2020高中數(shù)學(xué) 第三章 直線與方程 .2.1 直線的點(diǎn)斜式方程學(xué)案（含解析）2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE17-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3.2.1直線的點(diǎn)斜式方程知識(shí)導(dǎo)圖學(xué)法指導(dǎo)1.明確直線的點(diǎn)斜式和斜截式方程的適用條件,注意斜率不存在的情形．2．體會(huì)截距與距離的區(qū)別與聯(lián)系．3．體會(huì)待定系數(shù)法在求直線方程中的應(yīng)用．4．借助直線的點(diǎn)斜式和斜截式方程來研究直線之間的關(guān)系，如平行、垂直等．高考導(dǎo)航1。由直線上一點(diǎn)和斜率求直線方程或由斜率和截距求直線方程是高考的常考點(diǎn)，分值5分．2．由直線方程求斜率和截距或判斷直線的位置關(guān)系也是常考題型,以選擇題、填空題為主,分值5分.知識(shí)點(diǎn)直線的點(diǎn)斜式、斜截式方程1．直線的點(diǎn)斜式方程和斜截式方程名稱點(diǎn)斜式斜截式已知條件點(diǎn)P（x0，y0)和斜率k斜率k和直線在y軸上的截距b圖示名稱點(diǎn)斜式斜截式方程y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b適用范圍斜率存在2.直線l在y軸上的截距定義：直線l與y軸交點(diǎn)（0,b)的縱坐標(biāo)b叫作直線l在y軸上的截距．經(jīng)過點(diǎn)P0(x0，y0)的直線有無數(shù)條，可以分為兩類：①斜率存在的直線，方程為y－y0＝k（x－x0）;②斜率不存在的直線，方程為x－x0＝0，或x＝x0。1．斜截式方程應(yīng)用的前提是直線的斜率存在．2．縱截距不是距離，它是直線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以可取一切實(shí)數(shù)，即可為正數(shù)、負(fù)數(shù)或零．[小試身手]1．判斷下列命題是否正確。(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)（1）直線y－3＝m(x＋1)恒過定點(diǎn)(－1，3）．(）(2)對(duì)于直線y＝2x＋3在y軸上截距為3.()（3）直線的點(diǎn)斜式方程也可寫成eq\f（y－y0，x－x0)＝k。（）答案：(1）√（2）√(3)×2．直線l經(jīng)過點(diǎn)P（2,－3），且傾斜角α＝45°，則直線的點(diǎn)斜式方程是（）A．y＋3＝x－2B．y－3＝x＋2C．y＋2＝x－3D．y－2＝x＋3解析：∵α＝45°，∴k＝tanα＝1，由點(diǎn)斜式得y＋3＝x－2。答案：A3．[2019·合肥一中課時(shí)檢測］已知直線的傾斜角為60°，在y軸上的截距為－2，則該直線的方程為（）A．y＝eq\r（3)x＋2B．y＝－eq\r（3）x＋2C．y＝－eq\r（3）x－2D．y＝eq\r（3)x－2解析：直線的傾斜角為60°，則斜率為tan60°＝eq\r（3），利用斜截式直接寫出方程,即y＝eq\r（3)x－2。答案：D4．直線方程為y＋2＝2x－2，則()A．直線過點(diǎn)（2，－2）,斜率為2B．直線過點(diǎn)(－2,2)，斜率為2C．直線過點(diǎn)(1，－2),斜率為eq\f（1,2）D．直線過點(diǎn)（1,－2)，斜率為2解析:把直線方程寫成點(diǎn)斜式方程：y－（－2)＝2·(x－1)，故直線過點(diǎn)（1,－2），斜率為2.答案:D類型一直線的點(diǎn)斜式方程例1根據(jù)下列條件寫出直線的方程：（1)經(jīng)過點(diǎn)A(－1，4),傾斜角為135°;（2)經(jīng)過點(diǎn)B(1，－2），且與y軸平行；（3)經(jīng)過點(diǎn)C（－1，2),且與x軸平行．【解析】(1）因?yàn)閮A斜角為135°，所以k＝tan135°＝－1，所以直線方程為y－4＝－（x＋1)，即x＋y－3＝0.(2)因?yàn)橹本€與y軸平行，所以傾斜角為90°,所以直線的斜率不存在，所以直線方程為x＝1.