固體物理考試-復習

1、簡立方原胞基矢 體心立方原胞基矢 面心立方原胞基矢a1aia1a/2(ijk)a1a/2(jk)a2aja2a/2(ijk)a2a/2(ki)a3aka3a/2(ijk)a3a/2(ij)2、試證面心立方的倒格子是體心立方證：設與晶軸 a、b、c平行的單位矢量分別為 i、j、k。面心立方正格子的原胞基矢可取為a1a(jk),a2a(ki),a3a(ij)由倒格子公式得222b12[a2a3],b22[a3a1],b32[a1a2]可得倒格基矢為：b12(ijk),b22(ijk),b32(ijk),aaa3、考慮晶格中的一個晶面urrrr（hkl），證明：(a)倒格矢Ghhb1kb2lb3垂直于這個晶面；b晶格中相鄰兩個平行晶面的間距為dhkl2；(c)對于簡單立方晶格有()urGhd2h2a2l2。k2證明：（a）晶面（hkl）在基矢a1、a2、a3上的截距為a1、a2、a3。作矢量：hklm1a1a2，m2a2a3，m3a3a1hkkllh顯然這三個矢量互不平行，均落在（hkl）晶面上（如右圖），且aa21hb1kb2lb3m1Ghkha1a22ha2a32ka3a12la1a20hkaaaaaaa123a23a1231同理，有m2Gh0，m3Gh0所以，倒格矢Ghhkl晶面。（b）晶面族（hkl）的面間距為：aGha1hb1kb2lb32dhkl1hGhhGhGh（c）對于簡單立方晶格：Gh2h2k21l22ad2h2a2l2k24、一維簡單格子，按德拜模型，求出晶格熱熔，并討論高低溫極限。解：按照德拜模型，格波的色散關系為w=vq。由圖色散曲線的對稱性可以看出，dw區(qū)間對應兩個同樣大小的波矢區(qū)間dq。2/a對應L/a個振動模式，單位波矢區(qū)間對應有L/2個振動模式，dw圍則包含dz2dqLdqL個振動模式，單位頻率區(qū)間包含的模式數(shù)目定義2dzLdqL為模式密度，根據此定義可得模式密度為：D(w)dw再利用Ldwvvw0D(w)dwN式中N為原子數(shù)，a為晶格常數(shù)，得w00aawmw2ew/kBTD(w)dw由公式CvkBkBTw/kBT2得其熱熔量為0e1wmLw2ew/kBTdww得CvkB2作變量變換x0vkBTew/kBT1kBT2x2w0CvLkBTD/Texdxz其中Dv0ex1kB在高溫時x是小量，上式被積分函數(shù)exx2exz11因此，晶格的高溫熱熔量LCVakBNkB在低溫時D/T,CV中的被積函數(shù)按二項式展開成級數(shù)exx2x2nenx則積分exx2dx2LkB2Texz0exz此時期熱熔量CV3v1n1135、模式密度計算模式密度的一般表達式：gVdS3①2qq德拜近似的模式密度，德拜近似的核心是假定頻率正比于 q。即 cq代入①式，容易得到：V14V2g3c2c32c21）三維情況模式密度對于三維情況，ω=cq2②在q空間等頻率面為球面，半徑為：qc在球面上，q(q)d2Cq2CdqC是一個常數(shù)，且球面積分為：ds4q2，因此：gVdsV1dsV14q2V112③23q23q232cq22c32（2）二維情況模式密度對于二維情況， q空間也約化為二維空間，其等頻面實際為一個圓，圓半徑為：qc二維情況下的 q空間中的密度為： A/(2π)2，（這里A為二維晶格的面積），而且有：q(q)d2Cq2CdqCdL2q所以對于ω=cq2，二維情況的模式密度為：g()dnAdLA2qA④d(2)2q(q)(2)22Cq4C（3）一維情況模式密度同理，在一維情況下， q空間有兩個等頻點 +q和-q。仿上面的方法可以得到：dnLdqL1L⑤g()q(q)2d(2)(2)2Cq2C總之，色散關系為ω=cq2的形式時，在三維、二維和一維情況下，模式密度分別與頻率ω的?，0，-?次方成比例。271cos2ka),式中a是晶格6、已知一維晶格中電子的能帶可寫成E(k)ma2(coska88常數(shù)，m是電子的質量，求，能帶寬度，電子的平均速度，在帶頂和帶底的電子的有效質量。解：（1）、當ka，E（k）有最大值，Emax2[7(1)1]22ma88ma2當k=0時，E（k）有最小值Emin2(711)0所以：EEmaxEmin22ma88ma121asin2ka]1sin2ka)（2）、vma2[asinka(sinka4ma4（3）、m*22E/k2，2E[kE(k)](a2coska1a2cos2ka)2因為2k2Kma2所以當k=0時，帶頂，m*|k02m2ma2(a21a2)22，帶底，m*(k22m當k)2a2a2aa()3ma227、用緊束縛近似求出面心立方及晶格s態(tài)原子能級相對應的能帶函數(shù)解面心立方晶格vvvv——s態(tài)原子能級相對應的能帶函數(shù)sJ0ikRsE(k)sJ(Rs)eRsNearests原子態(tài)波函數(shù)具有球對稱性J1vi0*vvvvvvJ(Rs)(Rs)[U()V()]i0()}d0svvvikRE(k)sJ0J1esRsNearest—— 任選取一個格點為原點—— 最近鄰格點有 12個個最鄰近格點的位置a,a,00,a,aa,0,a222222aaaaa0,a,,00,,2,22222a,a,00,a,aa,0,a222222a,a,00,a,aa,0,a222222vavavvsvvvJ0J1eikRsRsij0kE(k)s22RsNearestvvvvvvvvi(kxikyjkzk)(aiaj0k)eikRse22eia(kxky)kxaisinkxakyaisinkya2(cos22)(cos2)2——類似的表示共有12項——歸并化簡后得到面心立方s態(tài)原子能級相對應的能帶Esv(k)sJ0kakyacoskakakyaka4J1(cosxcosxcoszcoscosz)2222229、電子在周期場中的勢能．1m2b2(xna)2,當nabxnab2V(x)0，當(n-1)a+bxnab其中a＝4b，是常數(shù)．(1)試畫出此勢能曲線，求其平均值.用近自由電子近似模型求出晶體的第一個及第二個帶隙寬度．解：(I)題設勢能曲線如下圖所示．勢能的平均值：由圖可見，V(x)是個以a為周期的周期函數(shù)，所以V(x)11a1abV(x)V(x)dxaV(x)dxLLabb題設a4b，故積分上限應為ab3b，但由于在b,3b區(qū)間V(x)0，故只需在b,b區(qū)間積分．這時，n0，于是1bm2b(b22)dxm22xb1x3b12。VV(x)dxbxbbbmbab2a2a36（3），勢能在[-2b,2b] 區(qū)間是個偶函數(shù)，可以展開成傅立葉級數(shù)V(x)V0Vmcosmx,Vm2m2b2b

