n）．每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為Δx＝eq\f（i，n)－eq\f(i－1,n）＝eq\f（1，n).過(guò)各分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，它們的面積分別記作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.（2）近似代替用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積，在小區(qū)間eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f（i－1,n)，\f（i，n)））上任取一點(diǎn)ξi（i＝1,2，…,n),為了計(jì)算方便,取ξi為小區(qū)間的左端點(diǎn),用f(ξi)的相反數(shù)－f（ξi)＝－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n）)）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(i－1，n）－1)）為其一邊長(zhǎng),以小區(qū)間長(zhǎng)度Δx＝eq\f(1,n)為另一邊長(zhǎng)的小矩形對(duì)應(yīng)的面積近似代替第i個(gè)小曲邊梯形面積,可以近似地表示為ΔSi≈－f(ξi)Δx＝－eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（i－1，n)）)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n）－1)）·eq\f（1，n）（i＝1，2，…，n)．（3)求和因?yàn)槊恳粋€(gè)小矩形的面積都可以作為相應(yīng)小曲邊梯形面積的近似值，所以n個(gè)小矩形面積的和就是曲邊梯形面積S的近似值，即S＝eq\i\su（i＝1,n，Δ)Si≈－eq\i\su（i＝1,n,f)(ξi)Δx＝eq\i\su(i＝1，n,）eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（i－1，n)））\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（i－1,n）－1）))）·eq\f(1，n）＝－eq\f（1,n3)［02＋12＋22＋…＋(n－1)2］＋eq\f（1，n2）［0＋1＋2＋…＋（n－1)］＝－eq\f（1，n3)·eq\f(1，6）n(n－1）（2n－1）＋eq\f(1,n2)·eq\f（nn－1,2)＝－eq\f(－n2＋1,6n2)＝－eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，n2）－1）).（4)取極限當(dāng)分割無(wú)限變細(xì)，即Δx趨向于0時(shí)，n趨向于∞，此時(shí)－eq\f(1，6)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，n2)－1)）趨向于S。從而有S＝eq\o(lim，\s\do6（n→∞)）eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(－\f（1，6)\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,n2）－1））)）＝eq\f(1,6)。所以由直線x＝0，x＝1,y＝0和曲線y＝x(x－1）圍成的圖形面積為eq\f(1，6）.由極限法求曲邊梯形的面積的步驟第一步：分割．在區(qū)間[a，b］中等間隔地插入n－1個(gè)分點(diǎn),將其等分成n個(gè)小區(qū)間［xi－1，xi］(i＝1，2，…，n)，小區(qū)間的長(zhǎng)度Δxi＝xi－xi－1．第二步：近似代替．“以直代曲",用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積,求出小曲邊梯形面積的近似值．第三步：求和．將n個(gè)小矩形的面積進(jìn)行求和得Sn.第四步：取極限．當(dāng)n→∞時(shí)，Sn→S，S即為所求．1．求由直線x＝1,x＝2，y＝0及曲線y＝eq\f(1，x2）圍成的圖形的面積S.[解］(1)分割在區(qū)間[1,2］上等間隔地插入n－1個(gè)點(diǎn),將它等分成n個(gè)小區(qū)間：eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（1,\f(n＋1，n)))，eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f(n＋1，n），\f（n＋2，n）)）,…,eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n＋n－1，n)，2)），記第i個(gè)區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（n＋i－1,n），\f(n＋i，n)））(i＝1,2，…，n),其長(zhǎng)度為Δx＝eq\f（n＋i，n）－eq\f(n＋i－1,n）＝eq\f（1,n)。