粒子濾波器基本原理

粒子濾波器基本原理第一頁，共三十四頁。主要內(nèi)容1動態(tài)系統(tǒng)模型及狀態(tài)估計(jì)問題2遞推Bayesian濾波器3粒子濾波器4小結(jié)第二頁，共三十四頁。1動態(tài)系統(tǒng)模型(1)

動態(tài)系統(tǒng)(DynamicSystem)通過兩個(gè)方程建模：狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程(statetransitionequation)測量方程(measurementequation)第三頁，共三十四頁。1動態(tài)系統(tǒng)(狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程)

狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：

其中：

fk:轉(zhuǎn)移函數(shù)（可能是非線性的）

xk,xk-1:當(dāng)前和前一時(shí)刻狀態(tài)

uk-1:已知的輸入

vk-1:狀態(tài)噪聲(可能是非Gaussian)第四頁，共三十四頁。1動態(tài)系統(tǒng)(測量方程)

測量方程：

其中：

hk:測量函數(shù)（可能是非線性的）

xk:當(dāng)前時(shí)刻狀態(tài)

uk:已知的輸入

nk:測量噪聲(可能是非Gaussian)第五頁，共三十四頁。1狀態(tài)估計(jì)問題

xk:未知的，待估計(jì)的系統(tǒng)狀態(tài)

z1：k:已知系統(tǒng)測量(z1：k

={zj,j=1,…,k})

狀態(tài)估計(jì)問題：根據(jù)已知的測量z1：k估計(jì)未知的狀態(tài)xk

實(shí)質(zhì)：計(jì)算后驗(yàn)概率密度函數(shù)(pdf)p(xk|z1:k)第六頁，共三十四頁。2遞推Bayesian濾波器

遞推地構(gòu)造后驗(yàn)概率密度函數(shù)(pdf)p(xk|z1:k):

已知p(xk-1|z1:k-1)和zk，求p(xk|z1:k)

假設(shè)：初始分布p(x0)是已知的（p(x0)是對系統(tǒng)初始狀態(tài)知識的刻畫）。

p(xk|z1:k)可以通過以下兩個(gè)步驟遞推地獲得：預(yù)測(prediction)

校正(update)第七頁，共三十四頁。2遞推Bayesian濾波器(預(yù)測)

預(yù)測(prediction)：

設(shè)k-1時(shí)刻的概率密度函數(shù)p(xk-1|z1:k-1)是已知的。預(yù)測階段包括通過Chapman-Kolmogorov等式使用狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程來獲得k時(shí)刻狀態(tài)的先驗(yàn)概率密度函數(shù)：

(1)第八頁，共三十四頁。2遞推Bayesian濾波器(校正)

校正(update)：在k時(shí)刻，當(dāng)測量有效時(shí)，通過Bayes規(guī)則進(jìn)行校正其中，規(guī)格化常量：似然度先驗(yàn)概率(2)第九頁，共三十四頁。2遞推Bayesian濾波器(推導(dǎo))第十頁，共三十四頁。2遞推Bayesian濾波器(估計(jì))

估計(jì)：

(3)第十一頁，共三十四頁。2Bayesian濾波器(問題)

理論上的解，在實(shí)際的應(yīng)用中，(1),(2),(3)中的積分是難以計(jì)算的。幾種特殊情況可以求解：有限狀態(tài)空間（積分轉(zhuǎn)換為求和）線性系統(tǒng)，高斯噪聲（kalmanfilter）第十二頁，共三十四頁。3粒子濾波器(ParticleFilter)粒子濾波器是（混合）動態(tài)系統(tǒng)估計(jì)的MonteCarlo（即隨機(jī)選擇）方法，它通過隨機(jī)選擇的樣本（或稱粒子）集來近似后驗(yàn)概率分布其優(yōu)點(diǎn)是：非線性系統(tǒng)非參數(shù)方法，可以表示任意分布（不受高斯假設(shè)約束）在單個(gè)粒子可以同時(shí)表示離散和連續(xù)狀態(tài)計(jì)算復(fù)雜度可調(diào)節(jié)(只與粒子數(shù)N有關(guān))適合處理高維狀態(tài)空間問題第十三頁，共三十四頁。MonteCarlo近似考察積分問題：MonteCarlo采樣使用一組獨(dú)立隨機(jī)變量來近似真實(shí)積分，設(shè)從概率分布P(x)抽取N個(gè)獨(dú)立同分布隨機(jī)樣本{x(1),…,x(N)},則上式的MonteCarlo近似為第十四頁，共三十四頁。重要性采樣問題：難以從真實(shí)分布采樣。重要性采樣：基本思想是選擇一個(gè)建議分布（proposaldistribution）q(x)代替p(x)。假設(shè)q(x)的支撐集涵蓋了p(x)的支撐集。重寫積分公式有：第十五頁，共三十四頁。重要性采樣MonteCarlo重要性采樣利用一組從q(x)抽取的獨(dú)立同分布樣本對上式加權(quán)近似：第十六頁，共三十四頁。規(guī)格化為使權(quán)重和為1，對權(quán)重進(jìn)行規(guī)格化處理：第十七頁，共三十四頁。3粒子濾波器粒子濾波器（ParticlefilterPF),又稱為序列蒙特卡羅(SequentialMonteCarlo,SMC）方法.兩種基本的PF算法：序列重要性采樣算法（SequentialImportanceSampling,SIS），又稱為bootstrapfiltering,thecondensationalgorithm樣本重要性重采樣（SampleImportanceResamplingFilter,SIR）

