K清風(fēng)數(shù)學(xué)分析提綱

數(shù)學(xué)分析提綱數(shù)學(xué)分析提綱一、實(shí)數(shù)集與函數(shù)二、數(shù)列極限數(shù)列極限的概念收斂數(shù)列的性質(zhì)〔1〕(唯一性) 假設(shè)數(shù)列}收斂，那么它只有n一個(gè)極限．(2)(有界性) 假設(shè)數(shù)列}收斂，那么}為有界n n數(shù)列，即存在正數(shù)M，使得對(duì)一切正整數(shù)有|a M.n(3)(保號(hào)性) 假設(shè)liman n

a0 或<0)，那么對(duì)任何a0a) (或a

(a,0))，存在正數(shù)N，使得當(dāng)nN時(shí)有a a(或a a)．n n(4)(保不等式性) 設(shè)與均為收斂數(shù)列假設(shè)n n存在正數(shù)N ，使得當(dāng)nN 時(shí)，有a b0 0 n

，那么lima limb.n n n n(5)(迫斂性) 設(shè)收斂數(shù)列都以a為極限，數(shù)n n列滿足：n存在正數(shù)N當(dāng)nN時(shí)有a c0 0 斂，且limc a．n n數(shù)列極限存在的條件

b，那么數(shù)列c收n n〔1〕單調(diào)有界定理：在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限．〔2(Cauchy)

{a}n

收斂的

0

，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n,mN時(shí)有a an m

．三、函數(shù)極限函數(shù)極限的概念函數(shù)極限的性質(zhì)在§1中我們引入了下述六種類型的函數(shù)極限：limf2)limf3)limfx x x4)limf5)limf6)limfxx0

xx0

xx0下面以第4)種類型的極限為代表表達(dá)并證明這些性質(zhì).(1)limfx存在,那么此極限是唯一的.

xx0(2)limfxfxx在的某空心領(lǐng)域0 x U00

內(nèi)有界 0(3)limfxA0(或0),xx

rA(或

0),存在

U0使0

xU0x有0

f

r0

f

r0).定理3.5(保不等式性)設(shè)limfx 與xx0limg(x)xx

都存在,且在某鄰域

U0(x0

;

f

gx,0

limxx

x

limxx

x

3.60迫斂性)

limxx

x

lim0xx0

x

且在某U0;

f

gx

,

lim

A.0 xx定理3.7(四那么運(yùn)算法那

)假設(shè)極limfxlimgxfg,fg當(dāng)xx0

xx

存在,且xx0limflimflim02)xx02)

xx xx00 00limfxx

xg

limf xlimgx;0xx xx00有

設(shè)limgxx0

x0

,那0

當(dāng)xxfgfg

時(shí)極限存在,且3)f

limf(x)limxx0

gx

xx.0.limg(x)xx

在的條件〔1f

在U0;

內(nèi)有定義．limf

x0 xx0存在的充要條件是：對(duì)任何含于

U0;'且以x 為0 極限的數(shù)列，極限limf0 2n n n2〔〕單調(diào)有界定理：相應(yīng)于數(shù)列極限的單調(diào)

xx0

這種類型為例表達(dá)如下：設(shè)為定f義在U (x 0

上的單調(diào)有界函數(shù)，那么右極限)

limf(x)xx0存在．〔3〕柯西準(zhǔn)那么：設(shè)函數(shù)

f 在U(x;0

內(nèi)有定.義.limf(x)xx0

存在的充要條件是:任給

0

,存在正數(shù)(

,使得對(duì)任何

x,xU(x0

;)

有|f(xf(x.兩個(gè)重要極限(1).

sinx 1 1(2).) x0 x x x無(wú)窮小量和無(wú)窮大量〔1〕無(wú)窮小量〔2〕無(wú)窮小量階的比擬〔3〕等價(jià)無(wú)窮小代換定理〔4〕無(wú)窮大量四、函數(shù)的連續(xù)性〔1〕函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性〔2〕間斷點(diǎn)及其分類〔3〕區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)〔a〕〔局部連續(xù)性〕假設(shè)函數(shù)

在f(x) x0

點(diǎn)連續(xù)，那么 在f(x) x0

點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有界。b

在f(x) x0

點(diǎn)連續(xù)，且f(x0

)0，那么對(duì)任意0存在x 某鄰域0U(x0

),xU(x0

) f(x)0

f(x),g(x)在區(qū)間I上有定義，且都在

x I0

連續(xù)，那么f(x)g(x), f(x)g(x), f(x/g(x

g(x)0〕在x0

點(diǎn)連續(xù)?！矎?fù)合函數(shù)的連續(xù)性〕假設(shè)函

在點(diǎn)f(x) x0

在g(u)

