2020高中數(shù)學(xué) 第十章 概率章末復(fù)習(xí)提升課學(xué)案 第二冊(cè)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE31-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精章末復(fù)習(xí)提升課互斥事件、對(duì)立事件的概率某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息,安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示．一次購(gòu)物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件以上顧客數(shù)（人）x3025y10結(jié)算時(shí)間（分鐘/人)11.522。53已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過(guò)8件的顧客占55％.(1）確定x，y的值，并估計(jì)顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值；（2)求一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘的概率．（將頻率視為概率）【解】（1）由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20。該超市所有顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所收集的100位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量為100的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間的平均值可用樣本平均數(shù)估計(jì)，其估計(jì)值為eq\f（1×15＋1.5×30＋2×25＋2。5×20＋3×10，100)＝1。9(分鐘)．（2)記A為事件“一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘”，A1,A2，A3分別表示事件“該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為1分鐘”“該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為1。5分鐘”“該顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間為2分鐘”．將頻率視為概率得P（A1)＝eq\f（15,100）＝eq\f（3,20)，P（A2）＝eq\f（30，100）＝eq\f（3,10）,P(A3）＝eq\f(25，100）＝eq\f(1,4）。因?yàn)锳＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事件，所以P（A)＝P（A1∪A2∪A3)＝P（A1）＋P（A2)＋P(A3)＝eq\f（3,20)＋eq\f(3,10）＋eq\f(1,4）＝eq\f(7，10)。故一位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間不超過(guò)2分鐘的概率為eq\f（7，10）.eq\a\vs4\al()（1）互斥事件與對(duì)立事件的概率計(jì)算①若事件A1,A2，…，An彼此互斥，則P(A1∪A2∪…∪An）＝P(A1）＋P(A2）＋…＋P(An）．②設(shè)事件A的對(duì)立事件是A，則P（A)＝1－P(A)．(2）求復(fù)雜事件的概率常用的兩種方法①將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和．②先求其對(duì)立事件的概率，然后再應(yīng)用公式P（A）＝1－P(A）求解．受轎車在保修期內(nèi)的維修費(fèi)等因素的影響,企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤(rùn)與該轎車首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān)，某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，甲品牌車保修期為3年,乙品牌車保修期為2年,現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌的轎車中分別隨機(jī)抽取50輛，統(tǒng)計(jì)出在保修期內(nèi)首次出現(xiàn)故障的車輛數(shù)據(jù)如下：品牌甲乙首次出現(xiàn)故障的時(shí)間x(年)0<x≤11<x≤22<x≤3x>30<x≤11〈x≤2x>2轎車數(shù)量（輛）213442345(1）從該廠生產(chǎn)的甲種品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；(2）從該廠生產(chǎn)的乙種品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率．