2b0

V(x)cosm xdx 12b b

b0

V(x)cosmxdx2bm2xdx第一個禁帶寬度Eg2V1,以m1代入上式,Egb2x2)cos1(b1b02b利用積分公式u2cosmuduumusinmu2cosmu2sinmu得m2m3Eg116m2b2第二個禁帶寬度E2V,以m2代入上式,代入上式3g22Eg2m2(b2x2)cosxdx再次利用積分公式有Eg22m22bb0b12、能，結合能，體彈性模量計算正格子與倒格子的關系面心立方的倒格子是體心立方；體心立方的倒格子是面心立方 。晶體：構成粒子（原子，分子，集團）周期性排列的固體，具有長程有序性，有固定的熔點，具有自限性，各向異性和解理性特點的固體。布拉伐點陣：晶體的周期性結構可以看作相同的點在空間周期性無限分布所形成的系統(tǒng)，稱為布拉伐點陣。布拉伐格子： 在空間點陣用三組不共面平行線連起來的空間網格稱為布拉伐格子?；翰祭ジ褡又械淖钚≈貜蛦挝环Q為基元。原胞：在布拉伐格子中的最小重復區(qū)域稱為原胞。晶胞：為了同時反應晶體的周期性和對稱性，常常選取最小的重復單位的整數(shù)倍作為重復單元，這種單元稱為晶胞對稱操作是指一定的幾何變換。如某物體如繞某一軸旋轉一定角度或對某一平面作鏡象反映等等.一種晶體可以有多種不同形式的對稱操作，描述晶體的對稱性的方法就是找出能使它復原的所有對稱操作。布拉菲晶格：由基元代表點在空間中的周期性排列所形成的晶格稱為布拉菲晶格布里淵區(qū)：在倒格子中，以某個倒格點作為原點，作出它到其他所有倒格點的矢量的垂直平分面，這些面將倒空間分割成有置外的相等區(qū)域，稱為布里淵區(qū)。布洛赫定理：晶體中電