（3)因?yàn)橹本€與x軸平行,所以傾斜角為0°，所以y＝2。用點(diǎn)斜式求直線的方程，首先要確定直線的斜率和其上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)．注意在斜率存在的條件下，才能用點(diǎn)斜式方程表示直線．方法歸納求直線的點(diǎn)斜式方程的步驟［特別提醒］斜率不存在時(shí),過點(diǎn)P（x0，y0）的直線與x軸垂直，直線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等都為x0，故直線方程為x＝x0。跟蹤訓(xùn)練1求滿足下列條件的直線的點(diǎn)斜式方程．(1）過點(diǎn)P（－4，3)，斜率k＝－3;(2）過點(diǎn)P(3，－4），且與x軸平行；(3）過P(－2,3),Q(5，－4)兩點(diǎn)．解析:（1）∵直線過點(diǎn)P（－4,3），斜率k＝－3，∴由直線的點(diǎn)斜式方程得直線方程為y－3＝－3（x＋4)．(2）與x軸平行的直線，其斜率k＝0,由直線的點(diǎn)斜式方程可得直線方程為y－（－4）＝0×（x－3）．（3）過點(diǎn)P（－2,3），Q(5，－4)的直線的斜率kPQ＝eq\f（－4－3,5－－2)＝eq\f(－7，7)＝－1。又∵直線過點(diǎn)P(－2，3），∴直線的點(diǎn)斜式方程為y－3＝－（x＋2）．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，先確定所過定點(diǎn),再確定直線的斜率，然后代入公式求解．類型二直線的斜截式方程例2求下列直線的斜截式方程:（1）斜率為－4,在y軸上的截距為7；(2)在y軸上的截距為2，且與x軸平行；(3)求傾斜角為150°,與y軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為3的直線方程．【解析】(1)直線的斜率為k＝－4,在y軸上的截距b＝7,由直線的斜截式方程知，所求直線方程為y＝－4x＋7。（2）直線的斜率為k＝0，在y軸上的截距為b＝2，由直線的斜截式方程知，所求直線方程為y＝2.（3）直線的傾斜角為150°,所以斜率為k＝－eq\f（\r（3），3），因?yàn)橹本€與y軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為3，所以在y軸上的截距b＝3或b＝－3，故所求的直線方程為y＝－eq\f（\r(3)，3)x＋3或y＝－eq\f(\r(3）,3）x－3.結(jié)合截距的幾何意義→明晰各題中直線的截距→結(jié)合斜率寫出直線的斜截式方程方法歸納直線的斜截式方程的求解策略(1)用斜截式求直線方程，只要確定直線的斜率和截距即可，同時(shí)要特別注意截距和距離的區(qū)別．(2)直線的斜截式方程y＝kx＋b不僅形式簡單,而且特點(diǎn)明顯，k是直線的斜率，b是直線在y軸上的截距，只要確定了k和b的值，直線的圖象就一目了然．因此，在解決直線的圖象問題時(shí)，常通過把直線方程化為斜截式方程，利用k,b的幾何意義進(jìn)行判斷．跟蹤訓(xùn)練2根據(jù)條件寫出下列直線的斜截式方程．(1）斜率為2，在y軸上的截距是5；（2）傾斜角為150°，在y軸上的截距是－2；(3）傾斜角為60°,與y軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為3。解析:（1）由直線的斜截式方程可知，所求直線方程為y＝2x＋5.（2）∵傾斜角為150°,∴斜率k＝tan150°＝－eq\f（\r（3),3）.由斜截式方程可得y＝－eq\f(\r（3）,3)x－2。（3)∵直線的傾斜角為60°，∴其斜率k＝tan60°＝eq\r(3）,∵直線與y軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為3,∴直線在y軸上的截距b＝3或b＝－3。∴所求直線方程為y＝eq\r（3)x＋3或y＝eq\r（3）x－3。(1)直接利用斜截式寫出方程；（2)先求斜率，再用斜截式求方程；(3）截距有兩種情況，討論求解．