(注：將頻率視為概率)解：(1)設(shè)A，B,C分別表示甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障在第1年，第2年和第3年之內(nèi)，設(shè)D表示甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障在保修期內(nèi)，因?yàn)锳，B，C是彼此互斥的，其概率分別為P(A)＝eq\f（2,50）＝eq\f（1,25）,P(B）＝eq\f(1，50），P(C)＝eq\f（3,50)，所以P（D)＝P（A∪B∪C）＝P（A)＋P（B)＋P(C)＝eq\f(3,25），即首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率為eq\f(3，25）。（2)乙品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率為eq\f（2＋3,50）＝eq\f(1，10).古典概型袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號(hào)分別為1,2,3；藍(lán)色卡片兩張，標(biāo)號(hào)分別為1，2。（1）從以上五張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率；（2）向袋中再放入一張標(biāo)號(hào)為0的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號(hào)之和小于4的概率．【解】(1)將標(biāo)號(hào)為1，2，3的三張紅色卡片分別記為A,B，C，標(biāo)號(hào)為1，2的兩張藍(lán)色卡片分別記為D，E。從這五張卡片中任取兩張的所有可能的結(jié)果為(A，B）,（A，C），(A，D）,(A，E)，（B,C)，（B，D)，（B，E），(C，D），(C，E)，(D，E），共10種．由于每一張卡片被取到的機(jī)會(huì)均等，因此這些樣本點(diǎn)的出現(xiàn)是等可能的．從這五張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號(hào)之和小于4的結(jié)果為（A，D），(A，E),（B,D）,共3種．所以這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號(hào)之和小于4的概率為eq\f(3，10).(2）將標(biāo)號(hào)為0的綠色卡片記為F。從這六張卡片中任取兩張的所有可能的結(jié)果為(A,B)，(A，C），(A,D)，(A，E)，（A，F(xiàn))，（B，C），(B，D），（B，E）,（B，F(xiàn))，（C，D)，（C，E），(C,F）,(D，E)，（D，F(xiàn))，(E，F(xiàn)），共15種．由于每一張卡片被取到的機(jī)會(huì)均等，因此這些樣本點(diǎn)的出現(xiàn)是等可能的．從這六張卡片中任取兩張，這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號(hào)之和小于4的結(jié)果為（A，D)，（A，E）,(A，F(xiàn))，（B，D)，（B，F(xiàn)），（C，F(xiàn))，(D，F(xiàn)），(E，F(xiàn))，共8種．所以這兩張卡片顏色不同且它們的標(biāo)號(hào)之和小于4的概率為eq\f（8，15).eq\a\vs4\al（)求解古典概型概率“四步”法甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教，其中甲校2男1女,乙校1男2女．（1)若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名,求選出的2名教師性別相同的概率；（2)若從報(bào)名的6名教師中任選2名，求選出的2名教師來(lái)自同一學(xué)校的概率．解:（1)從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，所有可能的結(jié)果為（甲男1,乙男）、(甲男2,乙男)、（甲男1，乙女1)、（甲男1，乙女2)、(甲男2，乙女1)、(甲男2，乙女2)、（甲女，乙女1)、(甲女，乙女2）、（甲女，乙男），共9種；選出的2名教師性別相同的結(jié)果有(甲男1，乙男)、（甲男2,乙男)、（甲女，乙女1)、（甲女,乙女2)，共4種，所以選出的2名教師性別相同的概率為eq\f(4，9).（2）從報(bào)名的6名教師中任選2名，所有可能的結(jié)果為（甲男1，乙男）、（甲男2，乙男)、（甲男1，乙女1）、（甲男1，乙女2）、（甲男2，乙女1)、(甲男2，乙女2）、（甲女，乙女1)、(甲女，乙女2）、(甲女，乙男)、(甲男1，甲男2）、（甲男1，甲女）、（甲男2，甲女）、（乙男，乙女1）、(乙男,乙女2)、（乙女1，乙女2)，共15種；選出的2名教師來(lái)自同一學(xué)校的所有可能的結(jié)果為（甲男1,甲男2）、（甲男1,甲女）、(甲男2，甲女)、（乙男，乙女1)、（乙男，乙女2)、（乙女1，乙女2），共6種，所以選出的2名教師來(lái)自同一學(xué)校的概率為eq\f（6,15)＝eq\f（2，5)。事件的相互獨(dú)立性計(jì)算機(jī)考試分理論考試與實(shí)際操作考試兩部分，每部分考試成績(jī)只記“合格”與“不合格",兩部分考試都“合格”者,則計(jì)算機(jī)考試“合格”并頒發(fā)“合格證書"．甲、乙、丙三人在理論考試中“合格”的概率依次為eq\f(4，5），eq\f（3,4)，eq\f(2,3)，在實(shí)際操作考試中“合格"的概率依次為eq\f（1,2)，eq\f（2，3),eq\f(5,6),所有考試是否合格相互之間沒(méi)有影響．