2020高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 2.2 線性規(guī)劃的應(yīng)用練習(xí)（含解析）5

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE19-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第25課時(shí)線性規(guī)劃的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一利用線性規(guī)劃求變量的取值范圍1．如圖所示,目標(biāo)函數(shù)z＝kx－y的可行域?yàn)樗倪呅蜲ABC，點(diǎn)B（3，2）是目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解,則k的取值范圍為（)A．eq\f(2,3)，2B．1,eq\f（5，3)C．－2，－eq\f（2，3）D．－3,－eq\f(4,3）答案C解析y＝kx－z．若k＞0，則目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是點(diǎn)A（4，0)或點(diǎn)C（0，4），不符合題意．∴k＜0，∵點(diǎn)（3,2）是目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解．∴kAB〈k<kBC,即－2<k〈－eq\f(2，3）．2．已知－1<x＋y〈4且2<x－y<3,則z＝2x－3y的取值范圍是________（答案用區(qū)間表示)．答案(3,8）解析作出不等式組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（－1〈x＋y<4,,2<x－y〈3）)表示的可行域,如右圖中陰影部分所示．在可行域內(nèi)平移直線2x－3y＝0,當(dāng)直線經(jīng)過x－y＝2與x＋y＝4的交點(diǎn)A(3,1)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)有最小值,zmin＝2×3－3×1＝3；當(dāng)直線經(jīng)過x＋y＝－1與x－y＝3的交點(diǎn)B(1，－2)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)有最大值，zmax＝2×1＋3×2＝8．所以z∈(3，8)．知識(shí)點(diǎn)二線性規(guī)劃實(shí)際應(yīng)用3．某公司計(jì)劃在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過300分鐘的廣告,且廣告總費(fèi)用不超過9萬元，甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘,已知甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)每分鐘所做的廣告能給該公司帶來的收益分別為0．3萬元和0．2萬元．設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元，則線性目標(biāo)函數(shù)為（)A．z＝x＋yB．z＝3000x＋2000yC．z＝200x＋500yD．z＝500x＋200y答案B解析因?yàn)榧?、乙兩個(gè)電視臺(tái)每分鐘做的廣告帶來的收益分別為3000元和2000元，所以線性目標(biāo)函數(shù)為z＝3000x＋2000y．故選B．4．某公司有60萬元資金,計(jì)劃投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目,按要求對項(xiàng)目甲的投資不小于對項(xiàng)目乙投資的eq\f(2,3)倍，且對每個(gè)項(xiàng)目的投資不能低于5萬元,對項(xiàng)目甲每投資1萬元可獲得0．4萬元的利潤，對項(xiàng)目乙每投資1萬元可獲得0．6萬元的利潤,該公司正確規(guī)劃投資后，在這兩個(gè)項(xiàng)目上共可獲得的最大利潤為()A．36萬元B．31．2萬元C．30．4萬元D．24萬元答案B解析設(shè)投資甲項(xiàng)目x萬元,投資乙項(xiàng)目y萬元，可獲得利潤為z萬元，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤60，，x≥\f(2,3)y,,x≥5，，y≥5，））z＝0．4x＋0．6y．作出可行域如圖所示：由圖象知，目標(biāo)函數(shù)z＝0．4x＋0．6y在A點(diǎn)取得最大值．∴ymax＝0．4×24＋0．6×36＝31．2（萬元)．5．某加工廠用某原料由甲車間加工出A產(chǎn)品,由乙車間加工出B產(chǎn)品,甲車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)10小時(shí)，可加工出7千克A產(chǎn)品，每千克A產(chǎn)品獲利40元，乙車間加工一箱原料耗費(fèi)工時(shí)6小時(shí)，可加工出4千克B產(chǎn)品,每千克B產(chǎn)品獲利50元．甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙兩車間耗費(fèi)工時(shí)總和不得超過480小時(shí)，甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產(chǎn)計(jì)劃為()A．甲車間加工原料10箱,乙車間加工原料60箱B．甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱C．甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱D．甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱答案B解析設(shè)甲車間加工原料x箱，乙車間加工原料y箱，由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤70,，10x＋6y≤480，,x≥0，，y≥0.）)甲、乙兩車間每天總獲利為z＝280x＋200y．畫出可行域如圖所示．點(diǎn)M（15，55)為直線x＋y＝70和直線10x＋6y＝480的交點(diǎn)，由圖象知在點(diǎn)M（15，55）處z取得最大值．6．醫(yī)院用甲、乙兩種原料為手術(shù)后的病人配營養(yǎng)餐．甲種原料每10g含5單位蛋白質(zhì)和10單位鐵質(zhì)，售價(jià)3元；乙種原料每10g含7單位蛋白質(zhì)和4單位鐵質(zhì)，售價(jià)2元．若病人每餐至少需要35單位蛋白質(zhì)和40單位鐵質(zhì)．試問：應(yīng)如何使用甲、乙原料，才能既滿足營養(yǎng)，又使費(fèi)用最省?解將已知數(shù)據(jù)列成下表：原料/10g蛋白質(zhì)/單位鐵質(zhì)/單位甲510乙74費(fèi)用32設(shè)甲、乙兩種原料分別用10xg和10yg，總費(fèi)用為z，那么eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋7y≥35，,10x＋4y≥40，,x≥0，,y≥0，)）目標(biāo)函數(shù)為z＝3x＋2y,作出可行域如圖所示：把z＝3x＋2y變形為y＝－eq\f（3,2）x＋eq\f（z,2)，得到斜率為－eq\f(3,2)，在y軸上的截距為eq\f(z，2）,隨z變化的一族平行直線．由圖可知,當(dāng)直線y＝－eq\f（3，2）x＋eq\f（z，2)經(jīng)過可行域上的點(diǎn)A時(shí)，截距eq\f（z,2）最小，即z最?。蒭q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（10x＋4y＝40，，5x＋7y＝35，））得Aeq\f(14，5）,3,∴zmin＝3×eq\f（14，5）＋2×3＝14．4．∴甲種原料eq\f（14,5)×10＝28(g)，乙種原料3×10＝30（g），費(fèi)用最?。?．某人上午7點(diǎn)，乘摩托艇以勻速vkm/h(8≤v≤40）從A港出發(fā)到距A港100km的B港去，然后乘汽車以勻速wkm/h(30≤w≤100）自B港向距B港300km的C市駛?cè)?在同一天下午4至9點(diǎn)到達(dá)C市．設(shè)乘汽車、摩托艇去目的地所需要的時(shí)間分別是xh，yh．(1）作圖表示滿足上述條件的x，y的范圍;（2)如果已知所需的經(jīng)費(fèi)p＝100＋3（5－x)＋2(8－y）（元）,那么當(dāng)v，w分別是多少時(shí)p最小?此時(shí)需花費(fèi)多少元?解(1）依題意得y＝eq\f(100，v),x＝eq\f（300，w),8≤v≤40，30≤w≤100，∴3≤x≤10,eq\f（5,2)≤y≤eq\f（25,2），①由于乘汽車、摩托艇所需的時(shí)間和x＋y應(yīng)在9至14個(gè)小時(shí)之間，即9≤x＋y≤14,②因此，滿足①②的點(diǎn)（x，y)的存在范圍是圖中陰影部分（包括邊界）．（2)∵p＝100＋3(5－x）＋2(8－y)＝131－3x－2y,上式表示斜率為－eq\f（3，2)的直線，當(dāng)動(dòng)直線p＝131－3x－2y通過陰影部分區(qū)域（包括邊界）中的點(diǎn)A時(shí)，p最小．由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋y＝14,,x＝10，)）得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝10,,y＝4，）)即當(dāng)x＝10,y＝4時(shí)，p最小．此時(shí)，v＝25，w＝30，需花費(fèi)93元．易錯(cuò)點(diǎn)忽略線性規(guī)劃應(yīng)用的實(shí)際意義8．某人有一幢樓房，室內(nèi)面積共180m2,擬分隔成兩類房間作為旅游客房．大客房每間面積為18m2,可住游客5名，每名游客每天住宿費(fèi)為40元;小房間每間面積為15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿費(fèi)為50元．裝修大房間每間需1000元，裝修小房間每間需600元．如果他只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿客房,他應(yīng)隔出大房間和小房間各多少間，才能獲得最大收益？易錯(cuò)分析本題易忽略了x，y的實(shí)際意義而錯(cuò)解為當(dāng)直線4x＋3y＝0平移到經(jīng)過點(diǎn)Beq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（20，7），\f(60,7）))時(shí)，z取得最大值．解設(shè)他應(yīng)隔出大房間x間,小房間y間，能獲得收益為z元，由題意可知eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（18x＋15y≤180，,1000x＋600y≤8000，，x，y∈N，)）即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（6x＋5y≤60，，5x＋3y≤40，,x,y∈N,）)目標(biāo)函數(shù)為z＝200x＋150y,畫出可行域，如圖陰影部分中的整點(diǎn)．作直線4x＋3y＝0，平移到經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，z取得最大值，但Beq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(20，7），\f(60,7)))并非整點(diǎn)，還需要在可行域內(nèi)找出使目標(biāo)函數(shù)z取得最大值的整點(diǎn)．