點(diǎn)連續(xù)，u

f(x

，那么復(fù)合函數(shù))在)g(f(x)) x0

0 0 0點(diǎn)連續(xù)。〔2〕閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的根本性質(zhì)(a)(最大最小值定理)假設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間f(x)上連續(xù)那么 在閉區(qū)間 上有最大值與[a,b] f(x) [a,b]最小值。推論〔有界性〕假設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 上f(x) [a,b]連續(xù)，那么 在閉區(qū)間 上有界。f(x) [a,b](b)(介值性定理)假設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間f(x) [a,b]( ()( ()與f a f b f a f bf(a)f(bf(b)f(a)區(qū)間(a,

內(nèi)至少存在一點(diǎn)x

，使得

f(x).0 0推論〔根的存在定理〕假設(shè)函數(shù)f(x)

在閉區(qū)間 上連續(xù)，且 異號(hào)，那么至少存在[a,b] f(a),f(b)一點(diǎn)x (a,b)使0

f(x)0.即0

f(x)

在(a,

內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.〔3〕反函數(shù)的連續(xù)性〔反函數(shù)的連續(xù)性假設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 嚴(yán)f(x) [a,b]格遞增〔遞減〕且連續(xù)，那么其反函數(shù)f

在相1(y)f(af(b〔f(bf(a〕上遞增〔遞減〕且連續(xù)?！?〕一致連續(xù)性定義〔一致連續(xù)性〕設(shè)函數(shù) 在區(qū)間I上f(x)

0,()0只要x1

,xI，|xx2 1

|，都有|f(xf(x|1 2續(xù)。

f(x)

在區(qū)間I上一致連f(x在閉區(qū)間[ab]f(x在[ab五、導(dǎo)數(shù)和微分〔1〕導(dǎo)數(shù)的定義〔2〕導(dǎo)函數(shù)〔3〕導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)導(dǎo)數(shù)的四那么運(yùn)〔2〕反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)〔3〕復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4.高階導(dǎo)數(shù)(1)微分的概念〔2〕微分的運(yùn)算法那么〔3〕高階微分〔4〕微分在近似運(yùn)算中的作用六、微分中值定理及應(yīng)用〔1〕羅爾定理與拉格朗日定理〔2〕單調(diào)函數(shù)〔1〕柯西中值定理〔2〕不定式極限〔1〕極值判別〔2〕最大值與最小值七、實(shí)數(shù)的完備性八、不定積分九、定積分—萊布尼茨公式〔1〕可積的必要條件定理9.2 假設(shè)函數(shù)f在[a,b]上可積那么f在[a,b]上必定有界〔2〕可積的充要條件定理9.3f(x在ab可積 lim[S)s(T)]0l(T)0〔3〕可積函數(shù)類定理9.4 假設(shè)f為[a,b]上的連續(xù)函數(shù)那么f在[a,b]上可積.定理9.5 假設(shè)f是區(qū)間[a,b]上只有有限個(gè)斷點(diǎn)的有界函數(shù)，那么f在[a,b]上可積。定理9.6 假設(shè)f是[a,b]上的單調(diào)函數(shù)那么f在[a,b]上可積。〔1〕定積分的根本性質(zhì)〔2〕積分中值定理

在閉f(x)區(qū)間[a,b]

[a,

，使得.bf(x)dxf)(ba).a

與f(x)g(x)

[a,

g(x)

在[a,

不改變符號(hào)，那么至少存在一點(diǎn)

[a,

，使得bf(x)g(x)dxf()bg(x)dx.a a定理911(積分第二中值定理)設(shè)函數(shù)f在a,b上可積.(ⅰ)假設(shè)函數(shù)g在bgx0,那么存在a,b,使bfxgxdxgafxdxa a(ⅱ)假設(shè)函數(shù)g在bgx0,那么存在a,b,使bfxgxdxgbbfxdxa f在g為單調(diào)函數(shù),那么存在bfxgxdxgafxgbbfxdxa a 十、定積分的應(yīng)用設(shè)平面圖形由上下兩條曲線yf上(x)與yf下(x)xaxb所圍成

