2023年新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)真題源大題分類講義之專題17 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式（解析版）

17.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式一．單變量不等式的證明【例1】（2021年·全國乙卷）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．（1）求；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．【解析】（1）由，，又是函數(shù)的極值點，所以，解得；（2）由（1）得，，且，當(dāng)時，要證，，，即證，化簡得；同理，當(dāng)時，要證，，，即證，化簡得；令，再令，則，，令，，當(dāng)時，，單減，假設(shè)能取到，則，故；當(dāng)時，，單增，假設(shè)能取到，則，故；綜上所述，在恒成立【方法技巧】證明單變量不等式的2種方法(1)利用單調(diào)性證明單變量不等式。一般地，要證f(x)>g(x)在區(qū)間(a，b)上成立，需構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，通過分析F(x)在端點處的函數(shù)值來證明不等式。若F(a)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調(diào)遞增即可；若F(b)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調(diào)遞減即可。(2)利用最值證明單變量不等式。利用最值證明單變量的不等式的常見形式是f(x)>g(x)。證明技巧：先將不等式f(x)>g(x)移項，即構(gòu)造函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)，轉(zhuǎn)化為證不等式h(x)>0，再次轉(zhuǎn)化為證明h(x)min>0，因此，只需在所給的區(qū)間內(nèi)，判斷h′(x)的等號，從而判斷其單調(diào)性，并求出函數(shù)h(x)的最小值，即可得證。二．雙變量不等式的證明【例2】（2021年·新高考Ⅰ卷）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【解析】（1）函數(shù)的定義域為，又，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）因為，故，即，故，設(shè)，由（1）可知不妨設(shè).因為時，，時，，故.先證：，若，必成立.若，要證：，即證，而，故即證，即證：，其中.設(shè)，則，因為，故，故，所以，故在為增函數(shù)，所以，故，即成立，所以成立，綜上，成立.設(shè)，則，結(jié)合，可得：，即：，故，要證：，即證，即證，即證：，即證：，令，則，先證明一個不等式：.設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故，故成立由上述不等式可得當(dāng)時，，故恒成立，故在上為減函數(shù)，故，故成立，即成立.綜上所述，.【方法技巧】雙變量不等式的證明證明雙變量函數(shù)不等式的常見思路(1)將雙變量中的一個看作變量，另一個看作常數(shù)，構(gòu)造一個含參數(shù)的輔助函數(shù)證明不等式。(2)整體換元。對于齊次式往往可將雙變量整體換元，化為一元不等式。(3)若雙變量的函數(shù)不等式具有對稱性，并且可以將兩個變量分離開，分離之后的函數(shù)結(jié)構(gòu)具有相似性，從而構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性證明。三．結(jié)構(gòu)不良問題【例3】（2022屆高三普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)信息卷（二））已知函數(shù)，．在下列三個條件中任選一個填在下面的橫線上，解答下列問題．①，②，③．（1）（?。_____，曲線在點處的切線經(jīng)過點，求實數(shù)a的值；（ⅱ）求證：是曲線的一條切線．（2），當(dāng)，時，求證：．【解析】（1）（?。┻x①，則，，所以切線斜率．又，所以切點為，所以切線方程為．因為切線經(jīng)過點，所以，解得．選②，則，，所以切線斜率．又，所以切點為，所以切線方程為．因為切線經(jīng)過點，所以，解得．選③，則，則，所以切線斜率．又，所以切點為，所以切線方程為．因為切線經(jīng)過點，所以，解得．（ⅱ）由，得．設(shè)切點為，則，得，所以，則切點坐標(biāo)為，則切線方程為，即，所以是曲線的一條切線．（2）令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，即．若要證明，只需證明，即證．先證當(dāng)時，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即，所以．故只需證明．（直接證明時，計算比較復(fù)雜，所以利用放縮法證明）令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，所以．綜上知，，即原不等式成立．【方法技巧】第二問解題的關(guān)鍵在于借助第一問的結(jié)論將問題轉(zhuǎn)化為證明，進而結(jié)合不等式進一步轉(zhuǎn)化為證明.【演練提高】1.（安徽省合肥市第六中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試）設(shè)，滿足，證明：（1）對任意正數(shù)，有；（2）對任意正數(shù)a，b，有．