（1）若甲、乙、丙三人同時(shí)進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試，則誰(shuí)獲得“合格證書”的可能性大？(2)求甲、乙、丙三人進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試后，恰有兩人獲得“合格證書"的概率．【解】（1)記“甲獲得‘合格證書’"為事件A，“乙獲得‘合格證書’”為事件B,“丙獲得‘合格證書'”為事件C，則P（A）＝eq\f（4,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,5），P（B）＝eq\f（3,4）×eq\f（2,3)＝eq\f（1，2)，P（C）＝eq\f（2,3)×eq\f(5，6)＝eq\f(5，9）,從而P（C）〉P（B)>P(A）,所以丙獲得“合格證書”的可能性大．(2）記“甲、乙、丙三人進(jìn)行理論與實(shí)際操作兩項(xiàng)考試后，恰有兩人獲得‘合格證書'”為事件D，則P(D）＝P(ABeq\o(C，\s\up6（－））)＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－)）C）＋P（eq\o（A，\s\up6(－））BC)＝eq\f(2,5)×eq\f(1，2)×eq\f（4,9）＋eq\f（2,5)×eq\f（1，2)×eq\f（5,9)＋eq\f（3,5）×eq\f(1，2)×eq\f(5，9)＝eq\f（11,30）。eq\a\vs4\al()利用相互獨(dú)立事件求復(fù)雜事件概率的解題思路(1)將待求復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥的簡(jiǎn)單事件的和．（2)將彼此互斥的簡(jiǎn)單事件中的簡(jiǎn)單事件,轉(zhuǎn)化為幾個(gè)已知（易求）概率的相互獨(dú)立事件的積事件．（3)代入概率的積、和公式求解．設(shè)每個(gè)工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別為0。6，0。5，0.5，0。4，各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立，則同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率為(）A．0.25 B．0。30C．0.31 D．0.35解析:選C。設(shè)甲、乙、丙、丁需使用設(shè)備分別為事件A，B，C，D，則P（A)＝0.6,P(B)＝0。5，P(C）＝0。5，P（D)＝0.4，所以同一工作日最少3人需使用設(shè)備的概率為P(ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD）＝0.6×0。5×0。5×0。6＋0。6×0。5×0.5×0。4＋0.6×0。5×0。5×0。4＋0。4×0。5×0。5×0。4＋0。6×0。5×0。5×0。4＝0。31.概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問(wèn)題某食品有限公司對(duì)生產(chǎn)的某種面包按行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)分成五個(gè)不同等級(jí)，等級(jí)系數(shù)X依次為A,B，C，D,E?，F(xiàn)從該種面包中隨機(jī)抽取20件樣品進(jìn)行檢驗(yàn),對(duì)其等級(jí)系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到頻率分布表如下：XABCDE頻率0。10.20。450.150.1從等級(jí)系數(shù)為A,D,E的樣品中一次性任取兩件(假定每件樣品被取出的可能性相同）．（1）求取出的兩件樣品是等級(jí)系數(shù)為A與D的概率；(2)求取出的兩件樣品是不同等級(jí)的概率．【解】(1)A級(jí)所取的樣品數(shù)為20×0.1＝2，D級(jí)所取的樣品數(shù)為20×0。15＝3，E級(jí)所取的樣品數(shù)為20×0.1＝2.將等級(jí)系數(shù)為A的2件樣品分別記為a1，a2；等級(jí)系數(shù)為D的3件樣品分別記為x1，x2，x3；等級(jí)系數(shù)為E的2件樣品分別記為y1,y2；現(xiàn)從a1，a2,x1，x2,x3,y1，y2這7件樣品中一次性任取兩件，共有21個(gè)不同的結(jié)果，分別為(a1，a2)，(a1，x1），(a1，x2)，（a1,x3），（a1，y1），(a1，y2)，(a2，x1)，(a2，x2)，(a2，x3),(a2，y1)，(a2,y2），(x1，x2）,(x1,x3)，（x1,y1），（x1,y2)，(x2,x3)，(x2,y1），(x2,y2），(x3，y1)，(x3，y2），(y1，y2）．記事件M為“取出的兩件樣品是等級(jí)系數(shù)為A與D”，則事件M所包含的樣本點(diǎn)有6個(gè)，分別為（a1，x1)，（a1,x2），(a1，x3），（a2，x1)，（a2,x2），（a2，x3）．所以事件M的概率P（M）＝eq\f（6，21)＝eq\f(2,7）。