那么面積元素為[f上(x)f下(x)]dx 于是平面圖形的積為b S [fa 上

(x)f下

(x)]dx類似地 由左右兩條曲線x 左(y)與x 右(y)ydyc形的面積為d S (y) c 右 左〔1〕設(shè)立體在x軸的投影區(qū)間為[ax且垂直于x軸的平面與立體相截

b] 過點(diǎn)截面面積為A(x) 那么體積元素為A(x)dx 立的體積為VbA(x)dxa〔2〕由曲線直線，及軸所圍成的曲邊梯形，繞 軸旋轉(zhuǎn)一周而生成的立體的體積。取為積分變量那么 x [a,b] [a,b] [x,x dx]它所對(duì)應(yīng)的窄曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)而生成的薄片

f(x)

為底半徑，為高dx的圓柱體體積。即：體積元素為bVba

f(x)

2dx

dVf(x)2dx所求的旋轉(zhuǎn)體的體積為f(x)在區(qū)間[ab計(jì)算曲線yf(x)的長(zhǎng)度。取x為積分變量，那么x[ab,在[ab]上任取一小區(qū)間 ，那么這一小區(qū)間所對(duì)應(yīng)的曲線弧段的[x,x dx]長(zhǎng)度s可以用它的弧微分ds來(lái)近似。于是，弧元素為ds 1fdx，弧長(zhǎng)為bs 1b

f(x)

2dxC的方程為

a〔不妨設(shè)yf(x),x[a.b]f(x)≥0x面，得旋轉(zhuǎn)曲面的面積公式S=2bfx1f2xdx.a中的應(yīng)用十一、反常積分無(wú)窮積分和瑕積分的概念無(wú)窮積分的性質(zhì)和收斂判別十二、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)〔1〕收斂性判別〔a〕定義〔b的柯西準(zhǔn)那么〔2〕收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)〔1〕局部和數(shù)列有界〔2〕比擬原那么〔3〕比式判別法〔4〕根式判別法〔5〕積分判別法〔1〕交錯(cuò)級(jí)數(shù)〔2〕一般項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判別〔a〕阿貝爾判別法〔b〕狄利克雷判別法十三、函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)〔1〕函數(shù)列及其一致收斂性〔2〕函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性〔3〕函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性判別法〔1〕連續(xù)性 (2) 可微性 (3)可積十四、冪級(jí)數(shù)〔1〕冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間〔2〕冪級(jí)數(shù)的一致收斂〔3〕冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間上的性質(zhì)十五、傅里葉級(jí)數(shù)1.傅里葉級(jí)數(shù)〔1〕三角級(jí)數(shù)〔2〕以2為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)〔3〕收斂定理2l為周期的函數(shù)的展開式〔1〕以為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)〔2〕偶函數(shù)與奇函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)3.收斂定理的證明十六、多元函數(shù)的極限和連續(xù)平面點(diǎn)集與多元函數(shù)〔1〕平面點(diǎn)集〔2〕R2上的完備性定理〔3〕二元函數(shù)二元函數(shù)的極限〔1〕二元函數(shù)的極限〔重極限〕〔2〕累次極限二元函數(shù)的連續(xù)性〔1〕二元函數(shù)連續(xù)性概念〔2十七、多元函數(shù)微分學(xué)〔1〕可微性與全微分〔2〕偏導(dǎo)數(shù)〔3〕可微性條件〔4〕可微性幾何意義2.復(fù)合函數(shù)微分法〔1〕復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么〔2〕復(fù)合函數(shù)的全微分〔1〕高階偏導(dǎo)數(shù)〔2〕中值定理和泰勒公式十八、隱函數(shù)隱函數(shù)隱函數(shù)組幾何應(yīng)用十九、含參量積分含參量正常積分二十、曲線積分第一型曲線積分二十一、重積分1二重積分1假設(shè)函數(shù),y，Qx,y在閉區(qū)域D上連續(xù)，且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，那么有

PdxQdy 〔1〕xydD L這里是區(qū)域L

的邊界曲線，并取正方向．公式〔1〕稱為格林公式．二十二、曲面積分高斯公式與斯托克斯公式1設(shè)空間區(qū)域V由分片光滑的雙側(cè)封閉曲面S圍成.假設(shè)函數(shù)PQR在V上連續(xù),且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),那么(PQR)dxdydzx y zV

PdydzQdzdxRdxdy,S其中取外側(cè).稱上述公式為高斯公式.S2定理2

為分段光滑的空間有向閉曲線，是以為 邊界的分片光滑的有向曲面，

的正向與

的側(cè)符合右手規(guī)那么函數(shù) 在包含曲面P(x,y,z),Q(x,