類型三直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式的應(yīng)用例3已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(－2,3)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4，求直線l的方程．【解析】顯然，直線l與兩坐標(biāo)軸不垂直，否則不構(gòu)成三角形，設(shè)其斜率為k（k≠0），則直線l的方程為y－3＝k（x＋2)，令x＝0得y＝2k＋3；令y＝0得x＝－eq\f(3，k）－2，于是直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(2k＋3\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（3，k)－2）))）＝4，即（2k＋3）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(3，k)＋2))＝±8,若（2k＋3）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(3，k）＋2)）＝8，則整理得4k2＋4k＋9＝0，無解．若（2k＋3）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（3，k）＋2))＝－8，則整理得4k2＋20k＋9＝0，解得k＝－eq\f(1,2）或k＝－eq\f（9，2)，所以直線l的方程為x＋2y－4＝0或9x＋2y＋12＝0。首先確定直線的斜率是否存在，再得出直線的點(diǎn)斜式方程，最后利用面積求直線方程．方法歸納用斜率之前一定要說明斜率存在，否則就要分斜率存在和斜率不存在兩種情況進(jìn)行討論,這是一個(gè)非常典型的分類討論問題．跟蹤訓(xùn)練3已知斜率為2的直線l不過第四象限,且和兩坐標(biāo)軸圍成面積為4的三角形，求直線l的方程．解析：依題意，設(shè)直線l的方程為y＝2x＋b,又直線l不過第四象限,∴b≥0.對(duì)于直線l，令x＝0，則y＝b；令y＝0，則x＝－eq\f（b，2）。由已知,可得eq\f（1，2）·|b|·eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1（－\f(b,2）））＝4,即|b｜2＝16，∴b＝4（負(fù)值舍去)．故直線l的方程為y＝2x＋4。先設(shè)出直線的斜截式方程，再利用面積求截距.［基礎(chǔ)鞏固](25分鐘,60分)一、選擇題（每小題5分,共25分）1．方程y＝k（x－2)表示()A．通過點(diǎn)（2,0）的一切直線B．通過點(diǎn)（2,0）且不垂直于x軸的一切直線C．通過點(diǎn)（－2,0)的一切直線D．通過點(diǎn)（2,0)且除去x軸的一切直線解析:方程y＝k（x－2）表示的直線都過點(diǎn)(2,0)且存在斜率．故選B.答案：B2．斜率為－1，且在y軸上的截距為1的直線方程是（)A．x－y＋1＝0B．x＋y－1＝0C．x－y－1＝0D．x＋y＋1＝0解析：直線的斜截式方程為y＝－x＋1，即x＋y－1＝0。故選B。答案：B3．已知Meq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（3，\f(7,2)））,Neq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（2，\f（3,2））),則過點(diǎn)M和N的直線方程為()A．4x＋2y＝5B．4x－2y＝5C．x＋2y＝5D．x－2y＝5解析：因?yàn)橹本€過Meq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（3,\f(7，2）)），Neq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2,\f（3，2))），所以直線方程為y－eq\f(3，2)＝eq\f（\f(7,2)－\f(3,2)，3－2）(x－2），即4x－2y＝5，故選B。答案:B4．已知直線l的方程為y＋eq\f(27，4)＝eq\f（9，4)（x－1），則l在y軸上的截距為()A．9B．－9C.eq\f(27，4）D．