(2）法一：記事件N為“取出的兩件樣品是等級(jí)系數(shù)為A與E”，則事件N所包含的樣本點(diǎn)有4個(gè)，分別為（a1，y1），（a1，y2），(a2，y1）,(a2，y2)，所以事件N的概率P(N）＝eq\f（4，21)。記事件Q為“取出的兩件樣品是等級(jí)系數(shù)為D與E”,則事件Q所包含的樣本點(diǎn)有6個(gè),分別為（x1，y1)，（x1，y2），（x2,y1)，（x2,y2），(x3，y1），（x3，y2），所以事件Q的概率P（Q）＝eq\f（6，21）＝eq\f（2,7)。因?yàn)槭录﨧，N，Q為互斥事件，所以取出的兩件樣品是不同等級(jí)的概率為P(M∪N∪Q）＝P（M)＋P（N)＋P（Q）＝eq\f（16，21）。法二：記事件L為“取出的兩件樣品是不同等級(jí)”，則事件eq\o(L，\s\up6(－))為“取出的兩件樣品是同等級(jí)”，所以事件eq\o（L，\s\up6(－))所含的樣本點(diǎn)有5種，分別為（a1，a2），（x1，x2），(x1，x3），(x2，x3），(y1,y2)，所以事件eq\o(L，\s\up6(－）)的概率P(eq\o（L,\s\up6(－)))＝eq\f（5,21），所以P（L）＝1－P（eq\o（L,\s\up6(－）)）＝1－eq\f（5,21)＝eq\f（16，21),即取出的兩件樣品是不同等級(jí)的概率為eq\f(16,21）。eq\a\vs4\al(）解決概率與統(tǒng)計(jì)綜合問(wèn)題應(yīng)注意的問(wèn)題在解決此類綜合問(wèn)題時(shí)，應(yīng)對(duì)圖表進(jìn)行觀察、分析、提煉,挖掘出圖表所給予的有用信息，排除無(wú)關(guān)數(shù)據(jù)的干擾，進(jìn)而抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，達(dá)到求解的目的．某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元）,繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況,得到如下統(tǒng)計(jì)表：出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010（1)記A為事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”．求P(A）的估計(jì)值；（2）記B為事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160％”．求P（B）的估計(jì)值；(3）求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值．解：(1)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2。由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2的頻率為eq\f(60＋50，200)＝0.55，故P（A）的估計(jì)值為0。55。(2)事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4。由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4的頻率為eq\f（30＋30，200)＝0.3，故P（B)的估計(jì)值為0.3.(3）由所給數(shù)據(jù)得保費(fèi)0.85aa1.25a1。5a1。75a2a頻率0.300。250。150.150。100.05調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費(fèi)為0．85a×0。30＋a×0。25＋1.25a×0。15＋1.5a×0。15＋1。75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a。因此，續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值為1。1925a.,1．(2019·福建省師大附中期中考試)袋中裝有黑、白兩種顏色的球各三個(gè)，現(xiàn)從中取出兩個(gè)球．設(shè)事件P表示“取出的都是黑球”；事件Q表示“取出的都是白球”;事件R表示“取出的球中至少有一個(gè)黑球"，則下列結(jié)論正確的是（)A．P與R是互斥事件B．P與Q是對(duì)立事件C．Q和R是對(duì)立事件D．Q和R是互斥事件,但不是對(duì)立事件解析:選C。袋中裝有黑、白兩種顏色的球各三個(gè)，現(xiàn)從中取出兩個(gè)球，取球的方法共有如下幾類:①取出的兩球都是黑球;②取出的兩球都是白球；③取出的球一黑一白．事件R包括①③兩類情況，所以事件P是事件R的子事件，故A不正確;事件Q與事件R互斥且對(duì)立，所以選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D不正確；事件P與事件Q互斥,但不是對(duì)立事件,所以選項(xiàng)B不正確．故選C.2．甲、乙兩顆衛(wèi)星同時(shí)獨(dú)立的監(jiān)測(cè)臺(tái)風(fēng)．在同一時(shí)刻，甲、乙兩顆衛(wèi)星準(zhǔn)確預(yù)報(bào)臺(tái)風(fēng)的概率分別為0。8和0。75，則在同一時(shí)刻至少有一顆衛(wèi)星預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率為()A．