由于Beq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（20，7)，\f(60，7)))，利用B附近的網(wǎng)格，可在B附近找到A(2，9)，C(2,8)，D（3,8)這幾個(gè)整點(diǎn)．此時(shí)還必須從中選出一個(gè)最適合的點(diǎn)：z1＝8＋27＝35,z2＝8＋24＝32，z3＝12＋24＝36．故在直線平移過程中，必后過D點(diǎn)，因此A，C兩點(diǎn)被淘汰，過點(diǎn)D作直線4x＋3y＝36，利用網(wǎng)格知(0,12），（3,8)為最優(yōu)整數(shù)解．所以他應(yīng)隔出大房間0間、小房間12間或大房間3間、小房間8間，可以獲得最大收益．一、選擇題1．設(shè)點(diǎn)P（x，y)，其中x,y∈N,滿足x＋y≤3的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為()A．10B．9C．3D．無數(shù)個(gè)答案A解析當(dāng)x＝0時(shí)，y可取0，1,2，3有4個(gè)點(diǎn)；當(dāng)x＝1時(shí)，y可取0，1，2有3個(gè)點(diǎn);當(dāng)x＝2時(shí)，y可取0，1有2個(gè)點(diǎn);當(dāng)x＝3時(shí)，y可取0，有1個(gè)點(diǎn)；故共有10個(gè)點(diǎn)．選A．2．某學(xué)校用800元購買A，B兩種教學(xué)用品，A種用品每件100元，B種用品每件160元，兩種用品至少各買一件，要使剩下的錢最少，A,B兩種用品應(yīng)各買的件數(shù)為（）A．2件,4件B．3件，3件C．4件，2件D．不確定答案B解析設(shè)買A種用品x件，B種用品y件，剩下的錢為z元，則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（100x＋160y≤800，，x≥1，,y≥1，，x，y∈N＊，）)求z＝800－100x－160y取得最小值時(shí)的整數(shù)解（x，y)，用圖解法(如圖)求得整數(shù)解為（3，3）．故選B．3．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，1)(a＞0)，點(diǎn)N(x，y)的坐標(biāo)x，y滿足不等式組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋2y－3≤0，，x＋3y－3≥0，，y≤1。)）若當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝3，，y＝0））時(shí)，eq\o（OM,\s\up6（→））·eq\o（ON，\s\up6（→))取得最大值，則a的取值范圍是（）A．0，eq\f(1，3）B．eq\f（1,3)，＋∞C．0,eq\f(1,2）D．eq\f(1,2),＋∞答案D解析作出不等式組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋2y－3≤0，，x＋3y－3≥0，,y≤1))所表示的可行域如圖，由目標(biāo)函數(shù)eq\o(OM，\s\up6(→））·eq\o(ON,\s\up6(→))＝(a,1）·（x，y）＝ax＋y所表示的斜率為－a的平行直線系僅過點(diǎn)A（3，0)時(shí)，取得最大值可得－a＜kAB＝－eq\f（1，2),解得a＞eq\f(1,2)．故選D．4．某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料．已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需原料及每天原料的可用限額如下表所示．如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得的最大利潤為（）甲乙原料限額A(噸）3212B(噸）128A．12萬元B．16萬元C．17萬元D．18萬元答案D解析設(shè)生產(chǎn)甲x噸、乙y噸，則有目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋4y，依題意得約束條件為eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（3x＋2y≤12，,x＋2y≤8，，x≥0，，y≥0，）)由此可得可行域如圖中陰影部分所示,由y＝－eq\f(3，4)x＋eq\f(z,4）可得，當(dāng)過點(diǎn)（2,3)時(shí)，利潤可取得最大值,zmax＝3×2＋4×3＝18（萬元）．故選D．5．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足3≤xy2≤8，4≤eq\f（x2,y）≤9，則eq\f(x3,y4）的最大值是（）A．24B．27C．42D．72答案B解析令xy2＝X，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（x2,y)）)2＝Y(jié)，則z＝eq\f（x3,y4）＝eq\f（Y,X）．問題轉(zhuǎn)化為：已知實(shí)數(shù)X，Y滿足eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（3≤X≤8，，16≤Y≤81，））求z＝eq\f（Y，X）的最大值．作出可行域(圖略）,z＝eq\f（Y，X）＝eq\f(Y－0,X－0）表示可行域內(nèi)的點(diǎn)P（X,Y）與坐標(biāo)原點(diǎn)O(0，0）連線的斜率，即求斜率的最大值．當(dāng)點(diǎn)P（X，Y)位于點(diǎn)(3,81)時(shí)，斜率最大，為eq\f（81－0，3－0)＝27．所以zmax＝27，即eq\f（x3，y4）的最大值是27．故選B．二、填空題6．