2022-2023學(xué)年云南省名校聯(lián)盟高二年級上冊學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年云南省名校聯(lián)盟高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可得答案.【詳解】.故選：B2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．C【分析】求解二次不等式解得集合，再根據(jù)集合的交運(yùn)算，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：C.3．已知空間向量，，若，則（

）A． B． C． D．A【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，?故選：A4．一箱臍橙共有21個，其中有3個是壞果，若從中隨機(jī)取一個，則取到的臍橙不是壞果的概率為（

）A． B． C． D．D【分析】根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式可得答案.【詳解】依題意可得，取到的臍橙不是壞果的概率為.故選：D5．，.每個大于2的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù).關(guān)于這兩個命題，下列判斷正確的是（

）A．是假命題 B．：，C．是假命題 D．：存在一個大于2的質(zhì)數(shù)不是奇數(shù)D【分析】首先判斷出的真假，然后寫出它們的否定，即可選出答案.【詳解】若，則，所以是真命題，故A錯誤；：，，故B錯誤；是真命題，故C錯誤；：存在一個大于2的質(zhì)數(shù)不是奇數(shù)，故D正確；故選：D6．過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．A【分析】由題意可得，然后代入計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可得，圓心，，則，由圓的切線定理可得.故選:A7．若一個長方體的長?寬?高分別為4，，2，且該長方體的每個頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．D【分析】長方體的體對角線的交點(diǎn)到各個頂點(diǎn)的距離相等，利用體對角線公式求得半徑，結(jié)合球的表面積公式，即得解.【詳解】由題意，長方體的體對角線的交點(diǎn)到各個頂點(diǎn)的距離相等，即球心即為體對角線交點(diǎn)，半徑為體對角線的一半，即球的半徑，則球的表面積.故選：D8．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件C【分析】根據(jù)給定的條件，利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】因?yàn)?，因此，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：C9．若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（

）A．B．C．D．C【分析】利用共面向量定理分析判斷，其中選項(xiàng)ABD中，一個向量可以表示為另外兩個向量的共線向量的和的形式，所以三個向量共面；只有選項(xiàng)C的向量不可以，即得解.【詳解】因?yàn)樗怨裁?；因?yàn)樗怨裁?；，所以共面；假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足，所以,所以，該方程組沒有實(shí)數(shù)解.所以不存在實(shí)數(shù)滿足，故不共面．所以選項(xiàng)C符合題意.故選：C10．函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．A【分析】將函數(shù)平方可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可求解值域.【詳解】因?yàn)椋ǎ?，所以，又，所?故選：A11．設(shè)函數(shù)，給出下列結(jié)論：①若，，則；②存在，使得的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；③若在上有且僅有4個零點(diǎn)，則的取值范圍為；④，在上單調(diào)遞增.其中正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4C【分析】根據(jù)二倍角公式化簡得，根據(jù)最值與周期的關(guān)系可判斷①,根據(jù)平移可判斷②，根據(jù)零點(diǎn)問題可判斷③,根據(jù)整體法驗(yàn)證可判斷④.【詳解】因?yàn)?，所以的最小正周期?對于①，因?yàn)?，故分別為最大、最小值，由于，所以的最小正周期，所以.故①錯誤；對于②，圖象變換后所得函數(shù)為，若其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則，，解得，，當(dāng)時(shí)，，故②正確；對于③，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏嫌星覂H有4個零點(diǎn)，所以，解得，故③正確；對于④，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，，所以在上單調(diào)遞增.故④正確.綜上，正確的個數(shù)為3.故選：C12．臺風(fēng)中心從地以的速度向西北方向移動，離臺風(fēng)中心內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)地區(qū)，城市在地正西方向的處，則城市處于危險(xiǎn)地區(qū)內(nèi)的時(shí)長為（

）A． B． C． D．D【分析】作出平面圖形后，可求得到的距離，結(jié)合勾股定理可求得的長度，由此可得所求時(shí)長.【詳解】以為圓心，為半徑作圓，與運(yùn)動方向交于兩點(diǎn)，由題意知：，，，作，垂足為，則為中點(diǎn)，，，，城市處于危險(xiǎn)地區(qū)內(nèi)的時(shí)長為.故選：D.二、填空題13．已知向量，，且，則___________.【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示，求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，解?故14．已知某地最近12天的平均氣溫（單位：℃）為12，13，17，19，12，16，15，17，15，18，14，18，則這12天平均氣溫的70%分位數(shù)為______℃.17【分析】先把數(shù)據(jù)由小到大進(jìn)行排列，再求出70%分位數(shù)為第9個數(shù)據(jù)的氣溫，即可求解.【詳解】解：這12天的平均氣溫的數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為：12，12，13，14，15，15，16，17，17，18，18，19，，這12天平均氣溫的70%分位數(shù)為第9個數(shù)據(jù)的氣溫，即17℃.故答案為.三、雙空題15．若直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則直線在軸上的截距為__________，__________．

【分析】根據(jù)截距的定義，以及斜率和傾斜角的關(guān)系和二倍角公式求解即可.【詳解】令，得，則直線在軸上的截距為．依題意可得，則.故，.16．若空間中有三點(diǎn)，則到直線的距離為___________；點(diǎn)到平面的距離為___________.