0。95 B．0.6C．0.05 D．0.4解析:選A。法一：在同一時(shí)刻至少有一顆衛(wèi)星預(yù)報(bào)準(zhǔn)確可分為：①甲預(yù)報(bào)準(zhǔn)確，乙預(yù)報(bào)不準(zhǔn)確；②甲預(yù)報(bào)不準(zhǔn)確，乙預(yù)報(bào)準(zhǔn)確;③甲預(yù)報(bào)準(zhǔn)確，乙預(yù)報(bào)準(zhǔn)確．這三個(gè)事件彼此互斥，故至少有一顆衛(wèi)星預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率為0。8×(1－0。75）＋(1－0。8）×0。75＋0。8×0.75＝0.95.法二：“在同一時(shí)刻至少有一顆衛(wèi)星預(yù)報(bào)準(zhǔn)確”的對(duì)立事件是“在同一時(shí)刻兩顆衛(wèi)星預(yù)報(bào)都不準(zhǔn)確"，故至少有一顆衛(wèi)星預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率為1－(1－0.8）×（1－0。75）＝0。95.3．（2019·江西省上饒市期末統(tǒng)考)甲、乙兩位同學(xué)玩游戲,對(duì)于給定的實(shí)數(shù)a1，按下列方法操作一次產(chǎn)生一個(gè)新的實(shí)數(shù)：由甲、乙同時(shí)各擲一枚均勻的硬幣，如果出現(xiàn)兩個(gè)正面朝上或兩個(gè)反面朝上，則把a(bǔ)1乘以2后再減去6；如果出現(xiàn)一個(gè)正面朝上，一個(gè)反面朝上，則把a(bǔ)1除以2后再加上6，這樣就可得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)a2，對(duì)實(shí)數(shù)a2仍按上述方法進(jìn)行一次操作,又得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)a3，當(dāng)a3>a1時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝,若甲勝的概率為eq\f（3，4)，則a1的取值范圍是________．解析:由題意可知，進(jìn)行兩次操作后，可得如下情況:當(dāng)a3＝2（2a1－6)－6＝4a1－18,其出現(xiàn)的概率為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）））eq\s\up12(2)＝eq\f（1，4），當(dāng)a3＝eq\f（1，2）(2a1－6）＋6＝a1＋3,其出現(xiàn)的概率為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）））eq\s\up12（2）＝eq\f（1，4）,當(dāng)a3＝2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(a1,2）＋6)）－6＝a1＋6,其出現(xiàn)的概率為eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，2）))eq\s\up12(2)＝eq\f（1,4），當(dāng)a3＝eq\f（1,2）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(a1,2)＋6））＋6＝eq\f（a1,4)＋9,其出現(xiàn)的概率為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2））)eq\s\up12（2)＝eq\f(1,4），因?yàn)榧撰@勝的概率為eq\f（3，4），即a3>a1的概率為eq\f(3，4）,則滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（4a1－18≤a1，\f（a1,4）＋9〉a1)）或eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（4a1－18〉a1，\f（a1,4)＋9≤a1)），整理得a1≤6或a1≥12。答案：(－∞，6]∪［12,＋∞)4．（2019·廣東省惠州市期末考試）2019年4月23日“世界讀書日”來(lái)臨之際，某校為了了解中學(xué)生課外閱讀情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，并獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的數(shù)據(jù)，按閱讀時(shí)間分組：第一組[0，5),第二組[5，10），第三組［10，15)，第四組[15,20),第五組［20,25］，繪制了頻率分布直方圖如圖所示．已知第三組的頻數(shù)是第五組頻數(shù)的3倍．(1)求a的值，并根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該校學(xué)生一周課外閱讀時(shí)間的平均值；（2）現(xiàn)從第三、四、五這3組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6人參加校“中華詩(shī)詞比賽”．經(jīng)過(guò)比賽后,從這6人中隨機(jī)挑選2人組成該校代表隊(duì)，求這2人來(lái)自不同組別的概率．解：(1）由頻率分布直方圖可得第三組和第五組的頻率之和為1－（0。