某廠擬用集裝箱托運(yùn)甲、乙兩種貨物，集裝箱的體積、重量、可獲利潤和托運(yùn)能力等限制數(shù)據(jù)列在下表中，那么為了獲得最大利潤，甲、乙兩種貨物應(yīng)各托運(yùn)的箱數(shù)為________．貨物體積(m3/箱）重量（50kg/箱）利潤（百元/箱)甲5220乙4510托運(yùn)限制2413答案4,1解析設(shè)甲、乙兩種貨物應(yīng)各托運(yùn)的箱數(shù)為x，y,則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（5x＋4y≤24,，2x＋5y≤13，,x∈N，，y∈N。））目標(biāo)函數(shù)z＝20x＋10y，畫出可行域如圖．由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2x＋5y＝13，，5x＋4y＝24，)）得A（4，1)．易知當(dāng)直線2x＋y＝0平移經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值．7．某工廠有甲、乙兩種產(chǎn)品，按計(jì)劃每天各生產(chǎn)不少于15噸，已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1噸需煤9噸，電力4千瓦，勞動(dòng)力3個(gè)(按工作日計(jì)算)；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1噸需煤4噸,電力5千瓦，勞動(dòng)力10個(gè)；甲產(chǎn)品每噸價(jià)7萬元,乙產(chǎn)品每噸價(jià)12萬元；但每天用煤量不得超過300噸，電力不得超過200千瓦，勞動(dòng)力只有300個(gè)，當(dāng)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品________噸，乙產(chǎn)品________噸時(shí)，既能保證完成生產(chǎn)任務(wù)，又能使工廠每天的利潤最大．答案2024解析設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，乙產(chǎn)品y噸，總利潤為S萬元，依題意約束條件為：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（9x＋4y≤300，,4x＋5y≤200，,3x＋10y≤300，，x≥15，,y≥15，）)目標(biāo)函數(shù)為S＝7x＋12y．作出可行域如圖所示：從圖中可以看出，當(dāng)直線S＝7x＋12y經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線的縱截距最大,所以S也取最大值．解方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋5y－200＝0，，3x＋10y－300＝0，）)得A(20，24），故當(dāng)x＝20，y＝24時(shí)，Smax＝7×20＋12×24＝428(萬元）．8．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a5∈[1，4]，a6∈[2，3]，則S6的取值范圍是________．答案［－12，42]解析設(shè){an}的公差為d，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（1≤a1＋4d≤4，，2≤a1＋5d≤3.）)又S6＝6a1＋15d，以a1為橫坐標(biāo)，d為縱坐標(biāo)畫出可行域(圖略)，由圖可知－12≤S6≤42．三、解答題9．某人民商場為使銷售空調(diào)和冰箱獲得的總利潤達(dá)到最大，對即將出售的空調(diào)和冰箱相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)查，得出下表：問：該商場怎樣確定空調(diào)和冰箱的月供應(yīng)量,才能使總利潤最大?解設(shè)空調(diào)和冰箱月供應(yīng)量分別為x臺(tái)，y臺(tái)，月總利潤為z百元，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(30x＋20y≤300，，5x＋10y≤110，，x,y∈N*，)）z＝6x＋8y作可行域如圖,∵y＝－eq\f（3,4）x＋eq\f(z,8)．其截距為eq\f（z,8)，斜率為k＝－eq\f（3,4）．滿足－eq\f(5，10)＜|k|＜－eq\f(30,20),欲z最大，必eq\f（z，8）最大,此時(shí)，直線y＝－eq\f(3,4）x＋eq\f(z,8)，必過A點(diǎn)，由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（30x＋20y＝300，，5x＋10y＝110，，x，y∈N＊)）得A(4,9）．故x＝4,y＝9時(shí),zmax＝96（百元）．所以，空調(diào)的月供應(yīng)量為4臺(tái),冰箱的月供應(yīng)量為9臺(tái)時(shí),才能使總利潤最大，最大為9600元．10．某家具廠有方木料90m3,五合板600m2，準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售．已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料0．1m3，五合板2m2，生產(chǎn)每個(gè)書櫥需要方木料0．2m3，五合板1m2，出售一張書桌可獲利潤80元，出售一個(gè)書櫥可獲利潤120元．(1)如果只安排生產(chǎn)書桌,可獲利潤多少？(2）如果只安排生產(chǎn)書櫥，可獲利潤多少？（3)怎樣安排生產(chǎn)可使所得利潤最大？解（1）由題意可畫表格如下:方木料（m3）五合板(m2）利潤(元)書桌(個(gè)）0．1280書櫥（個(gè))0．2112