§2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 20170615(教案)

(2)(2)必修5§2.3等差數(shù)列的前n必修5湖南省臨澧縣第一中學(xué)數(shù)學(xué)組林祖成【教學(xué)目標(biāo)】一、知識(shí)與技能掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式；體會(huì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程;會(huì)簡(jiǎn)單運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式。二、過(guò)程與方法通過(guò)對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，體會(huì)倒序相加求和的思想方法；通過(guò)公式的運(yùn)用體會(huì)方程的思想。三、情感態(tài)度與價(jià)值觀結(jié)合具體模型，將教材知識(shí)和實(shí)際生活聯(lián)系起來(lái)，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的實(shí)用性，有效激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，并通過(guò)對(duì)等差數(shù)列求和歷史的了解，滲透數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。【教學(xué)難點(diǎn)】在等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程中體會(huì)倒序相加的思想方法?！咎骄堪浮刻骄恳弧⒌炔顢?shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)（一）明確數(shù)列前n項(xiàng)和的定義，確定本節(jié)課中心任務(wù),下面我們來(lái)共同探究如何求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。（二）問(wèn)題牽引，探究發(fā)現(xiàn)問(wèn)題1：有一次，老師與高斯去買(mǎi)鉛筆，在商店發(fā)現(xiàn)了一個(gè)堆放鉛筆的V形架，V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放100支?老師問(wèn)：高斯，你知道這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆嗎？即：S=1+2+3++100=?100著名數(shù)學(xué)家高斯小時(shí)候就會(huì)算，聞名于世;那么小高斯是如何快速■?I地得出答案的呢？請(qǐng)同學(xué)們思考高斯方法的特點(diǎn)，適合類(lèi)型和方法本質(zhì)。探索與發(fā)現(xiàn)：假如讓你計(jì)算從第一層到第21層的珠寶數(shù)，高斯的首尾配對(duì)法行嗎？問(wèn)題2：等差數(shù)列1,2,3,???，n,???的前n項(xiàng)和怎么求呢？提示：把“全等三角形”倒置，與原圖構(gòu)成平行四邊形。<?<<有什么啟發(fā)?問(wèn)題3對(duì)于一般的等差數(shù)列G}提示：把“全等三角形”倒置，與原圖構(gòu)成平行四邊形。<?<<有什么啟發(fā)?問(wèn)題3對(duì)于一般的等差數(shù)列G}首項(xiàng)為ai,公差為d，如何推導(dǎo)它的前n項(xiàng)和Sn公式呢?即求Sn公式變形：{:分割咸.一■個(gè)平行嗎邊那醫(yī)一中三角吃）二ai+（n-l）d代入可得：Sn二三）公式的認(rèn)識(shí)與理解：根據(jù)前面的推導(dǎo)可知等差數(shù)列求和的兩個(gè)公式為：S—==n2+nn兩個(gè)公式共涉及a,d,n,a，S五個(gè)量，“知三”可“求二”。1nn等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式與梯形面積公式有什么聯(lián)系？請(qǐng)學(xué)生聯(lián)想思考總結(jié)來(lái)有助于記憶。&二仙:乩川（補(bǔ)成平行四疑圖探究二、公式應(yīng)用、講練結(jié)合題型一、與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的基本量的計(jì)算例1.已知等差數(shù)列｛a｝中n⑴a—4,S—172,求a和d.l88