第十八頁，共三十四頁。3粒子濾波器框架（SIS算法）第十九頁，共三十四頁。權(quán)重計(jì)算第二十頁，共三十四頁。3粒子濾波器框架（SIS算法）重要性采樣（退化問題DegeneracyProblem）SIS存在退化現(xiàn)象：經(jīng)過幾次迭代后，除了一個(gè)例子外，其余的粒子的權(quán)值都變得微不足道。退化問題導(dǎo)致大量的計(jì)算能力用于更新微不足道的粒子。

第二十一頁，共三十四頁。退化問題處理方法：強(qiáng)力法：許多許多的粒子（低效）選擇好的重要性函數(shù)（困難）重采樣（主流方法）3粒子濾波器框架（SIS算法）第二十二頁，共三十四頁。3粒子濾波器框架（SIR算法）樣本重要性重采樣（SampleImportanceResamplingFilter,SIR）從SIS推導(dǎo)而來，滿足以下兩個(gè)條件：重要性q(.)密度取先驗(yàn)密度,重采樣：每一時(shí)間步都進(jìn)行重采樣第二十三頁，共三十四頁。重采樣過程特點(diǎn)：權(quán)重高的粒子更多地被選中第二十四頁，共三十四頁。3粒子濾波器框架（SIR算法）重采樣（采用基于順序統(tǒng)計(jì)量(orderstatistics)的算法可以在O(Ns)的時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)重采樣）:生成樣本集，使得；然后令第二十五頁，共三十四頁。第二十六頁，共三十四頁。3粒子濾波器框架（SIR算法）第二十七頁，共三十四頁。3粒子濾波器框架（SIR算法）重采樣（樣本枯竭現(xiàn)象sampleimpoverishment）SIR樣本枯竭現(xiàn)象：權(quán)重較高的粒子被統(tǒng)計(jì)地選擇多次，這導(dǎo)致粒子集喪失多樣性（alossofdiversityamongtheparticles），因?yàn)樵S多樣本表示同一點(diǎn)。第二十八頁，共三十四頁。3粒子濾波器（缺點(diǎn)）缺點(diǎn)粒子數(shù)目N過大增加計(jì)算復(fù)雜度過小則難以得到滿意的近似退化問題采樣枯竭的問題第二十九頁，共三十四頁。4小結(jié)動態(tài)系統(tǒng)通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和測量方程建模。遞推Bayesian濾波器通過預(yù)測和校正兩個(gè)步驟來求后驗(yàn)概率密度函數(shù)p(xk|z1:k)，但是一種理論上的解，其積分難以計(jì)算。粒子濾波器通過一組隨機(jī)選擇的帶權(quán)樣本來表示后驗(yàn)密度函數(shù)，在這些樣本和權(quán)值的基礎(chǔ)上計(jì)算估計(jì)。第三十頁，共三十四頁。4小結(jié)粒子濾波器的優(yōu)點(diǎn)：非線性，非高斯，混合系統(tǒng)，計(jì)算復(fù)雜度可調(diào)節(jié)，高維問題兩種典型的粒子濾波器算法：序列重要性采樣算法（SIS),采樣重要性重采樣算法(SIR)。粒子濾波器的問題：SIS存在退化現(xiàn)象；SIR樣本枯竭現(xiàn)象；N的選擇問題。第三十一頁，共三十四頁。參考文獻(xiàn)[1]M.S.Arulampalam,S.Maskell,N.Gordon,T.Clapp.ATutorialonParticleFiltersforOn-lineNonlinear/Non-GaussianBayesianTracking.IEEETransactionsonSignalProcessing,v50,n2,pp.174-188,2002第三十二頁，共三十四頁。Thanks!第三十三頁，共三十四頁。內(nèi)容梗概粒子濾波器基本原理。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程(statetransitionequation)。1動態(tài)系統(tǒng)(狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程)。1動態(tài)系統(tǒng)(測量方程)。1狀態(tài)估計(jì)問題。2遞推Bayesian濾波器。2遞推Bayesian濾波器(推導(dǎo))。2遞推Bayesian濾波器(估計(jì))。2Bayesian濾波器(問題)。3粒子濾波器(ParticleFilter)。為使權(quán)重和為1，對權(quán)重進(jìn)行規(guī)格化處理：。3粒子濾波器。樣本重要性重采樣（SampleImportanceResamplingFilter,SIR）。重要性采樣（退化問題DegeneracyProble