分別過(guò)上述n－1個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線,把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形（如圖)，它們的面積分別記作:ΔS1，ΔS2,…，ΔSn，則小曲邊梯形面積的和為S＝eq\i\su(i＝1，n,Δ）Si，（2)近似代替記f（x)＝eq\f(1,x2）.當(dāng)n很大，即Δx很小時(shí)，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f（n＋i－1，n），\f（n＋i，n）））上，可以認(rèn)為f(x）＝eq\f（1,x2)的值變化很小，近似地等于一個(gè)常數(shù),不妨認(rèn)為它等于feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f（n＋i－1,n)·\f(n＋i，n))))。從圖形上看，就是用平行于x軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊．這樣，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(\f（n＋i－1,n)，\f（n＋i，n)））上,用小矩形面積ΔSi′近似地代替ΔSi,即在局部小范圍內(nèi)“以直代曲”,則有ΔSi≈ΔSi′＝feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\r(\f(n＋i－1,n）·\f（n＋i，n)))）Δx＝eq\f（n2，n＋i－1n＋i）·eq\f(1,n）＝eq\f(n，n＋i－1n＋i)(i＝1,2,…，n）．（3）求和小曲邊梯形的面積和Sn＝eq\i\su(i＝1,n,Δ）Si≈eq\i\su（i＝1,n,Δ）Si′＝eq\i\su(i＝1，n，)eq\f(n，n＋i－1n＋i)＝eq\f(n，nn＋1）＋eq\f(n,n＋1n＋2)＋…＋eq\f（n,n＋n－1n＋n）＝neq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,n）－\f(1，n＋1)＋\f（1，n＋1）－\f(1,n＋2）＋…＋\f(1，n＋n－1)－\f（1,n＋n）)）＝neq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，n)－\f（1,2n）)）＝eq\f（1,2）.從而得到S的近似值S≈Sn＝eq\f（1,2)。（4）取極限分別將區(qū)間［1,2]等分成8，16，20，…等份時(shí)，Sn越來(lái)越趨向于S，從而有S＝eq\o(lim，\s\do6（n→∞)）Sn＝eq\f(1，2)。所以由直線x＝1，x＝2，y＝0及曲線y＝eq\f(1,x2)圍成的圖形的面積S為eq\f(1，2）。利用定義求定積分【例2】利用定積分的定義，計(jì)算eq\i\in(1,2,）（3x＋2）dx的值．［思路探究]根據(jù)定積分的意義，分四步求解，即分割，近似代替，求和，取極限．[解]令f(x）＝3x＋2.(1）分割在區(qū)間[1，2］上等間隔地插入n－1個(gè)分點(diǎn)，將區(qū)間［1,2］等分成n個(gè)小區(qū)間eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f（n＋i－1,n），\f（n＋i，n）））（i＝1,2,…,n)，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為Δx＝eq\f(n＋i，n)－eq\f(n＋i－1,n)＝eq\f(1，n）。（2）近似代替、作和取ξi＝eq\f(n＋i－1,n)（i＝1，2,…，n），則Sn＝eq\i\su（i＝1,n,f)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（n＋i－1,n)))·Δx＝eq\i\su(i＝1,n，）eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\f（3n＋i－1,n）＋2))·eq\f（1，n)＝eq\i\su(i＝1，n，)eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f(3i－1,n2）＋\f(5，n))）＝eq\f（3,n2)［0＋1＋2＋…＋(n－1)］＋5＝eq\f（3,2）×eq\f（n2－n，n2）＋5＝eq\f（13，2）－eq\f(3，2n）.