【分析】利用空間向量的夾角去求到直線的距離；利用公式去求到平面的距離【詳解】由可得則，又，則則到直線的距離為設(shè)平面的一個法向量為則，即，令，則，又則點(diǎn)到平面的距離為故；四、解答題17．（1）求兩條平行直線與間的距離；（2）求過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程.（1）；（2）【分析】（1）直接根據(jù)平行線間的距離公式即可得結(jié)果；（2）根據(jù)垂直關(guān)系設(shè)所求直線的方程為，將點(diǎn)代入求出值即可.【詳解】（1）兩條平行直線與間的距離.（2）依題可設(shè)所求直線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得.則，故所求直線的方程為.18．在長方體中，底面是邊長為2的正方形，，，分別是，的中點(diǎn).(1)的值；(2)求與平面所成角的正弦值.(1)(2)【分析】（1）以D為原點(diǎn)，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求向量，的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解；（2）利用向量法求平面的法向量，利用向量夾角公式求與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，.；（2）設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)與平面所成角為，則，故與平面所成角的正弦值為.19．某電視臺舉行沖關(guān)直播活動，該活動共有四關(guān)，只有一等獎和二等獎兩個獎項(xiàng)，參加活動的選手從第一關(guān)開始依次通關(guān)，只有通過本關(guān)才能沖下一關(guān).已知第一關(guān)的通過率為0.7，第二關(guān)?第三關(guān)的通過率均為0.5，第四關(guān)的通過率為0.3，四關(guān)全部通過可以獲得一等獎（獎金為500元），通過前三關(guān)就可以獲得二等獎（獎金為200元），如果獲得二等獎又獲得一等獎，獎金可以累加.假設(shè)選手是否通過每一關(guān)相互獨(dú)立，現(xiàn)有甲?乙兩位選手參加本次活動.(1)求甲最后沒有得獎的概率；(2)已知甲和乙都通過了前兩關(guān)，求甲和乙最后所得獎金總和為900元的概率.(1)(2)【分析】（1）分第一關(guān)未通過，第一關(guān)通過第二關(guān)未通過，前兩關(guān)通過第三關(guān)未通過三種情況，結(jié)合獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式，求解即可；（2）若獎金為900，則甲和乙一人得一等獎一人得二等獎，計(jì)算對應(yīng)概率即可.【詳解】（1）記第一關(guān)未通過為事件，第一關(guān)通過第二關(guān)未通過為事件，前兩關(guān)通過第三關(guān)未通過為事件，甲最后沒有得獎為事件，則，，，故.（2）記通過了前兩關(guān)時(shí)最后獲得二等獎為事件，通過了前兩關(guān)時(shí)最后獲得一等獎為事件，則，.因?yàn)榧缀鸵易詈笏锚劷鹂偤蜑?00元，所以甲和乙一人得一等獎一人得二等獎，故甲和乙最后所得獎金總和為900元的概率為.20．在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且．(1)求角C的大??；(2)若，，求的取值范圍．(1)(2)【分析】（1）利用二倍角公式得到，再由余弦定理將角化邊，最后由余弦定理計(jì)算可得；（2）由（1）可得，由正弦定理將邊化角，由三角恒等變換公式化簡得到，再根據(jù)三角形為銳角三角形及求出角的取值范圍，最后由正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，即，由余弦定理可得，所以，所以，因?yàn)樵阡J角中，所以.（2）解：由（1）知，所以，因?yàn)?，由正弦定理，所以，，所以因?yàn)?，所以，所以，解得，又三角形為銳角三角形，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即的取值范圍為.21．已知圓．(1)若圓C被直線截得的弦長為8，求圓C的直徑；(2)已知圓C過定點(diǎn)P，且直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若，求a的取值范圍．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)弦長為8，利用弦心距、半徑、半弦長之間的關(guān)系列出方程求解即可；（2）求出動圓所過定點(diǎn)，再聯(lián)立直線與圓的方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列出不等式即可求解.【詳解】（1）依題意可知圓的圓心為，到直線的距離，因?yàn)閳A被直線截得的弦長為8，所以，解得，故圓的直徑為.（2）圓的一般方程為，令，，解得，所以定點(diǎn)的坐標(biāo)為.聯(lián)立解得或所以，因?yàn)?，所?又方程表示一個圓，所以，所以的取值范圍是.22．如圖1，已知是邊長為4的正三角形，，，分別是，，邊的中點(diǎn)，將沿折起，使點(diǎn)A到達(dá)如圖2所示的點(diǎn)的位置，為邊的中點(diǎn).(1)證明：平面.(2)若平面平面，求平面與平面夾角的正切值.(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，證明，根據(jù)線面平行的判定定理可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求得平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系，即可求得答案.【詳解】（1）證明