【解析】（1）令，則，且．當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也是最小值．故對任意，有，結(jié)論得證．（2）令，則，且當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也是最小值．而，其中，故對任意，有，所以，結(jié)論得證．2.已知.（1）求關(guān)于的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知，證明：.【解析】（1）因為，所以或，即的增區(qū)間為和有，即的減區(qū)間為．（2）因為令，即不等式等價于，即只需證，設(shè)所以在遞增，故，即，亦即．3.（2021屆山西省名校聯(lián)考高三三模）已知函數(shù)有兩個零點,.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：.【解析】（1）,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,至多有一個零點,不符合題意；當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,,若,,至多有一個零點,不符合題意；若,則,,.,,存在兩個零點,分別在,內(nèi).實數(shù)的取值范圍為.（2）方法1：由題意得,令,得,變形得.欲證,即證,即證,然后構(gòu)造函數(shù)證明.方法2：令,則,,兩式相除得,,,欲證,即證,即證.,根據(jù)在上單調(diào)遞減證明.4.（重慶市2022屆高三上學(xué)期1月調(diào)研）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，函數(shù).（1）求在上的最小值；（2）若數(shù)列滿足，且，證明：【解析】（1），，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，.（2），，由時，單調(diào)遞減，隨變大而單調(diào)遞增，，又時，單調(diào)遞減，，即，由（1）知時，可得，結(jié)合式與可得，整理得.5.已知，函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）證明：函數(shù)在上有唯一零點；（2）記為函數(shù)在上的零點，證明：.(參考數(shù)值：)【解析】（1），在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時，設(shè)，，函數(shù)單調(diào)遞增，，故恒成立，即，，存在，使得，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，所以，當(dāng)時，設(shè)，故，函數(shù)單調(diào)遞增，故，故，即，，因此當(dāng)時，，故由零點存在定理以及單調(diào)性，在上有唯一零點，在上沒有零點，所以函數(shù)在上有唯一零點.（2）在上單調(diào)遞增，且，故要證，只要證，即證：在時恒成立，設(shè)，故，，由，得到，所以在遞減，在遞增，，，所以存在，使得，所以在遞減，遞增，所以，故只需證明，由，，所以，，由二次函數(shù)的單調(diào)性，得，綜上，得證.6.（江蘇省南通市海安市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知函數(shù)，其中．求證：（1），且；（2），，.【解析】（1）由題知，令，求導(dǎo)，令，得當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；故當(dāng)時，函數(shù)取得極小值也是最小值，且所以，即，，即（2），令求導(dǎo)，，取，即，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以存在唯一零點，使得當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；又，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；故當(dāng)時，函數(shù)取得極小值也是最小值，且所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞增又，，所以當(dāng)時，，，即；當(dāng)時，，，即.故取，，均有.7.已知函數(shù).（1）若函數(shù)的最大值為0，求的值；（2）已知直線（），證明有且僅有兩個不同的實數(shù)，使得直線與曲線，相切，且.【解析】（1）定義域為，，

①當(dāng)時，無最大值.②當(dāng)時，所以；令，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以（2）證明：設(shè)直線與曲線相切于點，則有