01＋0。07＋0。04）×5＝0.4，第三組的頻率為0.4×eq\f(3，1＋3)＝0.3，所以a＝eq\f（0.3，5)＝0.06.該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)x＝2。5×0。01×5＋7。5×0。07×5＋12。5×0。06×5＋17。5×0.04×5＋22。5×0.02×5＝12.25，所以可估計(jì)該校學(xué)生一周課外閱讀時(shí)間的平均值為12。25小時(shí)．(2）易得從第三、四、五組抽取的人數(shù)分別為3,2，1，設(shè)為A，B，C，D,E,F，則從該6人中選拔2人的樣本點(diǎn)有:(A，B），（A，C)，(A,D)，(A，E)，（A，F(xiàn))，（B,C）,（B，D），(B，E）,（B，F(xiàn))，(C，D），（C，E)，（C，F(xiàn))，（D，E），(D，F(xiàn)），(E，F(xiàn))，共15個(gè)，其中來(lái)自不同的組別的樣本點(diǎn)有:(A，D）,(A，E），(A，F(xiàn))，(B，D)，（B，E)，（B，F(xiàn)）,(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn)),（D,F），(E，F(xiàn))，共11個(gè)，所以這2人來(lái)自不同組別的概率為eq\f(11，15）。[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．老師為研究男女同學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的差異情況,對(duì)某班50名同學(xué)(其中男同學(xué)30名，女同學(xué)20名）采取分層隨機(jī)抽樣的方法，抽取一個(gè)容量為10的樣本進(jìn)行研究,則女同學(xué)甲被抽到的概率為（)A.eq\f(1，50) B.eq\f(1,10)C。eq\f(1，5) D。eq\f(1,4）解析：選C.因?yàn)樵诜謱与S機(jī)抽樣中，任何個(gè)體被抽到的概率均相等，所以女同學(xué)甲被抽到的概率P＝eq\f(10,50)＝eq\f(1,5)，故應(yīng)選C.2．由經(jīng)驗(yàn)得知，在人民商場(chǎng)付款處排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其概率如下：排隊(duì)人數(shù)012345人及以上概率0。110.160。30.290。10。04則至多有2人排隊(duì)的概率為(）A．0。3 B．0.43C．0.57 D．0.27解析：選C.記“沒(méi)有人排隊(duì)”為事件A，“1人排隊(duì)”為事件B，“2人排隊(duì)"為事件C，A、B、C彼此互斥．記“至多有2人排隊(duì)”為事件E，則P(E）＝P(A＋B＋C)＝P（A)＋P(B)＋P(C）＝0。11＋0.16＋0。3＝0.57。3．一個(gè)三位數(shù)的百位，十位，個(gè)位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)a〉b，b〈c時(shí)稱為“凹數(shù)"（如213，312等)，若a，b，c∈｛1,2，3，4｝，且a，b，c互不相同，則這個(gè)三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率是（)A。eq\f（1，6） B.eq\f(5,24)C.eq\f(1，3) D。eq\f(7，24)解析：選C.由1，2，3組成的三位數(shù)有123,132，213，231，312，321,共6個(gè)；由1，2，4組成的三位數(shù)有124，142，214,241,412，421，共6個(gè)；由1，3，4組成的三位數(shù)有134，143，314，341，413，431,共6個(gè)；由2，3，4組成的三位數(shù)有234，243，324，342,432，423，共6個(gè)．所以共有6＋6＋6＋6＝24個(gè)三位數(shù)．當(dāng)b＝1時(shí)，有214，213，314，412，312，413，共6個(gè)“凹數(shù)”;當(dāng)b＝2時(shí)，有324，423，共2個(gè)“凹數(shù)”．所以這個(gè)三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率P＝eq\f(6＋2,24）＝eq\f(1，3）.4．四個(gè)人圍坐在一張圓桌旁,每個(gè)人面前放著完全相同的一枚硬幣，所有人同時(shí)拋出自己的硬幣．若落在圓桌上時(shí)硬幣正面朝上，則這個(gè)人站起來(lái)；若硬幣正面朝下，則這個(gè)人繼續(xù)坐著．那么，沒(méi)有相鄰的兩個(gè)人站起來(lái)的概率為（)A。eq\f(1，4) B。eq\f(7,16）C.eq\f(1,2) D。eq\f（9，16）解析：選B。拋四枚硬幣，總的結(jié)果有16種，“沒(méi)有相鄰的兩個(gè)人站起來(lái)"記為事件A，可分為三類：一是沒(méi)有人站起來(lái)，只有1種結(jié)果:二是1人站起來(lái)，有4種結(jié)果；三是有2人站起來(lái),可以是AC或BD,有2種結(jié)果．所以滿足題意的結(jié)果共有1＋4＋2＝7種結(jié)果，P(A）＝eq\f(7,16）.故選B.5．