【鞏固提升】已知等差數(shù)列｛a｝中，已知log(a+a)二3,求數(shù)列｛a｝的前13項(xiàng)和S=n259n13一個(gè)只有有限項(xiàng)的等差數(shù)列，它的前5項(xiàng)和為34，最后5項(xiàng)的和為146，所有項(xiàng)的和為234則它的第7項(xiàng)a等于7題型二、與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的最值問(wèn)題例2．仃)等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S,若a_=—11,a4+a6=—6,則當(dāng)S取最小值時(shí)，n等于；TOC\o"1-5"\h\znn146n(2)設(shè)等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,s〉0,s〈0,則當(dāng)S取最大值時(shí)，n等于.nn丄葉丄』n題型三、利用S與a之間關(guān)系解題nn例3.數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S,且S=n2+—n，求a.nnn2n【鞏固提升】設(shè)數(shù)列｛a｝的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為s，對(duì)任意的n^NS是a2與a的等差中項(xiàng),nn+,nnn求a.n已知數(shù)列｛a｝的前已知數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足,na+2SS=0(n>2,ngN),nnn-1+(1)求證數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求a.n題型四、等差數(shù)列前n項(xiàng)性質(zhì)的應(yīng)用例4.已知一個(gè)等差數(shù)列｛a｝的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220,求前30項(xiàng)的和n【練習(xí)】設(shè)S是等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和，若二—?jiǎng)tI—()nnS3S612B-3A10B-3變式】一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)之和為100，前100項(xiàng)之和為10，求前110項(xiàng)之和．例5.已知兩個(gè)等差數(shù)列｛an｝和｛bn｝的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且厶=7n^5，則Bnn+3a4—b4【課堂小結(jié)】

當(dāng)n=1當(dāng)n=1時(shí),a1=Si=2當(dāng)n>2時(shí),a=S—Snn一1(n--)2+—(n-1)2=2n一231=-也滿(mǎn)足上式a=2n--TOC\o"1-5"\h\z2n2a2aa+a4=4=-7b2bb+b44177/、2(a-+a7)A=—=^7(b+b)B72177x7+5=277+-5性質(zhì)歸納：設(shè)等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S，公差為d,nn則S,S—S,S—S丄仍是等差數(shù)列，且公差為k2dk2kk-k2ka+a+a+a+a=-4由已知得12-45a+a+a+a+a=146nn—1n—2n—-n—4又a+a=a+a=L=a+a1n2n—15n—4兩式相加得5(a+a)=180即a+a=-61n1nn由S=(a+a)得n二13n21n13由S=(a+a)=13a得a=18TOC\o"1-5"\h\z211377(1)等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S,若a_=—11,a4+a6=—6,則當(dāng)S取最小值時(shí)，n等于；nn146n⑵設(shè)等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,s〉0,s〈0,則當(dāng)S取最大值時(shí)，n等于.nn1415na=—11a=—11由51得i1(a+3d)+(a+5d)=-6Id=211從而S=na+d=-11n+x2=n2-12nn122=(n-6)2-36所以當(dāng)n=6時(shí)，S有最小值-36n法2a=-11+(n-1)x2=2n-13na=-11+(n-1)x2=2n-13n當(dāng)n<6時(shí)，a<0n當(dāng)n>6時(shí)，a>0n所以當(dāng)n=6時(shí)，S有最小值-36n求等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問(wèn)題的兩種方法n(n-1)dd(1)S=na+d=n2+(a一〒)n關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)，利用二次函n12212數(shù)圖象與性質(zhì)求解：

2)通項(xiàng)公式求臨界項(xiàng)法(a>0若<丿c，則2)通項(xiàng)公式求臨界項(xiàng)法(a>0若<丿c，則S有最大值,[d<0na<0若<丿c，則S有最小值,Id>0nIa<0Vk+1(a<0當(dāng)n=k時(shí)取到的最大值k滿(mǎn)足SkTOC\o"1-5"\h\zIa>0k+1由S=(a+a)=7(a+a)<0得a+a<021147878由S=(a+a)=15a>0得a>0211588從而a<0,a>078所以當(dāng)n=7時(shí)，S有最小值n數(shù)列中a與s的關(guān)系求解方法nn“項(xiàng)”變“和”統(tǒng)一變量形式，實(shí)現(xiàn)化簡(jiǎn)目的依題意2S=a2+a①nnn從而2S=a2+a②n+1n+1n+1彳將②-^^彳得2(S—S)—a2+a—(a2+a)n+1nn+1n+1nn即2a—a2+a—(a2+a)n+1_n+1n+1nna2一a2—a+a即a一a—1n+1nn+1nn+1n又2a—2S—a2+a得a—111111所以｛a｝是首項(xiàng)1,公差1的等差數(shù)列n所以a—1+(n一1)x1—nn依題意S—S+2SS—0(n>2，ngN)TOC\o"1-5"\h\znn—1nn—1+S—S—2SS(n>2，ngN)n—1nnn