(3)取極限eq\i\in(1,2,)(3x＋2）dx＝eq\o(lim，\s\do6（n→∞））Sn＝eq\o(lim，\s\do6(n→∞））eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,2）－\f(3,2n)）)＝eq\f(13,2).利用定義求定積分的步驟2．利用定積分的定義，計(jì)算eq\i\in(1,2,)(x＋1）dx的值．［解］f（x）＝x＋1在區(qū)間［1,2］上連續(xù)，將區(qū)間［1，2]等分成n個(gè)小區(qū)間eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1，n），1＋\f(i,n）)）(i＝1,2，…，n),每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度為Δx＝eq\f（1，n），在eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（1＋\f（i－1，n)，1＋\f(i,n））)上取ξi＝1＋eq\f(i－1,n)（i＝1,2，…，n),∴f(ξi）＝1＋1＋eq\f(i－1，n）＝2＋eq\f(i－1,n），∴eq\i\su（i＝1,n，f)(ξi)·Δx＝eq\i\su（i＝1，n，)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(2＋\f(i－1,n）））·eq\f（1,n）＝eq\i\su(i＝1，n，）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（2,n）＋\f（i－1，n2））)＝eq\f(2，n）·n＋eq\f（1,n2）［0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝2＋eq\f（n－1,2n)＝2＋eq\f(1，2）－eq\f（1,2n)＝eq\f(5，2）－eq\f（1,2n)，∴eq\i\in(1，2，）（1＋x）dx＝eq\o(lim,\s\do6(n→∞)）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（5,2)－\f（1,2n)))＝eq\f(5，2)。定積分的幾何意義【例3】利用定積分的幾何意義求下列定積分．(1)eq\i\in(—3，3，）eq\r（9－x2)dx;（2)eq\i\in(0，3,）(2x＋1）dx；(3)eq\i\in（—1,1,)(x3＋3x）dx。[思路探究]對(duì)于本題（1）、(2）可先確定被積函數(shù)、積分區(qū)間，畫(huà)出圖形，然后用幾何法求出圖形面積，從而確定定積分的值；對(duì)于（3）可根據(jù)被積函數(shù)的奇偶性求解．［解](1）曲線y＝eq\r(9－x2）表示的幾何圖形為以原點(diǎn)為圓心以3為半徑的上半圓，如圖（1)所示．其面積為S＝eq\f(1，2)·π·32＝eq\f（9，2）π.由定積分的幾何意義知eq\i\in（—3，3，)eq\r（9－x2）dx＝eq\f（9，2）π.（2)曲線f(x）＝2x＋1為一條直線.eq\i\in（0，3,)(2x＋1）dx表示直線f（x)＝2x＋1，x＝0,x＝3圍成的直角梯形OABC的面積，如圖（2）所示．其面積為S＝eq\f（1,2）（1＋7)×3＝12。根據(jù)定積分的幾何意義知eq\i\in（0,3,)(2x＋1）dx＝12.（3)∵y＝x3＋3x在區(qū)間［－1，1］上為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴曲邊梯形在x軸上方部分面積與x軸下方部分面積相等．由定積分的幾何意義知eq\i\in(—1,1,）（x3＋3x)dx＝0。上例（1)中變?yōu)閑q\i\in（—eq\f(3，2)，eq\s\up14（eq\f（3,2)）,）eq\r(9－x2)dx，如何求解？［解]由y＝eq\r(9－x2)，知x2＋y2＝9（y≥0），x∈eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1(－\f(3,2）,\f(3，2))）,其圖象如圖所示：由定積分的幾何意義,知eq\i\in（-eq\f(3，2），eq\s\up14(eq\f(3，2)),）eq\r（9－x2)dx等于圓心角為60°的弓形CED的面積與矩形ABCD的面積之和．S弓形＝eq\f(1,2)×eq\f（π,3）×32－eq\f（1,2)×3×eq\f(3\r（3),2）＝eq\f(6π－9\r（3)，4），S矩形＝｜AB|×｜BC|＝2×eq\f(3,2)×eq\r（9－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(3，2）))eq\s\up14（2))＝eq\f(9\r(3)，2），∴eq\i\in(—eq\f(3，2)，eq\s\up14(eq\f（3,2）），）eq\r(9－x2）dx＝eq\f(6π－9\r（3),4）＋eq\f(9\r（3),2)＝eq\f（6π＋9\r（3)，4)。