《復(fù)變函數(shù)與積分變換》考試試卷A及答案

--PAGE4-《復(fù)變函數(shù)與積分變換》考試試卷（A）

z0是函數(shù)f(z)

sinz的( )z考試時(shí)間：類型：閉卷時(shí)間：120分鐘總分：100分專業(yè)：信工題 一、填空題（3'824'）

本性奇; (B)一級(jí)極; (C)零點(diǎn); (D)可去奇點(diǎn)５、下列積分值不為零的是( ) z-1=2 z-1=2ezdzz-1=2z=1coszdzz：

1in

A、 B、

z=1 z

dz D、號(hào) 線 1、冪級(jí)學(xué)

n0

的斂散性是

（絕對(duì)收斂、條件收斂、發(fā)散。

三、解答題（共７題，共計(jì)61分）答 22

（８分）f(z)=u+ivv=2xy、

求f(z)2、 i的三角形式 。3、z=0是f(z)=[ln(l+z)]/z的奇點(diǎn)，其類型 1 4、1z在ｚ＝０處的冪級(jí)數(shù)是準(zhǔn)。準(zhǔn)fz1cosz5： z0為函數(shù) z8 的 階極點(diǎn)；在該點(diǎn)處的留數(shù) 5名 、 姓 不 6、ln(1 3i) 。ezz5ezz5(z2)2內(nèi)zn dzz=5(z42)2(z-2)3

8分）(1)8、n1

的收斂半徑為 。n2

(2)(6

z1dzz2(2z1)(z3)z級(jí)： （3'515'）級(jí)線班 １、不等式argz所表示的區(qū)域?yàn)椋?）業(yè) 4 4專 A.角形區(qū)域 B.圓環(huán)內(nèi)部C.圓的內(nèi)部 D.橢圓內(nèi)部訂2.復(fù)數(shù)zi8的輻角主值argz( )裝 (A) 2 ; (B); (C) 0; (D)2裝 3.設(shè)是調(diào)和函數(shù)，則常數(shù)a可以取下列哪個(gè)值（ ）（A）0 （B）1：系 （C）2 （D）3院（８分f(z)=x32+i(3x2y3)f(z在何處可導(dǎo)？何處解析？并在可導(dǎo)處求出導(dǎo)數(shù)值.題：號(hào) 線學(xué)答

６、.(８分)求f(t)cost

1tf(u)sin(tu)du的解20準(zhǔn)４(10)將函數(shù)fz 1準(zhǔn)(z1)(z2)

在圓環(huán)2zLaurent： （2）f(z)ln(1zz0處的泰勒級(jí)數(shù)。名姓不訂內(nèi)：級(jí) 線 2S-3業(yè)班 ５、(6分求Ｆ（Ｓ）＝S-1S-2的拉普拉斯逆變換。業(yè)專訂裝裝：系院

（７分）設(shè)f1

(t)0e5t

t0t0

，f(t)01 et

t0t0

求f(t)與f1

(t)的卷積《復(fù)變函數(shù)與積分變換》考試試卷（A）答案

z0是函數(shù)f(z)

sinzz 的( D )考試時(shí)間：類型：閉卷時(shí)間：120分鐘總分：100分專業(yè)：信工一、填空題（3'824'）

本性奇; (B)一級(jí)極; (C)零點(diǎn); (D)可去奇點(diǎn)５、下列積分值不為零的是( D ) z-1=2 z-1=2ezdzz-1=2z=1coszdzz1in

A、 B

C、

z=1

dz D、1、冪級(jí)數(shù)

n0

的斂散性是 發(fā)散2 2(cosi

（絕對(duì)收斂、條件收斂、發(fā)散

三、解答題（共７題，共計(jì)61分）（８分）f(z)=u+ivv=2xy、f(1)=2f(z)2、22i

的三角形

sin )4 4 。3、z=0是f(z)=[ln(l+z)]/z的奇點(diǎn)，其類型可去奇

解：f(z)u

ivv

iv=2xi2y=2zx x y x1 4、1z在ｚ＝０處的冪級(jí)數(shù)是

zn。n0

dzdzz=5(z42)2(z-2)3

2+c,c=1f5z0為函數(shù)5、

z1coszz8 的 7 階極點(diǎn)；在該點(diǎn)處的留數(shù)_0

（8）(1)6、ln(1 3i)

。ln2

i3

(2)(6分) z1 dzz2(2z1)(z3)zezz5(zezz5(z2)2

解：(1)Res[f(z),]=-5k1

Res[f(z),z]kI=-Res[f(z),]=Res[f(1)1

,]=izn

z z218、n1

的收斂半徑為 1。n2

(2)-1

03321（3'515'）１、不等式argz所表示的區(qū)域?yàn)椋ˋ ）

用-、0的留數(shù)求出，Res[f（z）,0]=-1/3，Res[f（z）,-]=-2/72 2I=i21)26i4 4 7 3 21A.角形區(qū)域 B.圓環(huán)內(nèi)部C.圓的內(nèi)部 D.橢圓內(nèi)部復(fù)數(shù)zi8的輻角主值argz( B)(A) 2 ; (B); (C) 0; (D)2

（８分f(z)=x3–3xy2+i(x2y3)f(z在何處可導(dǎo)？何處解析？并在可導(dǎo)處求出導(dǎo)數(shù)值.u(x，y)=x3–3xy2，v(x，y)=3x2y–y3，yx y x y x y y xxyv(x，y)=eaxsiny是調(diào)和函數(shù)，則常數(shù)a=（yx y x y x y y xxy

=3x2–3y2，u

=–6xy，v

=6xy，v

=3x2–3y2。u（A）0 （B）1u（C）2 （D）3

∴u，u，v，vCu=v，u=–v，從而所給出函數(shù)在整個(gè)復(fù)平C上解析且xf(x)=ux

+iv

=(3x22)+i6xy=3(x+iy)2=3z2。

取逆變換得f(t)cos1tx另解：∵w=(x+iy)3=z3，x∴w=f(x)=z3在復(fù)平面C上解析且f(z)=3z2。

（７分）設(shè)

(t)0

2t02，f

(t)

t

求f(t)與f

(t)的卷積(10fz

1 在圓環(huán)2z(z1)(z2)

解：t<0時(shí)，f1

1(t)f2

e5t(t)0

t0

et

t0 1 2（2）f(z)ln(1zz0處的泰勒級(jí)數(shù)。

t0,f1

(t)f2

t)0

f(t)f1

)dte5(t)edet10因?yàn)閇ln(1z)] 11z

n0

(1)nzn,逐項(xiàng)積分得z 101

dzzdz(1)nnd ,0即ln(1z)z

z2z3(1)(1)nzn1n1|z|1.2S-3５、(6Ｆ（Ｓ）＝S-1S-2的拉普拉斯逆變換。2S-3

1s-1

1s-22S-3因此Ｆ（Ｓ）＝S-1S-2的拉普拉