高一數(shù)學(xué)：《5-6 函數(shù) y=Asin（ ωx ＋ φ）》教學(xué)導(dǎo)學(xué)案

第五章三角函數(shù)5.6函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像1．理解參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響；能夠?qū)＝sinx的圖象進(jìn)行交換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的圖象．2．會(huì)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的簡(jiǎn)圖；能根據(jù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象，確定其解析式．3．求函數(shù)解析式時(shí)φ值的確定．重點(diǎn)：將考察參數(shù)Α、ω、φ對(duì)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象的影響的問題進(jìn)行分解，找出函數(shù)y＝sinx到y(tǒng)＝Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律.學(xué)習(xí)如何將一個(gè)復(fù)雜問題分解為若干簡(jiǎn)單問題的方法.；會(huì)用五點(diǎn)作圖法正確畫函數(shù)y＝Asin(ωx+φ)的簡(jiǎn)圖.難點(diǎn)：學(xué)生對(duì)周期變換、相位變換順序不同，圖象平移量也不同的理解．1.函數(shù)，（其中）的圖象，可以看作是正弦曲線上所有的點(diǎn)_________（當(dāng)>0時(shí)）或______________（當(dāng)<0時(shí)）平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度而得到.2.函數(shù)（其中>0且）的圖象，可以看作是把正弦曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)______________（當(dāng)>1時(shí)）或______________（當(dāng)0<<1時(shí)）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）而得到.3.函數(shù)>0且A1)的圖象，可以看作是把正弦曲線上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)___________（當(dāng)A>1時(shí)）或__________（當(dāng)0<A<1）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變）而得到的，函數(shù)y=Asinx的值域?yàn)開_____________.最大值為______________，最小值為______________.4.函數(shù)其中的（A>0,>0）的圖象，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲線上所有的點(diǎn)___________（當(dāng)>0時(shí)）或___________（當(dāng)<0時(shí)）平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)____________（當(dāng)>1時(shí)）或____________（當(dāng)0<<1）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得各點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)____________（當(dāng)A>1時(shí)）或_________（當(dāng)0<A<1時(shí)到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變）而得到.提出問題上面我們利用三角函數(shù)的知識(shí)建立了一個(gè)形如y=Asin（ωx+φ）其中（A＞０，ω＞０）的函數(shù)．顯然，這個(gè)函數(shù)由參數(shù)A，ω，φ所確定．因此，只要了解這些參數(shù)的意義，知道它們的變化對(duì)函數(shù)圖象的影響，就能把握這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)．從解析式看，函數(shù)y=cosx就是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)在A＝１，ω＝１，φ＝０時(shí)的特殊情形．(1)能否借助我們熟悉的函數(shù)y=sinx的圖象與性質(zhì)研究參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的影響？(2)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)含有三個(gè)參數(shù)，你認(rèn)為應(yīng)按怎樣的思路進(jìn)行研究.1.探索φ對(duì)y＝sin(x＋φ)圖象的影響為了更加直觀地觀察參數(shù)φ對(duì)函數(shù)圖象的影響，下面借助信息技術(shù)做一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)．如圖5.6.4，取A＝１，ω＝１，動(dòng)點(diǎn)M在單位圓O1上以單位角速度按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)．圖5.6.4如果動(dòng)點(diǎn)M以O(shè)0為起點(diǎn)（此時(shí)φ＝０），經(jīng)過xｓ后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，那么點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y就等于sinx．以（x，y）為坐標(biāo)描點(diǎn)，可得正弦函數(shù)y=sinx的圖象在單位圓上拖動(dòng)起點(diǎn)Q0，使點(diǎn)Q0繞點(diǎn)Q1旋轉(zhuǎn)π6到Q1，你發(fā)現(xiàn)圖象有什么變化？如果使點(diǎn)Q0繞點(diǎn)Q1旋轉(zhuǎn)-π6,π3當(dāng)起點(diǎn)位于Q1時(shí)，φ=π6，可得函數(shù)y＝sin(x＋π6)的圖象．進(jìn)一步，在單位圓上，設(shè)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別以Q0，Q1為起點(diǎn)同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)．如果以Q0為起點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)到達(dá)圓周上點(diǎn)P的時(shí)間為xｓ，那么以Q1為起點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)相繼到達(dá)點(diǎn)P的時(shí)間是(x-π6)ｓ．這個(gè)規(guī)律反映在圖象上就是：如果F（x，y）是函數(shù)y＝sinx圖象上的一點(diǎn)，那么G(x-π6,y)就是函數(shù)y＝sin(x＋π6)圖象上的點(diǎn)，如圖5.6-4所示．這說明，把正弦曲線y＝sinx上的所有點(diǎn)向左平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度，分別說一說旋轉(zhuǎn)-π6,π3,-π3一般地，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M的起點(diǎn)位置Q所對(duì)應(yīng)的角為φ時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)是y＝sin(x＋φ)(φ≠0)，把正弦曲線上的所有點(diǎn)向左（當(dāng)φ＞０時(shí)）或向右（當(dāng)φ＜０時(shí)）平移φ個(gè)單位長(zhǎng)度，就得到函數(shù)y＝sin(x＋φ)的圖象．2.探索ω（ω＞０）對(duì)y=sin（ωx+φ）圖象的影響下面，仍然通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來探索．如圖5.6.5，取圓的半徑A=1．為了研究方便，不妨令φ＝π6．當(dāng)ω＝１時(shí)得到y(tǒng)＝sin(x＋π6)的圖象取ω＝２，圖象有什么變化？取ω＝12呢？取ω＝３，ω＝13，圖象又有什么變化？當(dāng)ω取ω＝２時(shí)，得到函數(shù)y＝sin(2x＋π6)的圖象．進(jìn)一步，在單位圓上，設(shè)以Q1為起點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ω＝１時(shí)到達(dá)點(diǎn)P的時(shí)間為x1ｓ，當(dāng)ω＝２時(shí)到達(dá)點(diǎn)P的時(shí)間為x2ｓ．因?yàn)棣兀剑矔r(shí)動(dòng)點(diǎn)的轉(zhuǎn)速是ω＝１時(shí)的２倍，所以x2＝12x1．這樣，設(shè)G（x，y）是函數(shù)y＝sin(x＋π6)圖象上的一點(diǎn)，那么K（12x，y）就是函數(shù)y＝sin(2x＋π6)圖象上的相應(yīng)點(diǎn)，如圖5.6-5示．這說明，把y＝sin(x＋π6)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12倍（縱坐標(biāo)不變），就得到y(tǒng)＝sin(2x＋π6)的圖象．y＝sin(2x＋π6)的周期為π，同理，當(dāng)ω＝12時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的轉(zhuǎn)速是ω＝１時(shí)的12倍，以Q1為起點(diǎn)，到達(dá)點(diǎn)P的時(shí)間是ω＝１時(shí)的２倍．這樣，把y＝sin(x＋π6)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的２倍（縱坐標(biāo)不變），就得到y(tǒng)＝sin(12x＋π6)的圖象．