大二下課件-復(fù)變函數(shù)chapter

考試時間 12.26下答疑： 12:30-理學(xué)樓408B（數(shù)學(xué)學(xué)院作業(yè)132頁第六章共§1單葉解析函數(shù)的性單葉解析函數(shù)：解析，且單（共形，保形引 設(shè)函數(shù)

(z)解析，w0

f(z0f'(z0)

f(p1)(z)

(p)(z)00則存在00f(z)

w在0<|z

內(nèi)恰有p證 作D:|z

|,使得

(z)

w0及

'(z)除z0設(shè)

min

f(z)

|

取w,使得

|w

|ww0 | 由儒歇定理

f(z)

(z)

w在1f(zw在內(nèi)有p個零點1

f(z)

w]'|zz

f'(z1)

(z)

w在內(nèi)零點都是一階的推論

設(shè)函數(shù)

單葉解析，則

'(z)逆命題不成立

f(z)

ez推論 設(shè)在z0的一個鄰域內(nèi)單葉解析推論3：非常數(shù)解析函數(shù)把開集映為開集設(shè)有向曲線C為

zz(t),

(tz(t0)

t

z(t0) 向量z(t

z(t0t 方向與C一致

0

z(t0xyz(t0C.Argz(yz(t0C.Argz(t000x

C1:

z.z0

C2:zz2設(shè)w

f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析z0

D,

f(z0)Argfz0yz(t0yz(t0.C0x

(z)

w(t0)

f(z0)z(t0)w.w0 C:z

z(t);

:w

f[z(t)].z0

z(t0)

z(t0

0.

wf(z). w(t0)f(z0)z(t0Argw(t0)

(z0)

Argz(t0或Argf(z0)

Argw(t0)

Argz(t0曲線C

在w0處切線的C在z0處切線的傾(z)映射后在z0的轉(zhuǎn)動注:轉(zhuǎn)動角的大小與方向跟曲線C的形狀無關(guān)（保角性fz0的幾何意

f(z0)

zz0

z..z0.w00f(z0

zz0

limzzz0

反映曲線在

定義由于單葉解析函數(shù)在每個點處具有保角性為共形§2分式線性變換的性分式線性變換(Mobius變換waz

cz注總假定將擴充復(fù)平面映為擴充復(fù)平面，且一一對應(yīng)分式線性變換對應(yīng)行列式為1的2waz

A

,

cz

d 逆，復(fù)合仍為分式線性變換.由下列簡單復(fù)合而成w

z

wrz

w1z保圓性：將擴充z平面上的圓周為圓周（直線可看作是過無窮點的圓周保對稱設(shè)分式線性變換將設(shè)點z1z2C PP與P'關(guān)于圓C Pzw1wzw1z(z

r

z

rr

1保交比不定

z4z2:z3

為點zzzzz z

簡記為(z1z2z3z4約 定義中含有無窮遠點的項1來代替(zz

)z3

z

設(shè)分式線性變換將點z1z2z3(w1,w2,w3,w4)(z1,z2,z3,z4wazcz

所以三個條件就能決定一個分式線性定 在z平面上任意給定三個不同的點z1,z2,z3存在唯一的分式線性w

: w

z 問題:圓域被成什么區(qū)域 C2.2z1,

.z12為C內(nèi)任意兩

Q..

.w2 假設(shè)

圓弧

且

2 結(jié)論:在分式線性下,C的或者C 判別方法方法1在分式線性下,如果在圓周C內(nèi)任z0,

0的象在

則

就映C的為C的外部

則

就方法

在C上取三

z2,

若繞向z1

,與C上繞向

相同則C的就映為C的 .

Cw3

z1

.

.方法

在C上取三

z2,

若繞向z1

,與C上繞向

相同則C的就映為C的的就為C的外部.

.若繞向相反則 .

Cw3

z1

.

.方法

在C上取三

z2,

若繞向z1

,與C上繞向

相同則C的就映為C的的就為C的外部.

.若繞向相反則Cz1

.CwCw3. 求將上半平面

0映射成單位圓

分式線性yy1...1x.ou ou

z2

z3

(1,0,1)

所求

w

:1i

z

:10w1

11

z1 11化簡得

wziizy.o.x方y(tǒng).o.x

vo ()

關(guān)于圓周取對稱

w所求為:w

zwwzzkz由于z為實數(shù)時,

k

例2求將上半平面Imz

0成單位圓

依上題結(jié)論

wei(zz

2i

(z

i).arg

arg

i)

(π)

所以

π 例3求將單

1成單位圓

1的式線性.a.ao

vo()

a

za

ww

z

z

z

,

kaza

az

1az

1

wk 所以

k

1111

k

eizz1az故所求分式線性為wweiz1az將單位圓盤映為單位圓盤的一例4求將單位 為單位圓且滿足條件w1

w1

2 20的分式線性2 2 1z1解z

w

依上題結(jié)論

wei 22

w1

3ei43

1122 22z 2zw1

得

所以w

2z1.2 2 例5求將Im(z)0

w

2且滿足條 的分式線分(z)(z)oo(w).o上半平

單位

z2iIm(z) z(z(z).ozz

o則所求為

平 w伸w2(1

i)z(w).o(w).o由初等函數(shù)構(gòu)造共形

w

(n

2為自然數(shù)該函數(shù)在zdwnz

當(dāng)z

0時

dw0在z平面內(nèi)除原點外

wzn

局部是共形的當(dāng)

0時z

rei,w

,

rn

n則:1)z

圓周

rn(特殊地:單位圓周為單位圓周射線0

n0正實軸

0成正實軸

0角形域0

0

n

角形0

n0(z)0(z)00(w)n0特殊地(w)上0下(w)上0下沿正實軸剪開的w平(z)n

角形0

00n 成正實軸的下沿n

特點:把以原點為頂點的角形域成以原點為頂點的角形域,n倍.例1求把角形

argz 4

成單位w1的一個(z)(z)04(w)00(z)04z4因此所求為

iw(w)0z4iwz4(w)0 求把下圖中由圓弧圍成的交角為的月牙

arg

的一個(z)i C2

(w) (z)i C2

0zi0

zi

考慮分式線性變換

k

zi.zi.此將z1

k

i使

1

(z)i

C2

ziz z i

0逆時針旋轉(zhuǎn)00因此所求為

wei0w

zi0 zi

(w)i

π z

2 0zi0 zi0 例3求把去掉割線

a,0

Im(z)

的上平面成上半平面的一個(z(z)a0a(w)0(z(z20(z(z)z1z0a(z1.0z2 (z30.z22z3z(z30.z22解(z(z)0aw (za)2(z30((z30(wh...wez

(ez

ez

的局部上是共形 z

x

wei

ex,yzlnzln

wez

w平(z(z)直0x常

(w)0

常(z)0

y常

(w)射線0

常3帶形0Imz)(0a

角形

argw ( (z)0(w)0特殊地(z)(z)0(w)0特點:把水平的帶形 角形域0argwa.例4求把帶形域 w1 0

ezwezezwezwwze

例5

成上半平I(0.(z(z)0ab

的一個wwebai(za(w)0(w)0 iπb(z0

w黎曼定理設(shè)U是復(fù)平面上的單連通區(qū)域，但不是整個平面.存在共形設(shè)

U,則滿足(z0

唯一

(z