－eq\f（27，4)解析：由已知方程得y＝eq\f（9,4）x－9，故直線l在y軸上的截距為－9。答案：B5．傾斜角為120°，在x軸上的截距為－1的直線方程是（)A.eq\r(3)x－y＋1＝0B。eq\r(3)x－y－eq\r（3）＝0C。eq\r（3）x＋y－eq\r（3）＝0D.eq\r（3）x＋y＋eq\r（3）＝0解析：由于傾斜角為120°,故斜率k＝－eq\r（3）.又直線過點(diǎn)（－1,0），所以方程為y＝－eq\r（3)（x＋1），即eq\r（3)x＋y＋eq\r(3）＝0.答案：D二、填空題（每小題5分，共15分）6．已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P（－2，5)，且斜率為－eq\f（3,4）,則直線l的方程為________．解析：由點(diǎn)斜式得y－5＝－eq\f（3,4)（x＋2），即y＝－eq\f(3，4）x＋eq\f(7，2).答案：y＝－eq\f（3，4)x＋eq\f（7，2)7．已知直線l的傾斜角α滿足3sinα＝cosα，且它在x軸上的截距為2，則直線l的方程是________．解析：由3sinα＝cosα，得tanα＝eq\f（1，3）,∴直線l的斜率為eq\f（1，3）.又直線l在x軸上的截距為2，∴直線l與x軸的交點(diǎn)為(2,0)，∴直線l的方程為y－0＝eq\f(1,3）（x－2），即y＝eq\f（1,3)x－eq\f(2,3)。答案：y＝eq\f(1，3)x－eq\f（2,3)8．若直線l的方程為y－a＝(a－1)（x＋2）,且l在y軸上的截距為6，則a＝________。解析：令x＝0得y＝(a－1）×2＋a＝6，得a＝eq\f（8,3)。答案：eq\f（8,3）三、解答題(每小題10分，共20分）9．根據(jù)條件寫出下列直線的點(diǎn)斜式方程：（1)經(jīng)過點(diǎn)A（－1，4)，傾斜角為60°；（2)經(jīng)過點(diǎn)B(4,2），傾斜角為90°；（3）經(jīng)過原點(diǎn)，傾斜角為60°；(4)經(jīng)過點(diǎn)D（－1，1），與x軸平行．解析：（1)直線斜率為tan60°＝eq\r(3）,所以直線方程為y－4＝eq\r(3）(x＋1）．（2)直線斜率不存在,直線垂直于x軸，所以所求直線方程為x＝4。（3）直線斜率為tan60°＝eq\r（3)，所以所求直線的方程為y＝eq\r（3）x。(4)直線斜率為0，所以直線方程為y＝1。10．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在第一象限，A(1，1），B（5，1),A＝45°，B＝45°，求:(1)AB所在直線的方程；（2)AC邊所在直線的方程．解析：根據(jù)已知條件，畫出示意圖如圖所示．（1)由題意知，直線AB平行于x軸，由A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)知,直線AB的方程為y＝1。(2)由題意知,直線AC的傾斜角等于45°,所以kAC＝tan45°＝1，又點(diǎn)A(1，1)，所以直線AC的方程為y－1＝1·(x－1)，即y＝x.［能力提升］（20分鐘，40分)11．已知k＋b＝0,k≠0,則直程y＝kx＋b的大致位置是()解析:方法一因?yàn)橹本€方程為y＝kx＋b,且k≠0,k＋b＝0，即k＝－b，所以令y＝0,得x＝－eq\f（b，k）＝1，所以直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0)．只有選項(xiàng)B中的圖象符合要求．方法二由直線方程為y＝kx＋b，可得直線的斜率為k，在y軸上的截距為b。因?yàn)閗＋b＝0，所以k＝－b，即直線的斜率與直線在y軸上的截距互為相反數(shù)．選項(xiàng)A中,k＋b>0，不符合要求；選項(xiàng)B中，k〉0,b<0，符合要求；選項(xiàng)C中，b＝0,不符合要求;選項(xiàng)D中,k<0，b<0,k＋b〈0,不符合要求．答案：B12．如果對(duì)任何實(shí)數(shù)k,直線（3＋k）x－2y＋1－k＝0都過一定點(diǎn)A，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)是________