y＝sin(12是y＝sin(x＋π6)的周期的２倍一般地，函數(shù)的周期是2πω，把y＝sin(x＋φ)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)ω＞１時(shí)）或伸長(zhǎng)（當(dāng)０＜ω＜１時(shí)）到原來的1ω倍（縱坐標(biāo)不變），就得到的圖象3.探索A（A＞０）對(duì)y=sin（ωx+φ）圖象的影響下面通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探索A對(duì)函數(shù)圖象的影響．為了研究方便，不妨令ω=2,φ=π6．當(dāng)A＝１時(shí)，如圖5.6.6，可得y=sin（2x+π6改變A的取值，使A?。?，12，３,13等，你發(fā)現(xiàn)圖象有什么變化當(dāng)A取任意正數(shù)呢?當(dāng)A＝２時(shí)，得到函數(shù)y=2sin（2x+π6）的圖象進(jìn)一步，設(shè)射線O1Q1與以O(shè)1為圓心、２為半徑的圓交于T1．如果單位圓上以O(shè)1為起點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，以ω＝２的轉(zhuǎn)速經(jīng)過xｓ到達(dá)圓周上點(diǎn)P，那么點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是2sin（2x+π6）；相應(yīng)地，點(diǎn)T1在以O(shè)1為圓心、２為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)T，點(diǎn)T的縱坐標(biāo)是2sin（2x+π6）．這樣，設(shè)K（x，y）是函數(shù)y=sin（2x+π6）圖象上的一點(diǎn)，那么點(diǎn)N（x，2y）就是函數(shù)圖象y=2sin（2x+π6）上的相應(yīng)點(diǎn)，如圖5.6.6所示．這說明，把y=sin（2x+π6）圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的２倍（橫坐標(biāo)不變），就得到y(tǒng)=2sin（2x+π6）的圖象．同理，把y=sin（2x+π6）圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的12一般地，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，可以看作是把y＝Asin(ωx＋φ)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（當(dāng)A＞１時(shí)）或縮短（當(dāng)０＜A＜１時(shí)）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變）而得到．從而，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的值域是［－A，A］，最大值是A，最小值是－A你能總結(jié)一下從正弦函數(shù)圖象出發(fā)，通過圖象變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)（A＞０，ω＞０）圖象的過程與方法嗎?一般地，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)（A＞０，ω＞０）的圖象，可以用下面的方法得到：先畫出函數(shù)y＝sinx的圖象；再把正弦曲線向左（或右）平移φ個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝sin(x＋φ)的圖象；然后把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?ω倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的圖象；最后把曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍（橫坐標(biāo)不變），這時(shí)的曲線就是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象典例解析例１畫出函數(shù)y=12sin（3x-π6）的簡(jiǎn)圖例2摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色．如圖5.6.9，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120ｍ，轉(zhuǎn)盤直徑為110ｍ，設(shè)置有48個(gè)座艙，開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周大約需要30min．（１）游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動(dòng)tmin后距離地面的高度為Hｍ，求在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，H關(guān)于t的函數(shù)解析式；（２）求游客甲在開始轉(zhuǎn)動(dòng)５min后距離地面的高度；（３）若甲、乙兩人分別坐在兩個(gè)相鄰的座艙里，在運(yùn)行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差h（單位：ｍ）關(guān)于t的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值（精確到０．１）1．函數(shù)y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋\f(π,4)))的振幅和周期分別為()A．3,4B．3，eq\f(π,2)C.eq\f(π,2)，4D.eq\f(π,2)，32．將函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得圖象向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位，則所得函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式為()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))C．y＝sineq\f(1,2)xD．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,6)))3．已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最大值是3，最小正周期是eq\f(2π,7)，初相是eq\f(π,6)，則這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式是()A．y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7x－\f(π,6)))B．y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7x＋\f(π,6)))C．y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7x＋\f(π,42)))D．y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7x－\f(π,42)))4．函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))圖象的一條對(duì)稱軸是____．(填序號(hào))①x＝－eq\f(π,2)；②x＝0；③x＝eq\f(π,6)；④x＝－eq\f(π,6).5．已知函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，x∈R.(1)寫出函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸方程、對(duì)稱中心的坐標(biāo)及單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值.1.由學(xué)生自己回顧總結(jié)本節(jié)課探究的知識(shí)與方法,以及對(duì)三角函數(shù)圖象及三角函數(shù)解析式的新的認(rèn)識(shí),使本節(jié)的總結(jié)成為學(xué)生凝練提高的平臺(tái).2.教師強(qiáng)調(diào)本節(jié)課借助于計(jì)算機(jī)討論并畫出y=Asin(ωx+π3)的圖象,并分別觀察參數(shù)φ、ω、A對(duì)函數(shù)圖象變化的影響,同時(shí)通過具體函數(shù)的圖象的變化,領(lǐng)會(huì)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、特殊到一般的化歸思想.參考答案：知識(shí)梳理學(xué)習(xí)過程例１解：先畫出函數(shù)y=sinx的圖象；再把正弦曲線向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象；然后使曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?3倍，得到函數(shù)的圖象；最后把曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模脖?，這時(shí)的曲線就是函數(shù)y=12sin（3x-π6）的圖象，如圖5.6.7下面用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)y=12sin（3x-π6）在一個(gè)周期（T=2π3令X＝3x-π6，則x＝13（X+π6）列表（表5.6.1），描點(diǎn)畫圖（圖例2分析：摩天輪上的座艙運(yùn)動(dòng)可以近似地看作是質(zhì)點(diǎn)在圓周上做勻速旋轉(zhuǎn)．在旋轉(zhuǎn)過程中，游客距離地面的高度犎呈現(xiàn)周而復(fù)始的變化，因此可以考慮用三角函數(shù)來刻畫．解：如圖5.6.10，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點(diǎn)P，以軸心O為原點(diǎn)，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．（１）設(shè)t=0