某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級(jí),其中乙、丙兩級(jí)均屬次品，在正常生產(chǎn)情況下,出現(xiàn)乙級(jí)品和丙級(jí)品的概率分別是0.05和0。03，則抽檢一件是甲級(jí)品的概率為________．解析：記抽檢的產(chǎn)品是甲級(jí)品為事件A,是乙級(jí)品為事件B，是丙級(jí)品為事件C，這三個(gè)事件彼此互斥,因而所求概率為P（A）＝1－P(B）－P(C）＝0。92。答案：0。926．甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種，則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為________．解析：甲、乙的選擇方案有紅紅、紅白、紅藍(lán)、白紅、白白、白藍(lán)、藍(lán)紅、藍(lán)白、藍(lán)藍(lán)9種，其中顏色相同的有3種，所以所求概率為eq\f(3，9)＝eq\f(1，3).答案：eq\f（1,3)7．加工某一零件需經(jīng)過(guò)三道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為eq\f(1，70），eq\f(1,69)，eq\f(1,68),且各道工序互不影響，則加工出來(lái)的零件的次品率為________．解析：依題意得，加工出來(lái)的零件的正品率是eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－\f（1,70））)×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f（1,69)）)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f(1,68)))＝eq\f（67,70)，因此加工出來(lái)的零件的次品率是1－eq\f（67,70)＝eq\f（3，70)。答案：eq\f(3,70)8．設(shè)甲、乙、丙三個(gè)乒乓球協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為27,9，18?，F(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從三個(gè)協(xié)會(huì)中抽取6名運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加比賽．（1）求應(yīng)從這三個(gè)協(xié)會(huì)中分別抽取的運(yùn)動(dòng)員的人數(shù);(2)將抽取的6名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行編號(hào)，編號(hào)分別為A1，A2，A3，A4，A5，A6，現(xiàn)從這6名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人參加雙打比賽．(?。┯盟o編號(hào)列出所有可能的結(jié)果;（ⅱ）設(shè)A為事件“編號(hào)A5和A6的兩名運(yùn)動(dòng)員中至少有1人被抽到”，求事件A發(fā)生的概率．解：(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)協(xié)會(huì)中抽取的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為3，1,2。(2）(ⅰ)從6名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人參加雙打比賽的所有可能結(jié)果為（A1，A2）,(A1，A3)，(A1,A4)，（A1,A5)，（A1,A6),（A2，A3）,（A2，A4)，(A2，A5)，（A2，A6），（A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6），(A4，A5），(A4,A6)，(A5，A6），共15種．（ⅱ）編號(hào)為A5和A6的兩名運(yùn)動(dòng)員中至少有1人被抽到的所有可能結(jié)果為（A1,A5），（A1，A6）,（A2，A5），(A2，A6），(A3，A5)，（A3，A6），（A4,A5），(A4，A6),（A5，A6）,共9種．因此，事件A發(fā)生的概率P(A）＝eq\f(9,15)＝eq\f（3,5)。9．（2019·江西省臨川第一中學(xué)期末考試）某學(xué)校為了解其下屬后勤處的服務(wù)情況,隨機(jī)訪問(wèn)了50名教職工，根據(jù)這50名教職工對(duì)后勤處的評(píng)分情況,繪制頻率分布直方圖如圖所示,其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為［40，50)，[50，60)，…，[80，90),［90，100］．(1)估計(jì)該學(xué)校的教職工對(duì)后勤處評(píng)分的中位數(shù)(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后一位）；（2）從評(píng)分在［40,60）的受訪教職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人中至少有1人對(duì)后勤處評(píng)分在[50，60)內(nèi)的概率．解：（1）由頻率分布直方圖，可知（0。004＋a＋0。