2020高中數(shù)學 第1章 常用邏輯用語 1.2.1“且”與“或”學案 2-1

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE13-學必求其心得，業(yè)必貴于專精1．2.1“且”與“或"學習目標核心素養(yǎng)1。了解聯(lián)結(jié)詞“且”與“或”的含義．（重點）．2．會用聯(lián)結(jié)詞“且”“或”聯(lián)結(jié)或改寫某些數(shù)學命題．(難點、易混點）．3．能夠判斷命題“p且q"“p或q”的真假．(重點）1。通過學習基本邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”與“或"，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)．2．通過判斷用“且”“或"聯(lián)結(jié)而成的復合命題的真假,提升學生的邏輯推理素養(yǎng).1．用邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成新命題構(gòu)成新命題記作讀作用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和q聯(lián)結(jié)起來，就得到一個新命題p∧qp且q用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p，q聯(lián)結(jié)起來，就得到一個新命題p∨qp或q思考1：觀察三個命題：①5是10的約數(shù)；②5是15的約數(shù)；③5是10的約數(shù)且是15的約數(shù)，它們之間有什么關系？從集合的角度如何理解“且"的含義？[提示]命題③是將命題①，②用“且"聯(lián)結(jié)得到的新命題，“且"與集合運算中交集的定義A∩B＝｛x｜x∈A且x∈B}中“且"的意義相同，表示“并且”“同時”的意思．“且”作為邏輯聯(lián)結(jié)詞，與生活用語中“既…，又…”相同，表示兩者都要滿足的意思，在日常生活中經(jīng)常用“和"“與”代替．思考2：觀察三個命題：①3〉2；②3＝2；③3≥2，它們之間有什么關系？從集合的角度如何理解“或”的含義？[提示］命題③是將命題①，②用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或"聯(lián)結(jié)得到的新命題．“或”從集合的角度看，可設A＝{x|x滿足命題p｝，B＝｛x|x滿足命題q｝，則“p∨q”對應于集合中的并集A∪B＝｛x｜x∈A或x∈B}．“或"作為邏輯聯(lián)結(jié)詞，與日常用語中的“或"意義有所不同，而邏輯聯(lián)結(jié)詞中的“或”含有“同時兼有”的意思．“p或q"有三層意思：要么只是p，要么只是q,要么是p和q，即兩者中至少要有一個．2．含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的判斷pqp∧qp∨q真真真真真假假真假真假真假假假假思考3：若p且q為真命題，那么p或q一定為真命題嗎？反之是否成立？[提示］p且q為真命題，說明p真、q真，故p或q一定是真命題．反之不一定成立，即若p或q為真命題,p且q不一定為真命題,比如p真q假時，p或q真，但p且q假．1．已知命題p：對頂角相等，命題q：27是3的倍數(shù)，則p∧q表示（)A．對頂角相等或27是3的倍數(shù)B．對頂角相等C．27是3的倍數(shù)D．對頂角相等且27是3的倍數(shù)D[p∧q表示對頂角相等且27是3的倍數(shù)．]2．下列命題中既是“p∧q”形式的命題，又是真命題的是（)A．10或15是5的倍數(shù)B．方程x2－3x－4＝0的兩根和是1C．方程x2＋1＝0沒有實數(shù)根D．有兩個角為45°的三角形是等腰直角三角形D[有兩個角為45°的三角形是等腰直角三角形，既是“p∧q”形式的命題，又是真命題．]3．下列命題是“p∨q”形式的是(）A．6≥6B．3是奇數(shù)且3是質(zhì)數(shù)C。eq\r(2）是無理數(shù)D．3是6和9的約數(shù)A[6≥6?6＞6或6＝6，所以A是“p∨q”形式的命題;B和D是“p∧q”形式的命題;C不包含任何邏輯聯(lián)結(jié)詞,所以B,C，D不正確,故選A.］含有“且”“或”命題的構(gòu)成【例1】分別寫出由下列各組命題構(gòu)成的“p∧q”“p∨q”形式的命題:(1)p:eq\r（2)是無理數(shù)，q:eq\r（2)大于1；(2）p:N?Z，q：{0｝?N；（3)p：35是15的倍數(shù)，q：35是7的倍數(shù)；(4)p：梯形有一組對邊平行，q：梯形有一組對邊相等．[解]（1)p∧q:eq\r（2)是無理數(shù)且大于1,p∨q:eq\r（2)是無理數(shù)或大于1。（2）p∧q：N?Z且｛0｝?N，p∨q：N?Z或｛0｝?N。（3）p∧q：35是15的倍數(shù)且是7的倍數(shù)，p∨q：35是15的倍數(shù)或是7的倍數(shù)．(4)p∧q：梯形有一組對邊平行且有一組對邊相等．p∨q:梯形有一組對邊平行或有一組對邊相等．用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或"聯(lián)結(jié)兩個命題時，關鍵是正確理解這些詞語的意義及在日常生活中的同義詞，選擇合適的聯(lián)結(jié)詞,有時為了語法的要求及語句的通順也可進行適當?shù)氖÷院妥冃?1．指出下列命題的形式及構(gòu)成它的簡單命題：(1）24既是8的倍數(shù)，也是6的倍數(shù)；(2）菱形是圓的內(nèi)接四邊形或是圓的外切四邊形．[解]（1)這個命題是“p∧q”的形式，其中p：24是8的倍數(shù)，q：24是6的倍數(shù)．(2)這個命題是“p∨q”的形式，其中p:菱形是圓的內(nèi)接四邊形，q：菱形是圓的外切四邊形．含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷【例2】分別指出下列各組命題構(gòu)成的“p∧q"“p∨q"形式的命題的真假．(1)p：6<6，q：6＝6。（2)p：梯形的對角線相等,q:梯形的對角線互相平分．（3）p：函數(shù)y＝x2＋x＋2的圖象與x軸沒有公共點，q:不等式x2＋x＋2＜0無解．