min時(shí)，游客甲位于點(diǎn)P（0，-55），以O(shè)P為終邊的角為-π2；根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周大約需要30

min

，可知座艙轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度約為π15πrad／由題意可得H=55sin（π15t-π2）+65（２）當(dāng)t＝５時(shí)，H=55sin（π15×5-π所以，游客甲在開始轉(zhuǎn)動(dòng)5min后距離地面的高度約為37.5ｍ．（３）如圖5.6.10,甲、乙兩人的位置分別用點(diǎn)A,B表示，則∠AOB＝2π48＝π24經(jīng)過t

min后甲距離地面的高度為H1=55sin（π15t-π2點(diǎn)B相對(duì)于點(diǎn)A始終落后π24rad，此時(shí)乙距離地面的高度為H2=55sin（π15t-13π24則甲、乙距離地面的高度差h=H1=55sin（利用sinθ+sinφ=2sinθ+φ2cosθ-φ2，可得當(dāng)π15t-π48=π2（或3π2），即t≈7.8（或22.8）時(shí)，所以，甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值約為7.2ｍ．三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．【解析】由于函數(shù)y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋\f(π,4)))，∴振幅是3，周期T＝eq\f(2π,\f(π,2))＝4.【答案】A2．【解析】函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，得y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))的圖象，再將此圖象向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位，得y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,6)))的圖象，選D.【答案】D3．【解析】由已知得A＝3，T＝eq