……（1）（1）式消去得，令，則，故單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，且，，所以對于給定的實數(shù)，有且僅有，使得，…………（2）又（1）式消去得，故存在滿足題意.因為，即為，即，由（2）式得，設(shè)，則，所以，令，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即成立，所以成立，故成立.8.（重慶市巴蜀中學(xué)2022屆高三上學(xué)期高考適應(yīng)性月考（三））已知函數(shù)，.（1）若，求的取值范圍；（2）求證：存在唯一極大值點，且知；（3）求證：.【解析】（1）由，可得恒成立，令，則，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，所以，所以，故的取值范圍是.（2）證明：由，則，再令，因為在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，因為當(dāng)時，，，于是存在，使得，即，①并且當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，于是存在唯一極大值點，且.（3）證明：由（1）知，當(dāng)時，，又，所以，于是當(dāng)時，，由（2）并結(jié)合①得：易知在時單調(diào)遞減，所以，設(shè)，其中，因為在時恒成立，所以在時單調(diào)遞增，于是，從而有，所以原不等式成立.9.（重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)2021屆高三下學(xué)期第六次月考）已知函數(shù)f(x)＝a（cosx﹣1）﹣blnx+xsinx．（1）若a＝1，b＝0，證明：f(x)在區(qū)間（0，π）內(nèi)存在唯一零點；（2）若a＝0，b＝π，①證明：時，f(x)＞0；②證明：＞π[ln（n+1）﹣ln2]（其中n≥2，且n∈N+）．【解析】（1）若a＝1，b＝0，則f(x)＝cosx﹣1+xsinx，f′(x)＝xcosx，當(dāng)時，f′(x)＞0，當(dāng)時，f′(x)＜0，∴f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，∴f(x)在區(qū)間（0，π）內(nèi)存在唯一零點；（2）若a＝0，b＝π，則，①，令，易知g(x)在上單調(diào)遞增，∴，即f′(x)＜0，∴f(x)在上單調(diào)遞減，∴，即得證；②當(dāng)n≥2，n∈時，，又，故，則，由①知，時，xsinx＞πl(wèi)nx，令，，∴，以上各式相加得，，即，即，即得證．10.函數(shù)，（1），求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）令函數(shù)，求證：.【解析】（1），，當(dāng)，時，，當(dāng)，時，，所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是，.的單調(diào)遞減區(qū)間是，.（2）不等式恒成立等價于在上恒成立，令，則由可得，∵可以看作是關(guān)于的一次函數(shù)，單調(diào)遞增，∴令，對于，，恒成立.只需證明即可.①當(dāng)，，則，在上單調(diào)遞減，又，所以此時恒成立.②當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以此時恒成立.③當(dāng)時，單調(diào)遞增，，，所以在上存在唯一的，使得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在時單調(diào)遞減，在時單調(diào)遞增.∴，，，∴恒成立，故恒成立，∴.（3）由（2）可知，令，，，，2，…，8，可得到，從而，即得證.11.（安徽省安慶市重點高中2022屆高三上學(xué)期10月月考）在數(shù)學(xué)中，我們把僅有變量不同，而結(jié)構(gòu)?形式相同的兩個式子稱為同構(gòu)式，相應(yīng)的方程稱為同構(gòu)方程，相應(yīng)的不等式稱為同構(gòu)不等式.若關(guān)于的方程和關(guān)于的方程可化為同構(gòu)方程.（1）求的值；（2）已知函數(shù).若斜率為的直線與曲線相交于，兩點，求證：.【解析】（1）對兩邊取自然對數(shù)，得(1),對兩邊取自然對數(shù)，得即，因為(1)(2)方程為兩個同構(gòu)方程，所以，解得，設(shè)，則,所以在單調(diào)遞增，所以方程的解只有一個,所以，所以，故.（2）由（1）知：所以要證，即證明等價于令，則只要證明即可，由知，，故等價于證設(shè)則，即在單調(diào)遞增，故，即.設(shè)則，即在單調(diào)遞增，故，即。由上可知成立，則.12.（江蘇省泰州中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第一次月度檢測）定義：函數(shù)，的定義域的交集為，，若對任意的，都存在，使得，，成等比數(shù)列，，，成等差數(shù)列，那么我們稱，為一對“函數(shù)”，已知函數(shù)，，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：；（3）若，對任意的，，為一對“函數(shù)”，求證：．（為自然對數(shù)的底數(shù)）【解析】（1），當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴在上遞減，在上遞增．（2）由（1）得，要證，即證，設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，即恒成立，所以，綜上，．（3）由題設(shè)，對任意，存在，使得，且，而，故.法一：由（Ⅱ）得，∴．令，則，令，，∴在上遞增，在上遞減，又，，，由零點存在性定理得存在（），使得，故不等式的解為．故，證畢．法二：由均值不等式得．故，令，則，同法一，有不等式的解為．故，證畢．13.（1）求證：；（2）已知，求的根的個數(shù)；（3）求證：若，則．【解析】（1）證明：當(dāng)時，，且，(當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立).即.（2），，當(dāng)時，，，則恒成立，函數(shù)沒有零點；當(dāng)時，．令，的零點即為函數(shù)的零點.則，令，解得，當(dāng)時，，是減函數(shù)；當(dāng)時，，是增函數(shù)，函數(shù)在上的最小值為．當(dāng)時，，又，