(4)p:函數(shù)y＝cosx是周期函數(shù)，q：函數(shù)y＝cosx是奇函數(shù)．[解](1)∵p為假命題，q為真命題,∴p∧q為假命題，p∨q為真命題．(2）∵p為假命題，q為假命題，∴p∧q為假命題,p∨q為假命題．(3)∵p為真命題，q為真命題，∴p∧q為真命題，p∨q為真命題．(4)∵p為真命題，q為假命題，∴p∧q為假命題，p∨q為真命題．判斷含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假的步驟1逐一判斷命題p，q的真假。2根據(jù)“且"和“或”的含義判斷“p∧q”“p∨q”的真假。，p∧q為真?p和q同時為真,，p∨q為真?p和q中至少一個為真.2．分別指出由下列各組命題構(gòu)成的“p或q"“p且q”形式的命題的真假．(1)p：eq\r（3）是無理數(shù),q：π不是無理數(shù)；（2)p：集合A＝A，q：A∪A＝A;（3)p：函數(shù)y＝x2＋3x＋4的圖象與x軸有公共點，q：方程x2＋3x－4＝0沒有實數(shù)根．［解](1)∵p真q假，∴“p或q"為真,“p且q"為假．(2）∵p真q真，∴“p或q”為真，“p且q”為真．（3）∵p假q假，∴“p或q”為假，“p且q”為假．根據(jù)命題的真假求參數(shù)范圍[探究問題］1．邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”與集合中的哪種運算對應?與電學中的電路又有什么關系？[提示](1)對于邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”的理解,可聯(lián)系集合中“交集"的概念，即A∩B＝｛x｜x∈A且x∈B｝,二者含義是一致的,都表示“既……，又……”的意思．（2）對于含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”的命題真假的判斷，可以聯(lián)系電路中兩個串聯(lián)開關的閉合或斷開與電路的通或斷的對應加以理解(如圖所示)．2．邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與集合中的哪種運算對應？與電學中的電路又有什么關系?[提示](1)對于邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”的理解，可聯(lián)系集合中“并集”的概念,即A∪B＝｛x|x∈A或x∈B｝，二者含義是一致的，如果p:集合A；q：集合B；則p∨q：集合A∪B.“或"包含三個方面：x∈A且x?B,x?A且x∈B，x∈A∩B。(2）對于含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“或"的命題真假的判斷，可以聯(lián)系電路中兩個并聯(lián)開關的閉合或斷開與電路的通或斷的對應加以理解(如圖所示)．【例3】設有兩個命題．命題p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?;命題q：函數(shù)f(x)＝(a＋1）x在定義域內(nèi)是增函數(shù)．如果p∧q為假命題,p∨q為真命題,求a的取值范圍．[思路探究］首先求出命題p，命題q所滿足的條件，根據(jù)p∧q為假命題，p∨q為真命題,可知p,q為一真一假,再分類討論求出a的范圍．[解]對于p：因為不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是?，所以Δ＝［－（a＋1)］2－4＜0。解這個不等式得：－3<a〈1。對于q：f（x)＝(a＋1）x在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則有a＋1>1，所以a>0.又p∧q為假命題,p∨q為真命題，所以p，q必是一真一假．當p真q假時有－3<a≤0,當p假q真時有a≥1。綜上所述，a的取值范圍是（－3，0］∪［1，＋∞）．1．（變換條件)本例中將“p∧q"為假命題改為“p∧q”是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．［解］由“p∧q"為真命題知p，q均為真命題．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－3＜a＜1，,a＞0,))得0＜a＜1.故a的取值范圍是(0,1)．2．(變換條件)本例中將“p:不等式x2－（a＋1)x＋1≤0的解集是?"改為“p:方程x2－(a＋1）x＋1＝0有兩不相等的實數(shù)根”，求a的取值范圍．[解]由方程x2－（a＋1）x＋1＝0有兩不相等的實數(shù)根，得Δ＝［－(a＋1)］2－4＞0，解得a＜－3或a＞1。由p∧q為假命題，p∨q為真命題，所以p，q必是一真一假．當p真q假時a＜－3，當p假q真時，0＜a≤1。綜上可知,a的取值范圍是（－∞，－3)∪(0，1]．解決此類問題的方法:首先化簡所給的兩個命題p，q，得到它們?yōu)檎婷}時相應參數(shù)的取值范圍；然后，結(jié)合復合命題的真假情形,確定參數(shù)的取值情況，常用分類討論思想。提醒：求解時要注意區(qū)間端點值的檢驗。1．思考辨析（1）p與q同真，則p∧q為真；p與q有一假，則p∧q為假．()（2)p與q有一真，則p∨q為真；p與q同假，則p∨q為假．(）（3)命題：“方程x2－1＝0的解是x＝±1”，使用了邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”． ()[提示］(1)√(2）√(3）דx＝±1”可以寫成“x＝1或x＝－1"．2．已知p：正方形的對角線相等,q：20是3的倍數(shù)，則p∨q(）A．是真命題 B．是假命題C．有可能是真命題 D．不一定是假命題A[正方形的對角線相等，所以命題p是真命題,所以p∨q是真命題．］3．如果命題p∨q為真命題，p∧q為假命題，那么(）A．命題p，q都是真命題B．命題p,q都是假命題C．命題p，q只有一個是真命題D．命題p，q至少有一個是真命題C[p∨q為真命題，則p，q至少有一個為真命題；p∧q為假命題，則p，q至少有一個為假命題，同時滿足,則p,q只有一個為真命題，故選C。]4．有以下四個命題:（1)直線a平行于直線b；（2）直線a平行于直線b或