018＋0。022×2＋0.028）×10＝1，解得a＝0。006。設(shè)該學(xué)校的教職工對(duì)后勤處評(píng)分的中位數(shù)為x0，有（0。004＋0。006＋0.022）×10＋0。028·（x0－70)＝0。5,解得x0≈76。4(分）,故該學(xué)校的教職工對(duì)后勤處評(píng)分的中位數(shù)約為76.4。(2)由頻率分布直方圖可知，受訪教職工評(píng)分在[40，50)內(nèi)的人數(shù)為0。004×10×50＝2(人),受訪教職工評(píng)分在［50，60)內(nèi)的人數(shù)為0.006×10×50＝3（人)．設(shè)受訪教職工評(píng)分在［40，50)內(nèi)的兩人分別為a1，a2,在[50，60)內(nèi)的三人分別為b1,b2,b3,則從評(píng)分在[40,60）內(nèi)的受訪教職工中隨機(jī)抽取2人,其樣本點(diǎn)有(a1,a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3)，（a2,b1)，(a2，b2），(a2，b3)，(b1，b2），(b1，b3)，（b2，b3），共10個(gè)，其中2人評(píng)分至少有一人在［50，60）內(nèi)的樣本點(diǎn)有9個(gè)，故2人評(píng)分至少有1人在［50，60)內(nèi)的概率為eq\f(9，10）.[B能力提升］10．(2019·汕頭模擬)甲、乙兩人參加“社會(huì)主義價(jià)值觀”知識(shí)競(jìng)賽，甲、乙兩人獲得一等獎(jiǎng)的概率分別為eq\f（2,3）和eq\f（3，4），甲、乙兩人是否獲得一等獎(jiǎng)相互獨(dú)立，則這兩個(gè)人中恰有一人獲得一等獎(jiǎng)的概率為（)A。eq\f（3，4) B。eq\f（2,3)C.eq\f（5，7) D.eq\f(5,12)解析:選D.根據(jù)題意,恰有一人獲得一等獎(jiǎng)就是甲獲得乙沒(méi)有獲得或甲沒(méi)有獲得乙獲得，則所求概率是eq\f(2，3）×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1－\f（3，4）)）＋eq\f(3，4)×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(2，3）））＝eq\f(5，12）.故選D。11．若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機(jī)會(huì)均等，則甲或乙被錄用的概率為(）A.eq\f（2，3） B。eq\f(2,5)C.eq\f(3，5) D.eq\f（9,10)解析:選D。記事件A：甲或乙被錄用．從五人中錄用三人，樣本點(diǎn)有（甲,乙，丙）、(甲,乙，丁)、(甲,乙，戊）、(甲，丙，丁)、(甲，丙,戊）、(甲，丁，戊)、(乙,丙，丁)、（乙，丙,戊)、（乙,丁,戊）、（丙，丁，戊），共10個(gè)，而事件A的對(duì)立事件eq\o（A，\s\up6(－）)僅有(丙,丁，戊）一種可能,所以事件A的對(duì)立事件eq\o（A，\s\up6(－）)的概率為P（eq\o（A,\s\up6(－)))＝eq\f（1，10），所以P（A）＝1－P（eq\o（A，\s\up6(－）)）＝eq\f(9，10)。故選D.12．甲、乙分別從底為等腰直角三角形的直三棱柱的9條棱中任選一條,則這2條棱互相垂直的概率為（)A.eq\f（22，81) B。eq\f(37，81）C.eq\f（44，81) D.eq\f(59，81）解析：選C。由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是甲從這9條棱中任選一條,乙從這9條棱中任選一條，共有9×9＝81（種）結(jié)果，滿足條件的事件是這2條棱互相垂直，所有可能情況是當(dāng)甲選底面上的一條直角邊時(shí)，乙有5種選法，共有4條直角邊,則共有20種結(jié)果；當(dāng)甲選底面上的一條斜邊時(shí)，乙有3種選法，共有2條底面的斜邊,則共有6種情況；當(dāng)甲選一條側(cè)棱時(shí),乙有6種選法，共有3條側(cè)棱，則共有18種結(jié)果．綜上所述，共有20＋6＋18＝44（種）結(jié)果，故這2條棱互相垂直的概率是eq\f(44,81).13．（2019·廣東省東莞市調(diào)研測(cè)試)某電商在雙十一搞促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)滿5件獲得積分30分（不足5件不積分），每多買2件再積20分（不足2件不積分)，比如某顧客購(gòu)買了12件，則可積90分．為了解顧客積分情況，該電商在某天隨機(jī)抽取了1000名顧客，統(tǒng)計(jì)了當(dāng)天他們的購(gòu)物數(shù)額,并將樣本數(shù)據(jù)分為[3，5)，[5，7)，[7，9），[9，11），[11,13)，[13，15)，[15，17），[17，19)，［19,21]九組，整理得到如圖頻率分布直方圖．（1)求直方圖中a的值；(2）從當(dāng)天購(gòu)物數(shù)額在［13，15），［15，17）的顧客中按分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6人．那么，從這6人中隨機(jī)抽取2人，求這2人積分之和不少于240分的概率．解:(1)各組的頻率分別為0.04,0。06，2a，2a，6a，0。2,2a，0。