1．定積分的幾何意義的應(yīng)用(1)利用定積分的幾何意義求eq\i\in(a,b,)f(x)dx的值的關(guān)鍵是確定由曲線y＝f（x），直線x＝a,x＝b及y＝0所圍成的平面圖形的形狀．常見(jiàn)的圖形有三角形、直角梯形、矩形、圓等可求面積的平面圖形．(2）不規(guī)則的圖形常利用分割法將圖形分割成幾個(gè)容易求定積分的圖形求面積，要注意分割點(diǎn)要確定準(zhǔn)確．2．奇、偶函數(shù)在區(qū)間［－a,a］上的定積分(1）若奇函數(shù)y＝f(x)的圖象在[－a，a]上連續(xù)，則eq\o（\i\in(－a，a,)fxdx）＝0。(2）若偶函數(shù)y＝f（x)的圖象在［－a，a］上連續(xù)，則eq\o(\i\in(－a,a,)fxdx)＝2eq\i\in(0,a,)f(x)dx.定積分性質(zhì)的應(yīng)用［探究問(wèn)題］1．怎樣求分段函數(shù)的定積分?提示：可先把每一段函數(shù)的定積分求出后再相加．2．怎樣求奇（偶）函數(shù)在區(qū)間[－a，a]上的定積分？提示：①若奇函數(shù)y＝f（x）的圖象在［－a,a]上連續(xù)，則eq\i\in（—a,a，）f(x）dx＝0;②若偶函數(shù)y＝g(x)的圖象在［－a，a］上連續(xù)，則eq\i\in（—a，a，）g（x)dx＝2eq\i\in（0,a,）g【例4】利用定積分的性質(zhì)和定義表示下列曲線圍成的平面區(qū)域的面積．(1）y＝0，y＝eq\r(x)，x＝2；(2）y＝x－2，x＝y(tǒng)2.［思路探究]由定積分的幾何意義，作出圖形，分割區(qū)間表示．[解］（1)曲線所圍成的平面區(qū)域如圖(1)所示．設(shè)此面積為S,則S＝eq\i\in(0，2，）(eq\r（x)－0）dx＝eq\i\in(0，2，)eq\r（x)dx.(1)（2)(2）曲線所圍成的平面區(qū)域如圖（2)所示．設(shè)面積為S，則S＝A1＋A2.因?yàn)锳1由y＝eq\r(x），y＝－eq\r(x)，x＝1圍成，A2由y＝eq\r（x)，y＝x－2，x＝1和x＝4圍成,所以A1＝eq\i\in(0，1，）[eq\r(x）－（－eq\r(x）)］dx＝eq\i\in(0，1，)2eq\r(x)dx，A2＝eq\i\in（1，4，)［eq\r(x)－(x－2)］dx＝eq\i\in(1,4,）（eq\r（x）－x＋2）dx.故S＝eq\i\in(0,1,)2eq\r(x）dx＋eq\i\in（1，4,)（eq\r(x）－x＋2)dx。利用定積分的性質(zhì)求定積分的技巧靈活應(yīng)用定積分的性質(zhì)解題，可以把比較復(fù)雜的函數(shù)拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)，把積分區(qū)間分割成可以求積分的幾段，進(jìn)而把未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題，在運(yùn)算方面更加簡(jiǎn)潔．應(yīng)用時(shí)注意性質(zhì)的推廣：3．已知eq\i\in（0，e,）xdx＝eq\f（e2，2），eq\i\in(0,e,)x2dx＝eq\f（e3,3），求下列定積分的值．（1)eq\i\in（0,e,）（2x＋x2）dx;(2）eq\i\in(0，e,)（2x2－x＋1)dx.［解］(1）eq\i\in(0，e，）（2x＋x2）dx＝2eq\i\in(0，e,）xdx＋eq\i\in（0，e，）x2dx＝2×eq\f(e2,2)＋eq\f(e3，3）＝e2＋eq\f（e3，3)。（2)eq\i\in（0,e,)（2x2－x＋1)dx＝2eq\i\in(0,e，)x2dx－eq\i\in(0,e,)xdx＋eq\i\in(0，e,）1dx，因?yàn)橐阎猠q\i\in(0，e,)xdx＝eq\f（e2，2)，eq\i\in(0,e,）x2dx＝eq\f（e3，3)，又由定積分的幾何意義知：eq\i\in(0，e，)1dx等于直線x＝0，x＝e，y＝0，y＝1所圍成的圖形的面積，所以eq\i\in（0,e，)1dx＝1×e＝e，故eq\i\in(0,e,)(2x2－x＋1)dx＝2×eq\f（e3，3）－eq\f(e2，2)＋e＝eq\f(2,3）e3－eq\f(1，2)e2＋e.1．在“近似代替”中，函數(shù)f（x）在區(qū)間[xi,xi＋1］上的近似值（）A．只能是左端點(diǎn)的函數(shù)值f(xi）B．只能是右端點(diǎn)的函數(shù)值f（xi＋1)C．可以是該區(qū)間內(nèi)任一